EMBAP – ESCOLA DE MÚSICA E BELAS ARTES DO PARANÁ
DISCIPLINA DE DESENHO GEOMÉTRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA
Profª Eliane Dumke
e-mail: [email protected]
Aula 10 (material didático produzido por Paula Rigo)
Estudo de propriedades dos quadriláteros e construções
Quadrilátero é a figura constituída por quatro pontos
do plano, os vértices, e pelos seis segmentos que os
unem. Supõe-se que dos quatro pontos não há três
que sejam colineares.
Diagonais de um quadrilátero são os segmentos de
reta que unem dois vértices opostos.
Apótema de um quadrilátero regular é a designação
dada à linha que partindo do centro geométrico da
figura é perpendicular a um dos seus lados.
Nomenclatura
4 Vértices: A, B, C, D
4 Lados: [AB], [BC], [CD], [AD]
4 Ângulos internos: ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA, ∠DAB
2 Diagonais: [AC], [BD]
Vértices consecutivos: A e B, B e C, C e D, D e A
Vértices opostos: A e C, B e D
Lados consecutivos: [AB] e [BC], [BC] e [CD], [CD] e [AD], [AD] e [AB]
Lados opostos: [AB] e [CD], [AD] e [BC]
Relações entre os ângulos de um Quadrilátero
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é
geometricamente igual a um ângulo de 360º.
α + β + γ + δ = 360º
Classificação dos Quadriláteros
Quadrilátero convexo
Quadrilátero côncavo
Quadrilátero estrelado
Chama-se quadrilátero convexo, àquele que define um domínio convexo (1).
Quadrilátero côncavo é aquele que define um domínio côncavo (1).
Observa-se que o quadrilátero estrelado também é um quadrilátero côncavo.
(1) Um domínio plano diz-se convexo quando o segmento de reta definido por dois quaisquer dos seus pontos interiores é um
subconjunto do domínio; no caso contrário diz-se côncavo.
Propriedades dos Trapézios
Trapézios, no sentido lato, são quadriláteros em que dois lados opostos são paralelos. Os lados são as
bases e se forem desiguais uma é a base maior e a outra a base menor.
Classificação dos Trapézios
Trapézio isósceles
AB = CD
Trapézio retângulo
α=β
α = 90º
Trapézio escaleno
Um trapézio isósceles é aquele cujos lados opostos não paralelos são iguais.
Um trapézio retângulo é aquele em que um dos lados opostos não paralelos é perpendicular às bases.
Um trapézio escaleno é aquele cujos lados opostos não paralelos são desiguais.
Relações de um Trapézio Isósceles
1 - Num trapézio isósceles os ângulos adjacentes à
mesma base são geometricamente iguais:
a=δeβ=γ
2 - As diagonais de um trapézio isósceles são
geometricamente iguais:
[AC] ≅ [BD]
3 - A mediana de um trapézio isósceles é paralela
às bases do trapézio e o seu comprimento é igual à
semi-soma das bases:
AD//BC//EF
EF = AD + BC
2
Linhas notáveis de um Trapézio
Bases de um trapézio são os lados opostos paralelos.
Diagonal de um trapézio é o segmento de reta cujos
extremos são dois vértices opostos do quadrilátero.
Altura de um trapézio é o segmento de reta
perpendicular às bases e compreendido entre elas.
Mediana do trapézio é o segmento de reta cujos
extremos são os pontos médios dos lados opostos não
paralelos.
Propriedades dos Paralelogramos
Paralelogramos são trapézios cujos lados opostos são paralelos e geometricamente iguais.
Classificação dos Paralelogramos
Paralelogramo
AB = CD e AD = BC
Retângulo
(todos os ângulos são geometricamente iguais)
α=γeβ=δ
α = β = γ = δ = 90º
Losango
AB = BC = CD = DA
Quadrado
(todos os lados e ângulos são
geometricamente iguais)
AB = BC = CD = DA
α=γeβ=δ
α = β = γ = δ = 90º
(todos os lados são geometricamente iguais)
Retângulo é o quadrilátero cujos lados consecutivos são perpendiculares.
Losango é o quadrilátero cujos lados são todos iguais.
Quadrado é o retângulo cujos lados são todos iguais.
Relações de um Paralelogramo
1 - Os ângulos opostos de um paralelogramo são
geometricamente iguais e os ângulos internos consecutivos
de cada lado são suplementares:
∠BAD ≅ ∠BCD
∠ABC ≅ ∠ADC
(∠ABC) + (∠BCD) = 180º
(∠BAD) + (∠ADC) = 180º
2 - Os lados opostos de um paralelogramo são
geometricamente iguais:
[AB] ≅ [CD]
[AD] ≅ [BC]
3 - As diagonais de um paralelogramo dividem-se em duas
partes geometricamente iguais:
[AO] ≅ [OC]
[BO] ≅ [OD]
O é o ponto médio de [AC] e [BD]
4 - Uma diagonal de um paralelogramo divide-o em dois
triângulos geometricamente iguais:
∆[ABC] ≅ ∆[ACD]
Linhas notáveis de um Paralelogramo
Base de um paralelogramo é qualquer um dos seus
lados.
