Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia - PPGECT
O Geogebra no ensino de pêndulos acoplados
Diego F. Vizcaíno Arévalo
Olga L. Castiblanco Abril
Edval Rodriguez de Viveiros
Aguinaldo Robinson de Souza
Resumo
Apresenta-se uma aplicação do software “Geogebra” como ferramenta que
permite aprofundar no estudo de um fenômeno físico, para este caso o estudo dos
pêndulos simples acoplados por meio de uma mola. A idéia fundamental é tirar o
maior proveito da análise do fenômeno por meio de gráficos que levariam muito
tempo se fossem feitas obtendo os dados sobre a experiência, para o qual é preciso
desenvolver reflexões para re-pensar o discurso com que é apresentado
usualmente o tema, por exemplo em temas como; aplicações dos sistemas
oscilatórios acoplados, o modo próprio de oscilação de um pendulo, o acoplamento
em fase, oposição de fase e modo de batimento, ou a superposição de oscilações,
propiciando que o estudante exponha suas confusões ou duvidas. O objetivo não é
fornecer exatamente uma seqüência de atividades para o(a) professor(a)
desenvolver na aula, senão dar elementos para ele(a) re-criar seu trabalho na sala
de aula.
Palavras-chave: Geogebra, pêndulos acoplados, ensino da Física, software
educativo.
Abstract
The GeoGebra in teaching coupled pendulums
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We presents an application for the software “Geogebra” as a tool that it
allow to study in depth a physical phenomenon, for this case the study about
simple and compound pendulum with a spring. The fundamental idea is to extract
the major profit from the analysis by means of graphs that are very difficult to
obtain if they become taking information directly of the experience, in order to this
goal is necessary to consider reflections for re thinking the speech with which
usually the topic is presented, for example in topics like; applications for compound
systems, normal modes oscillators, superposition oscillators, or lower normal mode
of two coupled pendulums, higher normal mode of two coupled pendulums, and
system with one pendulum displaced, allowing students for exposes his confusions
or doubts. The aim is not offer exactly activities sequences in order that the teacher
develops the class, but to offer elements for the teacher could re create his
educational work.
Keywords: Geogebra, compound pendulum, physics teaching, educational
software.
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Introdução
Sob o pressuposto de que a riqueza pedagógica que envolve ou oferece um software não
está nele mesmo mas em quem o usa com intenções educativas, esta proposta tenta mostrar um
modo de aproveitar o Geogebra, ao permitir que estudantes e professores reforcem processos de
análise na construção dos conceitos que descrevem o movimento do pêndulo acoplado, como
também a formação de habilidades e conhecimentos para experimentar e obter dados possíveis
de serem representados e analisados num gráfico. Fato que implica o estudo do funcionamento
do pêndulo acoplado estabelecendo parâmetros, constantes e variáveis que definem o
movimento, passando pelo planejamento de hipóteses, previsões, análise dos gráficos obtidos e
interpretação dos mesmos para deduzir possíveis estados físicos, até chegar a formulação de
perguntas de pesquisa a fim de aprofundar na compreensão das características dos fenômenos
ondulatórios.
Assim, apresentaremos em primeiro lugar as características do movimento de um pendulo
acoplado em comparação com um pendulo simples evidenciando seus parâmetros, variáveis,
constantes e equações fundamentais, as quais permitirão fazer uso do Geogebra. Este exercício
permite propor algumas questões que podem orientar debates e temas a ser analisados em
profundidade antes de utilizar o software e inclusive antes de experimentar sobre o arranjo físico,
a fim de garantir claridade nos modos em que se explica o fenômeno. Na parte final apresentamse então alguns dos exercícios que podem ser feitos utilizando o Geogebra como ferramenta que
facilita a análise do sistema, antes ou depois das práticas experimentais.
