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Revista Brasileira de Ensino de F
sica, vol. 21, no. 1, Mar
co, 1999
P^endulo Invertido: Din^amica Complexa
num Sistema Mec^anico Simples
Nikolai Pavlovitch Tretiakov, Terezilda Luiz da Silva, Henrique Almeida Fernandes
Instituto de F
sica, Universidade Federal de Goi
as
Caixa Postal 131, CEP: 74001-970 Goiania (GO), Brasil
Recebido em 30 de Julho, 1998
A din^amica do p^endulo simples invertido com o ponto de suspens~ao oscilante e considerada. A
condica~o de equilbrio do p^endulo na posic~ao vertical invertida e derivada, utilizando o formalismo
de Lagrange e metodos matematicos simples. Mostra-se que a posic~ao horizontal pode se tornar
estavel tambem, mediante o movimento apropriado do ponto de suspens~ao.
The dynamics of an inverted pendulum with vibrating suspension point is considered. The equilibrium condition at top position is derived using the Lagrange formalism and simple mathematical
tools. The possibility of stabilization at horizontal position is demonstrated too.
I Introduc~ao
A mec^anica e frequentemente vista como uma area estabelecida, onde n~ao se podem esperar descobertas que
possam inuenciar outras areas. Porem, no ensino e na
pesquisa, tem que haver uma preocupaca~o constante
com o carater global que pode estar associado a um
dado fen^omeno [1]. Esse carater global pode se apresentar como um princpio com diversas manifestac~oes
em areas totalmente diferentes.
Neste trabalho, visamos mostrar como se podem
descobrir fen^omenos complexos e inesperados ate nos
sistemas mais simples, cuja descric~ao esta ao alcance
de alunos principiantes.
Com essa nalidade, escolhemos um exemplo, talvez o mais simples de todos: um p^endulo simples. Para
descobrir uma din^amica complexa nesse sistema, basta
virar o p^endulo para cima (gura 1). A posic~ao = 0
neste caso, sera a posic~ao de equilbrio, pois o torque
M = mgLsen anula-se. Essa posic~ao, porem, n~ao e
estavel, pois nela dM=d = mgL cos > 0. Isso signica que qualquer desvio do p^endulo da posic~ao = 0
gera o torque positivo, isso e, voltado para fora desta
posic~ao.
Figura 1. Modelo do p^endulo invertido com o ponto de
suspens~ao oscilante.
Existe um metodo simples para tornar a posica~o
do p^endulo \para cima" estavel. Se aplicarmos as vibrac~oes verticais ao ponto de suspens~ao do p^endulo (gura 2), notaremos que o mesmo vai permanecer voltado para cima se a frequ^encia das vibraco~es superar
um certo valor que depende dos par^ametros do p^endulo.
Mais ainda, se tocarmos nele, o p^endulo vai oscilar em
torno da posic~ao para cima da mesma maneira que
um p^endulo comum oscilaria voltado para baixo. Esse
fen^omeno interessante, que ocorre num sistema t~ao simples como um p^endulo, foi descoberto so neste seculo [2]
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e ate hoje esta despertando um interesse constante entre pesquisadores [3].
cilador n~ao linear com uma forca restauradora f(x) e
sujeito a ac~ao de uma forca externa periodica com amplitude F (x) [4]:
mx + f(x) = F (x)cos(
t):
(1)
Aqui >> 1=T , onde T = 2=!0 e o perodo caracterstico do p^endulo n~ao perturbado. A ideia basica
consiste em procurar as soluc~oes da equac~ao (1) na
forma
x(t) = X(t) + (t);
Figura 2. Dispositivo mec^anico: p^endulo invertido com o
ponto de suspens~ao vibrante. A frequ^encia das vibraco~es
depende da velocidade do motor eletrico.
