MA13 – Exercícios das Unidades 17 e 18
2014
Lista 11
Geometria, Coleção Profmat, SBM.
Problemas selecionados das seções 7.2 (pág. 311) e 7.3 (pág. 329).
1) Sejam dados um ponto A e um plano α com A∉α . Prove que existe uma única
reta que passa por A e é perpendicular a α .
2) Se r e s são retas perpendiculares a um plano α prove que r e s são paralelas.
3) No espaço, sejam dados plano α e dois pontos A e B não pertencentes a α e
situados em semiespaços distintos em relação a α . Prove que A e B equidistam de α
se, e só se, o ponto médio do segmento AB pertence a α .
4) São dados quatro pontos não coplanares do espaço. Quantos são os planos que
equidistam desses quatro pontos?
5) Dado um círculo Γ de centro O prove que o LG dos pontos do espaço que
equidistam de todos os pontos de Γ é sua reta medial.
6) Sejam dados no espaço um círculo Γ e um ponto A não pertencente ao plano que
contém Γ . Prove que existe uma única esfera que contém Γ e passa por A.
7) Sejam Γ 1 e Γ 2 dois círculos do espaço que não estão no mesmo plano e que
possuem dois pontos em comum, A e B. Prove que existe uma esfera contendo Γ 1 e
Γ2 .
Problemas suplementares
8) É verdade que duas retas distintas ortogonais a uma terceira são paralelas entre si?
9) Desenhe um cubo. Que poliedro tem por vértices os centros das faces do cubo?
10) Sejam VA, VB e VC segmentos mutuamente perpendiculares. Mostre que a
projeção de V sobre o plano ABC é o ortocentro do triângulo ABC.
Sugestão: Seja H a projeção de V sobre o plano ABC. A reta AH encontra BC em D.
Mostre que AD é altura do triângulo ABC, ou seja, mostre que AD é perpendicular a
BC.
11) O triângulo ABC, retângulo em A, está contido em um plano α . Sobre a
perpendicular a α traçada por C traçamos, por sua vez, as perpendiculares CE e CF
às retas AD e BD, respectivamente. Mostre que:
a) AB é perpendicular a AD.
b) CE é perpendicular a EF.
c) DF é perpendicular a EF.
12) Mostre que as arestas opostas de um tetraedro regular são ortogonais.
13) Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de três pontos A, B e C, não
colineares?
̂ P=α ,
14) A figura abaixo mostra um paralelepípedo retângulo. Sejam, A O
̂ P= β e C Ô P=γ . Mostre que cos2 α+cos 2 β +cos2 γ=1 .
BO
14) Em um octaedro regular de aresta a calcule:
a) a distância entre duas faces opostas.
b) o cosseno do ângulo entre duas faces adjacentes.
15) Sejam A e B pontos do espaço. Qual é o lugar geométrico dos pontos do espaço
tais que o ângulo APB seja reto?
16) Seja P um ponto exterior a um plano α e Q um ponto de α . Qual é o lugar
geométrico dos pés das perpendiculares traçadas de P às retas de α que passam por
Q?