Com relação ao Geogebra, é importante dizer que é um software desenvolvido por Markus
Hohenwarter em 2002, como parte do mestrado em Educação Matemática e Ciência da
Computação, na Universidade de Salzburg. O Geogebra “es un software interactivo de matemática
que reúne dinámicamente geometría, álgebra y cálculo.” (Hohenwarter, 2009), onde a
interatividade é mediada pelos conhecimentos matemáticos de professores e estudantes, pois foi
projetado para desenvolver atividades de ensino de qualquer conhecimento que implique no uso
de equações, gráficos e análise de dados. Possibilita a visualização gráfica, algébrica e de folha de
cálculo, vinculadas dinamicamente.
É interessante também destacar a escassa bibliografia sobre esta temática nos periódicos
nacionais. A título de exemplo, em levantamento realizado na Revista Brasileira de Ensino de Física
e na Revista Investigações em Ensino de Ciências, encontramos apenas dois artigos indiretamente
relacionados com a temática para a primeira revista, e para a segunda 10 artigos fazem alguma
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menção ao estudo de pêndulos, alguns destes artigos foram aqui considerados, apenas como uma
amostra do levantamento realizado para este artigo.
Variáveis, parâmetros e equações no pendulo simples e
pêndulos acoplados.
No que segue apresenta-se a comparação dos parâmetros, constantes e variáveis para o
pendulo simples e acoplado e as equações que descrevem cada sistema.
Figura 1 (a). Pendulo simples.
Figura 1 (a). Pêndulos acoplados por uma mola helicoidal.
De acordo com as figuras 1(a) e 1(b) pode-se estabelecer:
Tabela 1 – Comparação entre pendulo simples e acoplado.
Pêndulo simples
Parâmetro
- Ângulo (β) percorrido pela corda.
Pêndulo acoplado
- Ângulos (φ a , φ b )
-Amplitude (A) representada pela - Amplitude (A)
distância horizontal desde a linha
vertical de equilíbrio até o ponto de
- Comprimento das cordas (L)
-Comprimento
de
acoplamento
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( l ),
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desequilíbrio
posição da corda onde se fixa a mola.
- Comprimento da corda (L)
- Massa dos corpos (m)
- Massa do corpo (m)
-Constante de elasticidade da mola (k)
- Freqüência angular (w)
- Freqüência angular em fase ( w f )
- Freqüência angular em oposição de fase
( wcf )
- Freqüência angular da onda modulada
( wm )
Variáveis:
-Posição angular (β ), angulo que vai -Posição angular (φ).
percorrendo o pendulo quando o
tempo passa.
-Posição (y), ponto que vai ocupando o
corpo na trajetória curva quando o
tempo passa.
-Posição (y).
-Tempo(t), que vai utilizando para mudar
a posição angular (φ) ou posição
horizontal (y).
- Tempo(t), que vai utilizando o corpo
para mudar de posição na trajetória
curva.
Constantes:
- Aceleração da gravidade (g)
Equações
para
o
Geogebra:
 g 
t
 L 
y = ACos
- Aceleração da gravidade (g).
y f = ACos(w f t )
ycf = ACos(wcf t )
A
A
y = Cos(w f t )± Cos(wcf t )
2
2
Analise das equações no pendulo simples:
y = ACos(wt )
(1)
A equação (1) expressa a relação entre as variáveis (y), e , (t), onde (y) representa a
posição do pêndulo em quanto o tempo avança, e, (t) representa o tempo que vai demorando o
corpo para ter determinada posição. Nesta equação estão os parâmetros (A), e, (w). Onde (A) é a
amplitude, entanto, (w) é a freqüência angular. É preciso analisar que a freqüência angular pode
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ser interpretada como um parâmetro, porque ela está em dependência dos radianos por segundo
que correspondem ao ciclo, e isso está em dependência do comprimento (L) da corda, tal como é
possível concluir das equações (2) e (3)
w=
2π
(2)
T
A freqüência angular (w) é diferenciada da freqüência (f), porque (f) mostra o número de
ciclos de oscilação que o objeto dá em um segundo, entanto (w) mostra quantos radianos por
segundo correspondem ao ciclo, é por isso que a equação inclui a relação entre 2π e o período
(T), sendo o período definido em termos de comprimento segundo a equação (3).
