Formação de Imagem - Sampling
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Visão adquirindo imagem
Visão - Formação de Imagem
• Energia de uma fonte de luz é radiada
uniformemente em 4 radianos
• Irradiância é a soma de toda a luz incidente na
imagem
• Reflexão pode ser difusa ou especular, depende da
superfície e comprimento de onda da luz
• Superfície que reflete energia eletro-magnética
modula o conteúdo do espectro, intensidade e
polarização da luz incidente
• Função da intensidade radiante é projetada no
plano imagem 2D, espacialmente amostrada e
digitalizada a 30 fps.
Formação da imagem
• Geometria da câmera (lentes finas)
– equação fundamental 1 /Z´ + 1/z´ = 1/f
• Radiometria E(p) = f(L(P))
– reflexão Lambertiana L=Itn (I transposto)
– ângulo sólido  = A cos / r2
– equação fundamental E(p) = L(p) /4 (d/f)2 cos4
Formação Geométrica da
Imagem
• Relação entre a posição dos pontos da cena
com a imagem
• Câmera perspectiva
• Câmera com fraca perspectiva
Modelo perspectivo ideal
p
y
x
o
p1 f
Plano imagem
P1
z
O
P
y
x
p1
o
O
f
p
P1
z
Plano imagem
P
Modelo ideal
Inversão de Percepção
• “Se estímulos sensoriais são produzidos de
um único modo pelo mundo, então como
deveria ser o mundo para produzir este
estímulo?”
estimulo = f(mundo)
mundo = f-1(estímulo)
• As funções f() são apenas parcialmente
conhecidas e f-1(), inversa de f não é bem
condicionada (não se comporta direito).
Conhecimento e Experiência
• Adquire-se através da associação de dados
sensoriais de forma eficiente
• Conseguem preencher espaços inacessíveis
pelo processo de formação de imagens
• Engana o cérebro
Representação matricial
Imagem e seu gráfico
Reconstrução – Amostragem
Espacial
Amostragem - resolução espacial
• Variação da amostragem no espaço
– imagens com diferentes resoluções (pixels
cobrem áreas diferentes)
Amostragem - quantização
• Variação da amostragem pela quantização
– número de níveis de intensidade para cada pixel
varia de uma imagem para outra
Amostragem - quantização
Amostragem - quantização
Amostragem - quantização
Amostragem-resolução temporal
• Variação da amostragem no tempo
– tempo de amostragem do sensor é diferente
– usando sistemas de aquisição diferentes
• Influencia qualidade final de cada pixel
Propriedades espaciais
• Delta de dirac
• Esta função tem as seguintes propriedades:
Sifting property
Comentários
• A primeira propriedade sugere um tipo de
máscara infinitesimal que amostra a
imagem precisamente na posição (x,y)
• A segunda propriedade é conhecida como
“Sifting property”.
Funções especiais
• Dirac delta (x)=0,x0
lim0 - (x)dx = 1
• Sifting property - f(x´)(x-x´)dx´=f(x)
• Scale (ax) = (x)/|a|
• Delta de Kronecker (n)=0, n0
(n)=1, n=0
• Sifting property m=-  f(m)(n-m) =f(n)
Transformada de Fourier
• onde u,v é a freqüência espacial em ciclos
por pixel , de modo que quando x é
especificado em pixels, 2(ux+vy) é em
radianos, e i=-1
Pares transformados
Pares de transformadas
Propriedade: freqüência espacial
• Se f(x,y) é a luminância e x,y as
coordenadas espaciais, então 1 e 2 (ou u,v)
são as freqüências espaciais que
representam a mudança de luminância com
respeito às distâncias espaciais. As unidades
1 e 2 (ou u,v) são recíprocas de x e y
respectivamente.
• Algumas vezes as coordenadas x,y são
normalizadas pela distância de visualização
da imagem f(x,y). Então as unidades 1 e 2
(u,v) são dadas em ciclos por grau (do
ângulo de visualização), ou por pixel.
Propriedade: unicidade
• Para funções contínuas, f(x,y) e F(1,2) são
únicas com respeito uma à outra.
• Não há perda de informação se for
preservada a transformada ao invés da
função
Propriedade: separabilidade
• O kernel da transformada de Fourier é
separável, de modo que ela pode ser escrita
como uma transformação separável em x e y.
F(1,2)=f(x,y)exp(-i2x1)dxexp(-i2y2)dy
• Isso significa que a transformação 2D pode ser
realizada por uma sucessão de duas transformações
unidimensionais, ao longo de cada uma das
coordenadas.
Teorema do deslocamento
De modo que
Convolução
• A convolução de duas funções f e g
• onde  é uma variável de integração
Teorema da convolução
então
Teorema da amostragem
• Seja F()= transformada de Fourier de uma
função f(t), com t(-,+ ). Assumimos
que f é limitada em banda, isto é, F()= 0,
para ||>c>0.
• Então, podemos formular o teorema da
amostragem.
Teorema da amostragem
• A função f pode ser reconstruída exatamente
para todo t(-,+ ), a partir de uma
seqüência de amostras eqüidistantes
fn=f(n/c), de acordo com a seguinte
formula:
f(t)=-fn sin(ct-n)/(ct-n) =
-fn sinc(ct-n)
Aliasing
• Uma função contínua no espaço f(x) é
amostrada pelo cálculo do produto de f(x)
por g(x), uma seqüência infinita de deltas de
Dirac
• Queremos determinar os efeitos da função
de amostragem na energia espectral em f(x)
Aliasing
• Pelo teorema da convolução, sabemos que o
produto destas duas funções espaciais é
igual à convolução dos seus pares de
Fourier
• Podemos escrever a função H(u) em termos
de F(u):
Aliasing
Aliasing
• Deste modo, o espectro de freqüência da
imagem amostrada consiste de duplicações
do espectro da imagem original, distribuída
a intervalos 1/x0 de freqüência.
• Seja R(u) um filtro passa-banda no domínio
da freqüência.
0 caso contrário
Aliasing
• Quando os espectros replicados interferem,
a interferência introduz relativa energia em
altas freqüências mudando a aparência do
sinal reconstruído
Teorema da amostragem
(nyquist)
• Se a imagem não contém componentes de
freqüência maiores que a metade da
freqüência de amostragem, então a imagem
contínua pode ser representada fielmente ou
completamente na imagem amostrada.