Diagonal de um paralelogramo é o segmento de
reta cujos extremos são dois vértices opostos do
quadrilátero.
Altura de um paralelogramo é o segmento de reta
perpendicular à base e compreendida entre ela e o
lado paralelo oposto.
Exercícios para a pasta – continuação
Exercício nº45 – Construir um quadrado sendo conhecido seu lado AB=4,5cm.
1. Seja o lado AB=4,5cm.
2. Traça-se uma horizontal indefinida e marca-se nela a medida
do lado AB.
3. Pelos pontos A e B levantam-se duas perpendiculares, e, em
seguida, com centro em A e raio AB corta-se a perpendicular que
passa por A no ponto D.
4. Com o mesmo raio e já agora com centro em B corta-se a
perpendicular que passa por B no ponto C.
5. Unindo-se os pontos A, B, C e D entre si, teremos construído o
quadrado pedido.
Exercício nº46– Construir um quadrado conhecendo-se sua diagonal=6cm.
1. Seja esta diagonal AB=6cm
2. Sobre uma horizontal, marca-se o segmento AB.
3. Levanta-se uma perpendicular pelo meio do segmento
(mediatriz), e marcando-se nela para cima e para baixo do
ponto O as distâncias OC e OD, que são justamente a metade
de AB.
4. Unindo os pontos A, B, C e D teremos o quadrado pedido.
Exercício nº47 – Construir um quadrado conhecendo-se seu apótema=3cm.
1. Seja o apótema OX=3cm.
2. Sobre uma horizontal indefinida marca-se AB igual à duas
vezes OX. Este segmento é o lado do quadrado pedido.
3. Repetir procedimento de construção de quadrado, dado
seu lado.
Exercício nº48 – Construir um quadrado conhecendo-se a soma da sua diagonal com um lado=5cm.
1. Seja esta soma o segmento r=5cm
2. Constrói-se um quadrado qualquer 1E2A e prolonga-se a sua
diagonal.
3. Marca-se sobre a diagonal a distância AC igual ao segmento r.
4. Centro em E, e com raio E2, descreve-se um arco que vai cortar AC
em D.
5. Une-se D a 2. Traça-se uma paralela a 2D pelo ponto C; esta paralela
corta o prolongamento do lado do quadrado no ponto B.
6. A distância AB é o lado do quadrado pedido.
7. Repetir procedimento de construção de quadrado, dado seu lado.
Exercício nº49 – Construir um losango conhecendo-se seu lado e a sua diagonal. AB=5cm e AC=3,5cm.
1. Sejam AB a diagonal e AC o lado do losango.
2. Sobre uma reta horizontal marca-se o segmento
AB. Em seguida, com centro em A e raio igual a
distância AC traça-se o arco de círculo 1 e 2.
3. Centro em B e mesmo raio, descreve-se o arco
que vai cortar o anterior nos pontos C e D.
4. Unindo os pontos A, C, B e D, teremos o losango
procurado.
Exercício nº50 – Construir um losango sendo dados um lado e um ângulo AB=3,5cm e ângulo de 45º.
1. Traça-se uma reta e sobre esta marca-se o segmento AB,
que é o lado.
2. Em uma de suas extremidades (no caso, A) constrói-se o
ângulo α, de modo que seu vértice coincida com A e o seu
lado com o segmento AB.
3. Em seguida, prolonga-se o outro lado do ângulo e marca-se
sobre ele a distância AB, com centro em A, raio AB.
4. Agora, traça-se uma paralela a AC passando por B, e outra
paralela a AB passando por C. Estas duas linhas encontramse no ponto D. Assim, teremos o losango ABCD.
Exercício nº51 – Construir um trapézio isósceles sendo dadas as duas bases assim como sua altura.
AB=6cm, CD=2,5cm e h=4cm.
1. Sobre uma reta horizontal marca-se a distância AB, que será a
base maior do trapézio.
2. Em seguida traça-se uma perpendicular pelo meio de AB. Nesta
reta marcamos a altura h.
3. Agora traça-se uma paralela a AB pelo ponto da altura e
marcam-se sobre esta a distância CD de modo que este segmento
esteja centralizado pela altura. Teremos assim o trapézio pedido.
Exercício nº52 – Construir um retângulo sendo conhecidos um de seus lados e a sua diagonal. AB=7cm e
AC=8cm.
1. Sobre uma linha horizontal marca-se o segmento AB, que é
o lado do retângulo.
2. A seguir levantam-se duas perpendiculares ao segmento
AB pelas extremidades A e B.
3. Com centro em qualquer uma das extremidades, e com raio
igual ao comprimento AC da diagonal, descreve-se um arco
que cortará a perpendicular oposta ao ponto centrado.
4. Traça-se então uma paralela à AB passando por este ponto
e determina-se assim os vértices do retângulo pedido.