(3)
L
g
 g 
y = ACos t 
 L 
T = 2π
(4)
A equação (4) é o resultado da associação das equações (1), (2) e (3), sendo então a que
pode ser utilizada para inserir dados no programa Geogebra.
Análise das equações no pêndulo acoplado:
O pendulo acoplado são dois pêndulos simples iguais, fixos ao mesmo suporte e unidos
por uma mola helicoidal de constante (k), onde a inserção da mola entre os pêndulos faz com que
os seus movimentos sejam dependentes, por tanto o sistema tem dois graus de liberdade já que
para descrever o movimento de cada um dos pêndulos se precisa de duas funções de posição com
relação ao tempo, as quais se superpõem em dependência do modo de oscilação do sistema.
A dinâmica associada ao movimento de cada um dos pêndulos é a seguinte: quando um
pendulo se separa da posição de equilíbrio um determinado angulo, aparece um torque
restaurador ( τ ) que vai levá-lo de novo a sua posição inicial com uma aceleração angular (α ), a
qual se relaciona com o torque assim;
r
r
τ = Iα
(5)
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Onde
(I )
é o momento de inércia da massa (m) com relação ao eixo de rotação.
Utilizando a definição de torque e levando em consideração os torques produzidos pela força
gravítica τ g = mgLSenφ , e a força da mola τ k = −kl 2 (φ 2 − φ1 ), e tendo em conta a equação
fundamental da dinâmica de rotação
∑ τ i = IφÝÝi , encontra-se que a mudança na posição angular
para o pendulo a que percorreu φ1 e para o pendulo b que percorreu φ 2 , é;
Ý = − mgLSenφ + kl 2 Sen (φ − φ )
IφÝ
a
1
2
1
2
Ý
Ý
Iφ b = − mgLSenφ 2 + kl Sen(φ 2 − φ1)
(6)
(7)
Onde para encontrar os modos próprios de oscilação de cada caso é preciso somar as
equações para o caso em fase e restar elas para o caso em oposição de fase, considerando que;
•
Senφ ≈ φ ,
•
θ1 = φ1 + φ 2 ;e;θ 2 = φ1 − φ 2
•
É preciso dividir as equações entre I
Se chega a que as freqüências de oscilação do sistema em fase que chamaremos ( w f ) , e
em oposição de fase que chamaremos ( wcf ) , são;
g
L
g
l 2k
2
wcf = + 2 2
L
Lm
wf 2 =
(8)
(9)
Ao tomar os movimentos tanto em fase quanto em oposição de fase com igual amplitude,
este poder ser um movimento harmônico simples onde o período dos dois pêndulos a e b para
seus modos próprios de oscilação, estão determinados pelas equações Tf = 2π
sistema em fase, e Tcf = Tf
L
para o
g
L− l
para o sistema em oposição de fase. Pode-se notar então que
L
o período em fase não depende do comprimento de acoplamento já que a mola não esta
intervindo no movimento, em tanto em oposição de fase a relação entre o comprimento de
acoplamento ( l ) e o período é inversamente proporcional.
Alem, ao resolver as equações diferencias se obtém as equações da posição angular dos
pêndulos quando oscilam em fase com φ a = φ b , e em oposição de fase com φ a = −φ b .