II
Oscilador forcado: soluc~ao
para trajetorias medias
A explicac~ao teorica do fen^omeno e bastante simples
Consideremos uma equac~ao de movimento de um os-
(2)
onde X(t) e x(t) s~ao as partes \lenta" e \rapida", isto
e, as taxas de variac~ao temporal dessas func~oes
s~ao T 2=!0 e 2=
respectivamente, e
= !0=
<< 1:
A justicativa fsica da soluc~ao (2) se da ao fato
de que o sistema, por causa da inercia, responde fracamente as pulsac~oes rapidas da forca externa. Substituindo (2) na equac~ao (1) e expandindo todas as func~oes
na aproximac~ao linear em :
c
obtemos a equaca~o
@f
f(X + ) f(X) + @f
@x X ; F(X + ) f(X) + @x X ;
(3)
@F cos(
t):
mX + m = ,f(X) , @f
+
F(X)
+
@x X
@x X
(4)
d
Essa equac~ao contem termos de dois tipos: \lentos "e \rapidos". Para separar esses termos, podemos determinar a media temporal
sobre o
R
1
perodo rapido = 2=
(< ::: > = 0 (:::)dt): Mais
precisamente, a equac~ao (4) tem a forma: Lento +
Rapido = 0. Os termos lentos variam pouco durante o
perodo , portanto, < Lento > Lento: A equaca~o
toma a forma: < Lento > +Rapido = 0: Por outro
lado,, e claro
que < Rapido > = 0 (por exemplo,
R
2
0 cos t dt = 0): Portanto, aplicando < ::: > a
nossa equac~ao mais uma vez, conseguimos separar as
equac~oes: < Lento > 0; Rapido 0. Ent~ao, o primeiro passo consiste em tomar a media < ::: > da
equac~ao (4). Somente os termos lentos sobrevivem a
essa operaca~o. Os demais termos formam a equaca~o
rapida. O resultado e:
mX ,f(X) + @F
@x X cos(
t) ; (5)
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@f

mX , @x + F(X) cos(
t): (6)
X
Na equac~ao rapida (6), os termos tem ordens diferentes. O termo  e da ordem de 2 !0 (porque
cos(
t)). Esse
ao e pequeno. Ao contrario,
termo n~
@f
o termo @x X e muito menor e pode ser desprezado. Assim, a equac~ao pode ser integrada e resulta:
F (X) cos(
t):
, m
(7)
2
Essa e a resposta rapida do sistema a ac~ao da
forca externa. O ponto central dessa teoria e que isso
n~ao e uma unica resposta do sistema. As trajetorias
medias X(t) s~ao afetadas tambem. Substituindo (7)
naR equac~a,o (5),
calculando a media e observando que
1 cos2 2 t dt = 1=2; obtemos
0
(X) @F = 0
mX + f(X) + 12 Fm
(8)
2 @x
X
O resultado (8) e muito importante. Ele representa a equac~ao de movimento efetivo de um oscila-
dor n~ao linear sujeito a ac~ao de uma forca externa de
alta frequ^encia (1). O ultimo termo na equaca~o (8) e
uma nova forca efetiva gerada pela forca externa. Vamos mostrar, que no caso do p^endulo, essa forca adicional pode estabiliza-lo na posica~o para cima ou ate na
posica~o horizontal.
III
P^endulo Simples Forcado:
Consideraca~o Teorica
O modelo teorico do p^endulo invertido e mostrado na gura 1. O ponto de suspens~ao esta vibrando na direc~ao
vertical com amplitude A e frequ^encia : a(t) =
Acos(
t):
A equac~ao de movimento do p^endulo pode ser obtida facilmente no formalismo de Lagrange. Os compo_
_
nentes da velocidade s~ao vx = Lcos!,
vy = ,Lsen+
a_ (t); e assim obtemos a energia cinetica e a energia potencial:
c
T = m2 (L)_ 2 + m2 a_ 2 (t) , mL_a_ (t)sen; U = mgLcos + mga(t):
Portanto, o lagrangiano L = T , U e:
L = m2 (L)_ 2 , mgLcos , mga(t) , mL_a_ (t)sen + m2 a_ 2 (t):
@L
A equac~ao de Euler dtd @L
@ _ = @ para o lagrangiano (10) toma a forma
2
 , Lg sen = , A
(11)
L sen cos(
t):
Essa equac~ao de movimento do p^endulo invertido tem
a forma geral (1). Ent~ao, a teoria da sec~ao 2 pode ser
aplicada. Se denominarmos o ^angulo medio como '
(signica ' X), a equac~ao efetiva (8) se reduz a:
2 2
mL2 ' , mgLsen' = , mA4 sen(2'):
(12)
A equac~ao de movimento para o a^ngulo medio '.
O movimento real do p^endulo consiste em uma superposic~ao das oscilac~oes rapidas (t) e do movimento mais
lento ao longo das trajetorias '(t):
(9)
(10)
d
(t) = '(t) + (t)
(13)
Podemos reescrever a equac~ao (12) como mL' = Mef ,
onde o torque efetivo Mef = mgLsen' , mA42 2 sen(2').
A condic~ao de equilbrio e Mef = 0; que e satisfeito na
posic~ao ' = 0. Mas essa posica~o so se torna estavel se
dMef
d' '=0 < 0 (torque restaurador). Ent~ao, obtemos
a condic~ao de estabilidade do p^endulo invertido com o
ponto de suspens~ao oscilante:
p
A
> 2gL
(14)
Na equac~ao (14) A e a amplitude das vibraco~es do
ponto de suspens~ao e e a frequ^encia. Portanto, A
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e a velocidade linear media do ponto de suspens~ao. A
condic~ao (14) mostra que essa velocidade tem que supep
rar uma certa velocidade caracterstica, vmin = 2gL,
para que o p^endulo seja estavel na posic~ao vertical invertida. Cabe destacar, que esse criterio quantitativo
coincide muito bem com dados experimentais.
