Estatística
3 - Probabilidades
Exemplo 1 – Espaço Amostral
ESPAÇO AMOSTRAL: S
Conjunto de todos os resultados possíveis de uma
variável do fenômeno em observação
EVENTO : A
Sub-conjunto de resultados possíveis
Experimento:
Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o
número da face superior.
Seja:
x1 = número da face superior do 1º dado
x2 = número da face superior do 2º dado.
Espaço Amostral “S”:
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4, 5) (4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
Exemplo 1 – Operações
a) Intersecção de eventos: ( A  B)
Consideremos os eventos:
A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)}
B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}
ESPAÇO AMOSTRAL S
B
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4, 5) (4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
A
( A  B)
A
S
B
Exemplo 1 – Operações
( A  B)
a) União de eventos:
Consideremos os eventos:
A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)}
B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}
ESPAÇO AMOSTRAL S
B
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4, 5) (4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
A
( A  B)
S
A
B
Exemplo 1 – Operações
a) Evento complementar:
(B )
Consideremos o evento:
B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}
ESPAÇO AMOSTRAL S
B
B
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4, 5) (4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
B
B
S
Exemplo 1 – Operações
a) Eventos excludentes: se( E  F )  
Consideremos os eventos:
E= x1=x2 = 1 = {(1,1)}
F = x1+x2 = 5 = {(1,4) , (2,3), (3,2), (4,1)}
E
F
ESPAÇO AMOSTRAL S
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4, 5) (4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
E
S
F
Probabilidades
ESPAÇO AMOSTRAL: S
Conjunto de todos os resultados possíveis de
uma variável do fenômeno em observação
EVENTO : A
Sub-conjunto de resultados possíveis
FUNÇÃO PROBABILIDADE: P
P:S
[ 0, 1 ]
PROBABILIDADE:
m
P( A) 
n
onde
m = número de resultados favoráveis ao evento A
n = número de resultados possíveis
P( S )  1
Exemplo 1 – Propriedades
a) Intersecção de eventos: ( A  B)
Consideremos os eventos:
A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)}
B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}
ESPAÇO AMOSTRAL S
B
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4, 5) (4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
P( A  B)  ?
1
P( A  B) 
36
A
Exemplo 1 – Propriedades
( A  B)
a) União de eventos:
Consideremos os eventos:
A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)}
B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}
ESPAÇO AMOSTRAL S
B
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4, 5) (4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
Propriedades:
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
P( A  B) 
3
36

15
36

1
36
P( A  B)  1  P( A  B)
P( A  B)  1
19

36

17
36

17
36
A
Exemplo 1 – Propriedades
( A  B)
a) União de eventos:
Consideremos os eventos:
A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)}
B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}
ESPAÇO AMOSTRAL S
B
A
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4, 5) (4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
P( A  B)  1  P( A  B)
P( A  B)  1
19

36

17
36
Exemplo 1 – Propriedades
a) Evento complementar:
(B )
Consideremos o evento:
B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}
ESPAÇO AMOSTRAL S
B
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4, 5) (4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
21
P( B) 
36
Propriedade:
P( B)  1  P( B)
15 21
P( B)  1 

36 36
Exemplo 1 – Operações
a) Eventos excludentes: se( E  F )  
Consideremos os eventos:
E= x1=x2 = 1 = {(1,1)}
F = x1+x2 = 5 = {(1,4) , (2,3), (3,2)}
E
F
ESPAÇO AMOSTRAL S
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4, 5) (4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
Propriedades:
P( )  0
P( E  F )  P( E)  P( F )
P( E  F ) 
1
4
5