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φ a (t ) = φ a Coswt
φ b (t ) = φ b Coswt
(10)
(11)
Para o caso em que os pêndulos oscilam em modo de batimento, por exemplo, deixando o
pendulo a em equilíbrio e liberando o pendulo b desde um angulo φ 0 , após um tempo os dois
pêndulos terão posições angulares φ1, φ 2 , e alguma direção do seu movimento, onde a posição
angular dos pêndulos será dada pela equação (12) para o pendulo a como a soma dos modos
próprios, e a equação (13) para o pendulo b como a diferencia dos modos;
φ a (t ) = φ 0 (Cosw f t + Coswcf t )
1
2
1
φ b (t ) = φ 0 (Cosw f t − Coswcf t )
2
(12)
(13)
Cada uma destas equações representa a posição angular dos pêndulos em modo de batimento. Se
observa que a amplitude de uma vai diminuindo entanto a amplitude da outra vai aumentado, o
qual faz com que no modo de vibração do sistema apareça um “pulso” que é uma onda modulada
ou envolvente com sua própria freqüência angular, a qual está em dependência das freqüências
em fase e oposição de fase, e se descreve com a equação (14)
wm =
(14)
1
(w f − wcf )
2
Esta onda modulada tem então uma amplitude (A) de oscilação que surge quando a amplitude (A)
de cada pendulo alcança seu valor máximo e mínimo, já que tais valores vão se repetindo
periodicamente, assim a onda envolvente pode se descrever para cada pendulo com as equações
(15) e (16);
ya (t ) = ACos(wm t )
(15)
yb (t ) = ASen(wm t )
(16)
Uma vez estabelecidos os fatores com os quais se observa o pêndulo acoplado, é preciso construir
critérios de análise do fenômeno. Proporemos uma seqüência de questionamentos para orientar
debates, leituras, exercícios a fim de aprofundar nas teorias que explicam o movimento e
propiciar a construção de imagens por parte de estudantes e professores, que conformarão a
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base para explorar as potencialidades do software, fazendo que este não seja simplesmente um
instrumento para ilustrar o fenômeno, senão que permita as pessoas confrontarem suas idéias,
fazer previsões, tentar compreender novos sistemas físicos e extrapolar o conhecimento para
outros fenômenos.
Perguntas orientadoras.
- O que é um modo próprio de oscilação?
Compreender o modo de oscilação de um pendulo simples é um fato quase imediato,
porém num pendulo acoplado se faz um pouco mais complexo devido a que a mola pode intervir
de diferentes modos no movimento dos pêndulos, gerando diversos modos de oscilação do
sistema, fato que é preciso estudar sob as condições iniciais em que o sistema funciona. Pode-se
então refletir sobre as condições necessárias para que o sistema descreva um movimento
harmônico simples, levando a compreensão do movimento em fase, em oposição de fase ou em
modo de batimento. Neste ponto pode se analisar a aplicação de um elemento de matematização
dos fenômenos físicos, tal como é a idéia de “superposição” que para este fenômeno se traduz
basicamente na soma ou resta dos movimentos, o qual implica ter clareza sobre as forças que
produzem movimento no sistema, levando a analisar os torques produzidos pela força gravítica e
a força restauradora da mola.
- Se num pendulo simples a relação entre o comprimento da corda e a freqüência, é inversa.
Acontecerá o mesmo na relação entre o comprimento de acoplamento e a freqüência dos
pêndulos?.
Este tipo de analise permite estabelecer diferencias entre comprimento da corda e
comprimento de acoplamento com seus efeitos nas oscilações, alem de que vai gerar a
necessidade de expor as possibilidades de oscilação que tem o acoplado e o tipo de equações que
descrevem a relação entre os diversos parâmetros.
- Qual é a relação entre a constante k da mola e a freqüência do acoplado?
Resulta interessante tentar descobrir com os estudantes o ranking de constante que deve
ter a mola de modo tal que não seja nem muito pequeno o k que a mola não tenha efeito sobre
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os pêndulos, nem muito grande que a mola faça com que o sistema se comporte de forma rígida.
Onde tal ranking deverá ter relação com os parâmetros dos pêndulos. É sabido que si k aumenta
as freqüências aumentam, mas é importante não somente falar esta verdade para o estudante,
senão tentar definir sob quais condições. Alem, no caso por exemplo do movimento do acoplado
em modo de batimento observa-se que cada pendulo tem uma freqüência de oscilação, mas o
sistema vai tendo “pulsações” levando a necessidade de falar da oscilação envolvente, o qual gera
reflexões sobre a possibilidade de explicar tal fato como o traspasso da força de um pendulo ao
outro por meio da mola, ou sobre como se explica a conservação da energia do sistema.
