Princípio Multiplicativo – Teoria
A Análise Combinatória é fundamentada no Princípio Multiplicativo:
Teorema 1: ( Princípio Multiplicativo ) Se um experimento (P) ocorre em k etapas,
k∈ IN* ,
e cada etapa ( P i ),
1≤ i ≤ k , i ∈ IN
,
k
pode ocorrer de
ni
maneiras deferentes,
n i ∈ IN* , 1≤ i ≤ k
, então o experimento ( P ) poderá ocorrer de
∏n
i
maneiras.
i =1
Ex. 1 Quantas palavras com 3 letras podem ser formadas a partir de um alfabeto de 10 letras.
Solução:
N=
10
{
×
Nímero de
escolhas da
1° letra
10
{
Nímero de
escolhas da
2° letra
×
10
{
= 1.000
Nímero de
escolhas da
3° letra
Ex. 2 Quantas palavras com 3 letras distintas podem ser formadas a partir de um alfabeto de 10 letras.
Solução:
N=
10
{
Nímero de
escolhas da
1° letra
×
9{
Nímero de
escolhas da
2° letra
×
8{
= 720
Nímero de
escolhas da
3° letra
Ex. 3 (AFA 2002) A palavra que não muda o seu sentido, quer se leia da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, é
chamada palíndromo (Ex., ovo, asa, acaiaca, serres, etc.). Considerando-se as 23 letras do nosso alfabeto, quantos anagramas de
6 letras com características de um palíndromo, pode-se formar?
(A) 236
(B) 233
(C) 323
(D) 623.
Solução:
Devemos escolher apenas os tr~es primeiros algarismos, já que o quarto algarismo deve ser igual ao terceiro algarismo, o
quinto algarismo deve ser igual ao segundo algarismo e o sexto algarismo deve ser igual ao primeiro algarismo, ou seja,
N = 23 × 23 × 23 × 1 × 1 = 233
Opção (B)
Ex. 4 (EN 2010) No sistema decimal, a quantidade de números ímpares positivos menores que 1000, com todos os algarismos
distintos é
(A) 360
(B) 365
(C) 405
(D) 454
(E) 500
Solução:
Seja N k a quantidade de números ímpares positivos menores que 1000 com k algarismos distintos, k =1, 2, 3. A
quantidade de números satisfazendo as condições do enunciado é dada por:
N = N1 + N 2 + N3
Onde
N1 = 5
N 2 = 8× 5 = 40
N3 = 8 × 8 × 5 = 320 ⇒ N = 5 + 40 + 320 = 365.
Opção (B)
Ex. 5 (EN 2007) Um tapete de oito faixas deve ser pintado com as cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras que
se pode pintar este tapete de modo que duas faixas consecutivas não sejam da mesma cor é:
(A) 256.
(B) 384.
(C) 520.
(D) 6561.
(E) 8574.
Solução:
A primeira faixa pode ser pintada de três maneiras diferentes, a partir da segunda faixa teremos sempre duas maneiras
de se pintar a faixa já que a cor desta deve diferir da cor da faixa anterior, ou seja,
N = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 384
Opção (B)
Ex. 6 (IME 2005) O sistema de segurança de uma casa utiliza um teclado numérico, conforme ilustrado na figura. Um
ladrão observa de longe e percebe que:
. a senha utilizada possui 4 dígitos;
. o primeiro e o último dígitos encontram-se numa mesma linha;
. o segundo e o terceiro dígitos encontram-se na linha imediatamente superior.
Calcule o número de senhas que deverão ser experimentadas pelo ladrão para que com certeza ele consiga entrar na casa.
Solução:
Vamos separar o problema em dois casos, no primeiro caso vamos considerar senhas cujos primeiro e último
algarismo é o número 0 e o segundo e o terceiro algarismo podem ser escolhidos de forma livre dentre os algarismos 7, 8
ou 9, ou seja,
N1 = 1 × 3 × 3 × 1 = 9
No segundo caso vamos considerar senhas cujos primeiro e último algarismos são escolhidos da segunda ou
terceira linha, logo primeiramente devemos escolher uma linha dentre a segunda e a terceira, escolhida a linha, dentre os
algarismos desta linha escolhemos livremente um algarismo para ser o primeiro e outro para ser o último, feito isto, na
linha imediatamente superior escolhemos livremente um algarismo para ser o segundo e outro para ser o terceiro, ou seja,
N 2 = 2 × (3 × 3 × 3 × 3) = 162
O número total de senhas é dado por
N = N1 + N 2
Então
N = 9 + 162 = 171