36
36
36
Exercício
Um escritório tem 70 projetos, dos quais
35 utilizam o software A
31 utilizam o software B
25 utilizam o software C
a) Com base no diagrama de Venn, calcule o número de projetos que utilizam os softwares
A ou B:
B
A
b) Com base no diagrama de Venn, calcule o número de projetos que utilizam os
softwares A, B ou C.
Obs: 14 utilizam os softwares A e B
9 utilizam os softwares B e C
A
21
14
B
8
9
C
16
c) Com base no diagrama de Venn, calcule o número de projetos que
utilizam os softwares A, B ou C.
Obs: 14 utilizam os softwares A e B
10 utilizam os softwares A e C
9 utilizam os softwares B e C
4 utilizam os softwares A, B e C
15
C
6
A
10
4
5
10
12
B
Um escritório tem 70 projetos, dos quais
35 utilizam o software A
31 utilizam o software B
25 utilizam o software C
Exemplo 1 – Probabilidade Condicionada
Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior:
Seja:: x1 = número 1º dado e x2 = número 2º dado.
ESPAÇO AMOSTRAL S
B
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4, 5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
A
Consideremos os eventos:
A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10}={(4,6),(5,5),(6,4)}
B = {(x1, x2) | x1 > x2} = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}
P(A) = 3/36
P(B) = 15/36
P(A  B) = 1/36
Experimento:
Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face
superior:
Probabilidade Condicionada
Seja:: x1 = número 1º dado e x2 = número 2º dado.
A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10}
P(A)=3/36
B = {(x1, x2) | x1 > x2}
ESPAÇO AMOSTRAL S
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
Ocorreu o evento B
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
A
P(A/B)=?
ESPAÇO AMOSTRAL S
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(3,2)
(4,2) (4,3)
(5,2) (5,3) (5,4)
(6,2) (6,3) (6,4) (6,5)
Ocorreu o evento B
P(A|B)=1/15
A
Probabilidade Condicionada
B
A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10}
P(A)=3/36
B = {(x1, x2) | x1 > x2}
P(B)=15/36
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
P(A  B) = 1/36
P( A  B) 1 / 36
P( A B) 

 1 / 15
P( B)
15 / 36
Propriedade
P( A  B)  P( A B) * P(B)
P( A  B)  P(B A) * P(A)
A
Probabilidade Condicionada
A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10}
B = {(x1, x2) | x1 > x2}
P(B)=15/36
ESPAÇO AMOSTRAL S
B
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
Ocorreu o evento A
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
P(B/A)=?
B
(4,6)
(5,5)
(6,4)
Ocorreu o evento A
P(B|A)=1/3
Probabilidade Condicionada
B
A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10}
P(A)=3/36
B = {(x1, x2) | x1 > x2}
P(B)=15/36
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
P(A  B) = 1/36
P( B A) 
P( A  B) 1 / 36

 1/ 3
P( A)
3 / 36
Propriedade
P( A  B)  P( A B) * P(B)
P( A  B)  P(B A) * P(A)
A
Eventos Independentes
Retome o Exemplo 1: lançamento de 2 dados equilibrados
Consideremos os eventos :
A ={(x1 , x2) | x1 é par}
B ={(x1 , x2) | x2 = 5 ou x2 = 6}
A
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
B
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
P(A)=18/36=1/2
P(B)=12/36=1/3
P(A  B)=6/36=1/6
Observação : A , B são eventos independentes,
não relacionados
“Saber que A ocorreu não fornece qualquer
informação sobre a ocorrência de B ”
Eventos Independentes
Retome o Exemplo 1: lançamento de 2 dados equilibrados
Consideremos os eventos :
A ={(x1 , x2) | x1 é par}
B ={(x1 , x2) | x2 = 5 ou x2 = 6}
Ocorreu o evento A
P(B/A)=?
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Ocorreu o evento A
P(A)=18/36=1/2
P(B/A) =
P(B|A)=6/18=1/3
P(B)=12/36=1/3
P(A  B)=6/36=1/6
P( A  B ) 1/6 1
=
  P( B)
P ( A)
1/2 3
Eventos Independentes
Retome o Exemplo 1: lançamento de 2 dados equilibrados
Consideremos os eventos :
A ={(x1 , x2) | x1 é par}
B ={(x1 , x2) | x2 = 5 ou x2 = 6}
Ocorreu o evento B
Ocorreu o evento B
P(A)=18/36=1/2
P(A/B)=?
(1,5)
(1,6)
(2,5)
(2,6)
(3,5)
(3,6)
(4,5)
(4,6)
(5,5)
(5,6)
(6,5)
(6,6)
P(A|B)=6/12=1/2
P(B)=12/36=1/3
P(A  B)=6/36=1/6
P( A  B) 1/6 1
P(A/B) =
=
  P( A)
P( B)
1/3 2
Eventos Independentes
No exemplo :
P(A)=18/36=1/2
P(A  B)=6/36=1/6
P(B)=12/36=1/3
P(A/B)  P ( A) 
1
2
1
P(B/A)  P ( B ) 
3
 P(A  B) = P(A/B)  P(B) = P(A).P(B/A )  P(A)  P(B)
 P(A  B) =
1 1 1
 