- Que tipo de aplicações pode ter o estudo dos acoplados?
Um sistema formado por dois osciladores acoplados e seus resultados é a base para
trabalhar sistemas formados por muitos osciladores, como por exemplo um solido, onde cada
átomo pode se comportar como um oscilador vibrando ao redor de sua posição de equilíbrio,
mais cada um deles influência nos outros porque todos os átomos do solido estão acoplados
entre eles. Quer dizer que a partir do estudo de osciladores acoplados se pode chegar a conhecer
propriedades dinâmicas por exemplo de redes cristalinas. Também, chegar a uma onda
envolvente a partir de dois pêndulos acoplados nos apresenta a teoria base das sinais de
amplitude modulada usada em comunicação de radio. O AM amplitude modulada é usada em
ondas medias, curtas e incluso VHF, e utilizada em comunicação entre aviões e aeroportos.
O estudo deste sistema é também interessante para a compreensão dos sistemas caóticos,
os quais são sensíveis a condições iniciais leves e evoluem rapidamente em estados físicos
aparentemente diferentes, exibindo comportamentos irregulares e imprevisíveis. Por exemplo,
para o registro e estudo do movimento caótico do pêndulo duplo foi desenvolvido Vankó (2007),
através de um aparato que constava basicamente de um conjunto de câmeras acopladas a um
computador, posicionados a certa distância de um pêndulo duplo. Para os objetivos de análise
que pretendemos neste artigo, convém destacar um interessante gráfico obtido através deste
experimento, que relaciona os respectivos ângulos de rotação dos dois braços do pêndulo (o
maior e o menor), em função do tempo, conforme vemos nas figuras 5 e 6.
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Figura 2 - Ângulo de rotação versus tempo para o braço maior do pêndulo duplo (Vankó, 2007)
Figura 3 - Ângulo de rotação versus tempo para o braço menor do pêndulo duplo (Vankó, 2007)
Em ambas as situações, o que fica evidenciado é a característica caótica que o movimento
pendular do tipo acoplado induz no sistema como um todo (ou separadamente, conforme se
observa pelos gráficos).
Em processos químicos, que formam sistemas caóticos, onde existe a necessidade de se
controlar o sistema, muitos parâmetros e variáveis interferem no sistema, na forma dos mais
variados tipos de ruídos, como variação temporal, não-linearidades e incertezas. Isto exige uma
série de estratégias de ajuste dos parâmetros que influenciam na performance do sistema. Nestas
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situações químicas ou biológicas, a interação ou a ligação entre átomos e moléculas podem ser
aproximadas a um acoplamento semelhante a um pêndulo .
Ainda considerando fenômenos envolvendo sistemas mecânicos (artificiais ou biológicos),
Hinrichsen (1981) resgata aplicações práticas para o pêndulo composto, que podem tanto ser
trabalhadas no ensino médio quanto no ensino superior. Isto inclui a determinação do centro de
massa e momento de inércia de alguns sistemas físicos. Exemplos disto são: distribuição de massa
do corpo humano em situações dinâmicas, estudo dinâmico de um trator e a análise dinâmica de
um veleiro.
Exercícios de análise por meio do Geogebra.
Sistemas físicos:
•
Caso 1: Sistema oscilando com igual amplitude e igual fase.
Figura 4. Sistema em fase
•
Caso 2: Sistema oscilando com igual amplitude em oposição de fase.
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Figura 5. Sistema em oposição de fase.
•
Caso 3: Sistema em modo de batimento ou “pulsação”.
Figura 6. Sistema em modo de batimento.
Análises de gráficos
No que segue pode se observar que os gráficos são obtidos de forma relativamente rápida,
o que significa que pode se aprofundar na analise das mesmas fazendo exercícios de mundança
de parâmetros, por meio de perguntas que façam com que o estudante tenha que formular uma
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hipóteses sob a qual decidir quais parâmetros mudar e em que quantidade. Podem ser perguntas
tipo;
- Qual é o fator que tem maior influencia na variação do modo próprio de oscilação de um
pendulo acoplado, e porque?