IV Estabilidade na Posic~ao horizontal
Se a possibilidade de estabilizar um p^endulo na posic~ao
para cima ja e um fato interessante, a possibilidade de
faze-lo na posica~o horizontal parece incrvel. Porem,
isso n~ao e impossvel. So que neste caso, as vibrac~oes
do ponto de suspens~ao tem que ter componentes horizontal e vertical: ax (t), ay (t). Utilizando o formalismo
de Lagrange, como na sec~ao 3, derivamos a equac~ao de
movimento:
(15)
 , Lg sen = ayL(t) sen , axL(t) cos Vamos considerar um caso mais geral de movimento
do ponto de suspens~ao:
ay (t) = Acos(
t) + Bsen(
t)
ax (t) = Ccos(
t) + Dsen(
t)
(16)
Como na sec~ao 2, procuramos a soluc~ao da equaca~o (15)
na forma de uma soma de duas partes: lenta e rapida:
(t) = '(t) + (t) (aqui (t) (t)): Utilizando o
raciocnio e os procedimentos da sec~ao 2, achamos a
resposta oscilante do sistema:
(t) L1 (sen'ay (t) , cos 'ax (t));
(17)
bem como, a equac~ao efetiva para o a^ngulo medio ':
c
mL2 ' = mgLsen' + m[sen'cos'(< ay (t)ay (t) > , < ax (t)ax (t) >)+
sen2 ' < ax(t)ay (t) > ,cos2 ' < ay (t)ax (t) >]
(18)
d
Analizemos agora a posic~ao horizontal ' = =2.
Neste caso, o torque efetivo na equac~ao (18) se reduz a
Mef '= = mgL+ < ax (t)ay (t) >
2
(19)
O calculo da media da:
< ax (t)ay (t) >= ,
2 (AC + BD)=2:
Os criterios de estabilidade Mef = 0; dMd'ef < 0 na
posic~ao ' = =2 s~ao:
AC + DB = 2gL
2
; C 2 + D2 > A2 + B 2
(20)
Ent~ao, para estabilizar um p^endulo na posic~ao horizontal, basta dar ao ponto de suspens~ao o movimento
(16) com as amplitudes sujeitas as condico~es (20). E
claro, que existem muitas possibilidades diferentes de
faze-lo. A segunda condica~o (20) diz que o movimento do ponto de suspens~ao deve ser \mais intenso"
na direc~ao horizontal (amplitudes C; D) do que na vertical (amplitudes A; B). Mas so o movimento horizontal
n~ao e suciente: com A = B = 0 e impossvel satisfazer
as condic~oes (20).
A equac~ao (18) e valida para qualquer ^angulo. Podemos deduzir, ent~ao, as condic~oes de estabilidade do
p^endulo a um a^ngulo arbitrario. Essa estabilizaca~o ca
possvel mediante um movimento apropriado do ponto
de suspens~ao.
V Conclus~ao
O exemplo do p^endulo invertido mostra que uma aca~o
rapida externa (\fast driving ") e capaz de mudar
completamente as propriedades e o comportamento
de um sistema e pode fazer coisas que parecem milagres (estabilizac~ao do p^endulo a qualquer a^ngulo).
Um sistema forcado (\driven system") n~ao e mais ele
mesmo e pode permanecer nos estados absolutamente
impossveis nas condic~oes normais. O interesse por sistemas forcados vem crescendo nos ultimos anos. Recentemente, zemos uma generalizaca~o da teoria ex-
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posta no presente artigo para uma classe muito geral
de sistemas din^amicos [5]. Uma descoberta dos efeitos
analogos ao p^endulo invertido nos sistemas mais complexos (plasma, cristais etc) seria de um grande interesse.
Nikolai P. Tretiakov agradece ao CNPq o apoio a
pesquisa.
Refer^encias
1. M.J. Menon e R.P. Barbosa dos Santos, Revista
Brasileira de Ensino de Fsica 20, 38 (1998).
2. P.L. Kapitza, in Collected Papers of P.L. Kapitza,
edited by D. Ter Haar (Pergamon, London, 1965),
p. 714.
3. S-Y. Kim and B. Hu, Phys. Rev. E (to be published); chao-dyn/9802015.
4. M.I. Rabinovitch and D.I. Trubetskov, Introduction to the Theory of Oscillations and Waves (Nauka, Moscow, 1984, in Russian).
5. Nikolai P. Tretiakov, J.N.Teixeira Rabelo, Fast
Driving: eective Hamiltonian equations for Classical Systems, submitted for publication; condmat/9806137.