PROBLEMAS LEGAIS
1º de outubro de 2011
Problema 01
Para um quadrilátero cíclico ABCD prove o Teorema de Ptolomeu:
AC. BD = AD. BC + AB. CD. Vale ainda a desigualdade de Ptolomeu:
AC. BD ≤ AD. BC + AB. CD, com igualdade se, e somente se, ABCD é cíclico.
Problema 02
Seja ABC um triângulo equilátero inscrito na circunferência γ . Seja P um
ponto de γ situado no arco BC que não contém o ponto A.
Prove que PA = PB + PC.
Problema 03
Seja ABCD um quadrado inscrito na circunferência γ . Seja P um ponto do arco
AB que não contém os pontos C e D. Prove que os segmentos PA, PB, PC e
PD não podem ter medidas todas elas racionais.
Problema 04
[BMO] Considere um triângulo ABC. Seja AH a altura relativa ao vértice A, H
está sobre a reta BC. Do ponto H trace perpendiculares HQ e HP sobre os lados
AB e AC respectivamente. Prove que a medida do segmento PQ é a mesma se a
construção anterior fosse feita para os vértices B e C.
Problema 05
[IBERO/99] Seja ABC um triângulo retângulo em A.
Construa um ponto P, sobre a hipotenusa BC, tal que se Q for o pé da
perpendicular traçada desde P até o cateto AC, então a área do quadrado de lado
PQ é igual a área do retângulo de lados PB e PC. Mostre os passos da
construção.
Problema 06
[Bielorússia-2002] A altura CH de um triângulo retângulo ABC, com < C = 90º
intersecta as bissetrizes AM e BN nos pontos P e Q respectivamente. Prove que
a reta que passa pelos pontos médios de QN e PM é paralela à hipotenusa de
ABC.
Problema 07
Considere 4 N bolas, 2 N brancas e 2N pretas. Mostre que qualquer fila com
essas 4 N bolas contém um subconjunto com 2N bolas consecutivas sendo N
brancas e N pretas.
Problema 08
n
[Ibero/98]
Consideremos
a
soma
∑
i= 1
xi y1
na
qual
as
2n variáveis
( x ,...x , y ..., y ) podem assumir apenas o valores 0 e 1. Seja I ( n ) o número de
1
n
n
2n –uplas ( x1 ,...x n , y1 ,..., y n ) para as quais o valor da soma é um número ímpar
e seja P( n ) o número de 2n-uplas ( x1 ,...x n , y1 ,..., y n ) para as quais a soma é par.
P( n ) 2 n + 1
=
.
Prove que
I ( n) 2 n − 1
Problema 09
Seja Dn o número de permutações caóticas de 1,2,3..., n, isto é, o número de
permutações simples de 1,2,3..., n, nas quais nenhum elemento ocupa o seu
lugar primitivo. Mostre que, se n ≥ 1,
Dn + 2 = ( n + 1).( Dn + 1 + Dn ).
Problema 10 Prove que o número de permutações caóticas de n elementos é
k
n
(
− 1)
Dn = n! ∑
.
k!
k= 0