2 3 6
Define-se :
A , B são eventos independentes
 P(A  B)  P(A)  P(B)
Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada
Num lote de 100 peças , temos :
20 Defeituosas
80 Não defeituosas
Escolhemos 2 peças , ao acaso:
– com reposição
– sem reposição
Consideremos os eventos :
A={primeira peça é defeituosa}
B={segunda peça é defeituosa}
COM REPOSIÇÃO:
20 1
P( A) 

100 5
P(B) 
20
1

100 5
EspaçoEspaço Probabilidade
Probabilidade
Evento
amostral
amostral
DD
DD
1/5*1/5=1/25
1/5*1/5=1/25 ( A  B)
DN
DN
1/5*4/5=4/25
1/5*4/5=4/25 ( A  B)
ND
ND
4/5*1/5=4/25
4/5*1/5=4/25 ( A  B)
NN
NN
4/5*4/5=16/25
4/5*4/5=16/25 ( A  B)
1 1 1
P( A  B)   
5 5 25
Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada
Num lote de 100 peças , temos :
20 Defeituosas
80 Não defeituosas
Consideremos os eventos :
A={primeira peça é defeituosa}
B={segunda peça é defeituosa}
Pede-se : P(A) e P(B)
COM REPOSIÇÃO:
P( A) 
20 1

100 5
20
1
P(B) 

100 5
P ( A  B ) 1 / 25
P ( B A) 

 1 / 5  P( B)
P ( A)
1/ 5
P( A B) 
P ( A  B ) 1 / 25

 1 / 5  P ( A)
P( B)
1/ 5
 P( A  B)  P( A / B)  P( B)  P( A)  P( B / A)  P( A)  P( B)
 P( A  B)  P( A / B)  P( B)  1 / 25
Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada
20 1
P( A) 

100 5
CASO SEM REPOSIÇÃO
Espaço
amostral
Probabilidade
Evento
DD
20/100*19/99=
=19/495
( A  B)
20/100*80/99=
=80/495
( A  B)
80/100*20/99=
=80/495
( A  B)
80/100*79/99=
=316/495
( A  B)
DN
ND
NN
A
B
A
P( B)  P( B  A)  P( B  A)  P( B / A)  P( A)  P( B / A)  P( A)
Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada
CASO SEM REPOSIÇÃO
Espaço
amostral
Probabilidade
Evento
DD
20/100*19/99=
=19/495
( A  B)
20/100*80/99=
=80/495
( A  B)
80/100*20/99=
=80/495
( A  B)
80/100*79/99=
=316/495
( A  B)
DN
ND
NN
P( B)  P( B  A)  P( B  A)  P( B / A)  P( A)  P( B / A)  P( A)
P( B)  P( B  A)  P( B  A) 
P( B A) 
19
80
99 1



495 495 495 5
P( A  B) 19 / 495

 19 / 99  P( B )
P( A)
1/ 5
Eventos A e B não são independentes
Probabilidades
Eventos: A, B são EXCLUDENTES ?
• NÃO:
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
• SIM:
P( A  B)  P( A)  P( B)
P( A  B)  0
Eventos: A, B são INDEPENDENTES ?
• NÃO:
P( A  B)  P( B / A)  P( A)  P( A / B)  P( B)
• SIM:
P( A  B)  P( B)  P( A)
P( B / A)  P( B)
P( A / B)  P( A)