- O que parâmetro deve ser mudado para diminuir a diferencia do período entre o sitema em fase
oposta e em fase.
- Se o comprimento das cordas é aumentado ao duplo, aumentará ao duplo também a
freqüência?
- Se o comprimento de acople do sistema é diminuído a metade, diminuirá a metade também a
freqüência?
- Como determinar o valor máximo e mínimo da constante da mola para que o efeito no sistema
seja observável.
- Que elementos permanecem e que elementos variam, quando são comparados
simultaneamente os gráficos dos sistemas em fase, fase oposta e modo de batimento?
- O que parâmetros se devem mudar para obter uma oscilação modulada de freqüência menor?
- Em um sistema em modo de batimento, de que depende o numero de oscilações que apresenta
cada pendulo dentro de cada pulso ou “batimento”.
•
Gráfico de oscilação em fase e fase oposta.
Figura 7. Oscilação em modo fase e fase oposta.
Os parâmetros são: A=0.2m ; L=1m ; l=0.8m ; k=3N/m ; m=1Kg. Pode-se enxergar que o modo em
fase oposta tem período menor do que em fase, mas a amplitude é igual.
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•
Gráfico de oscilações em oposição de fase, mudando os parâmetros L, l, k, m.
Figura 8. oscilações em oposição de fase, mudando os parâmetros L, l, k, m.
Na figura 8 se enxerga a oscilação para o pendulo no modo de oposição de fase, onde o
comprimento do pendulo é 1m cuja oscilação é representada nas partes a,b,c y d, de cor preto.
No gráfico (a) o cumprimento é mudado a 2m (vermelho). No gráfico (b) o comprimento de
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acoplamento e mudado de 0.8 (preto) para 0.5 (vermelho). No gráfico (c) a constante K muda de
3N/m (preto) para 6N/m (vermelho). No gráfico (d) a massa muda de 1kg (preto) para 2kg
(vermelho).
•
Gráfico de oscilações em modo de batimento variando um parâmetro para cada gráfica.
Figura 9. Oscilações em modo de batimento variando um parâmetro para cada gráfica.
Na figura 9 (a) apresentam-se diferentes pulsações produzidas no pendulo a, com
parâmetros iniciais A= 0,2m, L=1m, l= 0,8m; k=3n/m; m=1kg. Para cada uma das seguintes foi
mudado um parâmetro : b) L=2m; c), l= 0,5m; d) k=6N/m; e) m=2Kg.
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Considerações finais
- Em cada um dos exercícios anteriores foram citadas perguntas que podem ser
consideradas como perguntas de investigação, já que não tem uma resposta imediata, senão que
precisam de estabelecer processos que permitam fazer reflexões, caracterizar sistemas físicos,
levantar hipóteses, tirar conclusões, e outros aspectos que dependerão das intenções e
capacidades de aprofundamento tanto de estudantes como de professores.
- É possível tentar generalizar o comportamento oscilatório do pêndulo para outros
fenômenos oscilatórios, o qual implica processos com maiores níveis de abstração cada vez.
- O uso do Geogebra aqui apresentado permite trabalhar com os estudantes a
importância de diferentes parâmetros, variáveis e constantes no momento de estudar um sistema
físico, seja para levantar dados ou simplesmente para pensar neles, de igual modo oferecer
rapidez para desenvolver processos de levantamento de hipóteses e comparação de resultados,
permitindo alcançar maiores níveis de abstração na compreensão dos fenômenos. Também seria
um ganho na aprendizagem conseguir a consciência do estudante entre a diferença que implica
fazer representações ondulatórias geometricamente e representar graficamente a relação entre
variáveis por meio de gráficos ondulatórios.
Referências
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07 a 09 de outubro de 2010
ISBN: 2178-6135
Artigo número: 77
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