Colégio D.Dinis
Ano Letivo 2014/2015
12º Ano
Ficha Extra Nº3
Tema: Equação do plano
O professor: Hugo Soares/Isabel Braga
1º Período
Data: Dezembro 2014
Equação do plano
 Equaçao cartesiana do plano
Definição(Equação cartesiana do plano): Dado um ponto A( x A , y A , z A ) do plano e um
vetor n  (a, b, c) perpendicular ao plano. Então considera-se P ( x, y , z ) um ponto
qualquer do plano, define-se AP e determina-se
n  AP  0  ( a, b, c )  ( x  x A , y  y A , z  z A )  0
 a ( x  x A )  b  y  y A   c (z  z A )  0
Exemplo1: Considere, no espaço, os pontos A(-2,4,2) e o vetor n  (2,1,3) . Defina a
equação cartesiana do plano que passa em A e é perepndicular a n .
Resolução:


AP  P  A  ( x, y, z )  ( 2, 4, 2)  ( x  2, y  4, z  2)
n  AP  0  ( 2,1, 3)  ( x  2, y  4, z  2)  0
 2( x  2)  1( y  4)  3( z  2)  0
Exercício 1: Define a equação cartesiana do plano que passa em
a) A(-3,2,-1) e é perpendicular ao vetor n  (2, 2,3)
b) A(3,-2,-2) e é perpendicular ao vetor n  (2, 2,1)
c) A(1,2,3) e é perpendicular ao vetor n  (3, 1, 2)
d) A(4,-3,-2) e é perpendicular ao vetor n  (1, 2, 2)
 Equaçao geral do plano
Definição(equação geral do plano): Dado um ponto A( x A , y A , z A )
do plano e um
vetor n  (a, b, c) perpendicular ao plano. Define-se a equação cartesiana do plano
a ( x  x A )  b  y  y A   c (z  z A )  0 e simplifica-se.
Exemplo2: Considere, no espaço, os pontos A(-2,4,2) e o vetor n  (2,1,3) . Defina a
equação geral do plano que passa em A e é perepndicular a n .
Resolução:


AP  P  A  ( x, y, z )  ( 2, 4, 2)  ( x  2, y  4, z  2)
n  AP  0  ( 2,1, 3)  ( x  2, y  4, z  2)  0
 2( x  2)  1( y  4)  3( z  2)  0
 Simplificando obtém-se
2( x  2)  1( y  4)  3( z  2)  0  2 x  4  y  4  3 z  6  0
 2 x  y  3 z  14  0
Exercício 2: Define a equação geral do plano que passa em
a) A(-3,2,-1) e é perpendicular ao vetor n  (2, 2,3)
b) A(3,-2,-2) e é perpendicular ao vetor n  (2, 2,1)
c) A(1,2,3) e é perpendicular ao vetor n  (3, 1, 2)
d) A(4,-3,-2) e é perpendicular ao vetor n  (1, 2, 2)
Outros modos de definir a equação de um plano
 Dados três pontos do plano
Para definir a equação do plano, conhecidos três pontos A, B e C deve:
o 1º passo – definir AB e BC
o 2º passo – determinar
a família de vetores normais, n de modo que

 n  AB  0


 n  BC  0
o 3º passo – escolher um vetor da família, escolhendo um valor
o 4º passo – definir a equação cartesiana do plano n  AP  0 , sendo
P ( x, y , z )
o 5º passo – simplificar a condição n  AP  0  ax  by  cz  d  0
Exemplo3: Escreva a equação geral do plano que passa em A(0,0,1); B(2,0,0) e C(0,3,0)
1º passo - definir AB  B  A  (2, 0, 1) e BC  C  B  (2,3,0)
 n  AB  0

( a , b, c )  (2, 0, 1)  0

( a , b, c )  ( 2,3,0)  0

 n  BC  0
2º passo – determinar n de modo que 
c  2a
 2a  c  0



2
b a
 2a  3b  0

3

 2

n   a, a, 2a 
 3

3º passo – escolher um vetor da família, para a  3 então n   3, 2,6  é um vetor
perpendicular ao plano ABC
4º passo – definir a equação cartesiana do plano n  AP  0 , sendo P ( x, y , z )
n  AP  0  3( x  2)  2( y  0)  6( z  0)  0
5º passo – simplificar a condição:
n  AP  0  3( x  2)  2( y  0)  6( z  0)  0
 3x  6  2 y  6 z  0  2 x  3 y  6 z  6  0
Exercício 3: Escreva a equação geral do plano que passa em
a)
b)
c)
d)
A(1,0,1); B(1,1,0) e C(1,3,1)
A(-1,1,1); B(1,-1,0) e C(1,3,1)
A(1,1,1); B(-1,1,0) e C(1,-2,1)
A(1,1,-1); B(-1,-1,0) e (1,3,0)
 Dado um ponto e uma reta do plano
Para definir a equação do plano, conhecido um ponto e um vetor do plano deve:
o 1º passo – identificar um ponto B e o vetor diretor r da reta dada
o 2º passo - definir AB , sendo A o ponto conhecido do plano
o 3º passo – determinar a família de vetores normais, n de modo que

 n  AB  0


n  r  0
o 4º passo – escolher um vetor da família
o 5º passo – definir a equação cartesiana do plano n  AP  0 , sendo
P ( x, y , z )
o 6º passo – simplificar a condição n  AP  0  ax  by  cz  d  0
Exemplo 4: Escreva a equação geral do plano que passa em A(0,0,1) e contém a reta
r : ( x, y, z )  (0,1, 2)  k (2,3,5), k 
1º passo – identificar B (0,1, 2) e r  (2,3,5)
2º passo – definir AB  B  A  (0,1,1)

 n  AB  0
3º passo – determinar n de modo que 
( a , b, c )  (0,1,1)  0

( a , b, c )  (2,3,5)  0

n  r  0
b  c  0
b   c
b   c



 2a  3b  5c  0
 2c  3b  5c  0
a  c
n    c, c,c 
4º passo – escolher um vetor da família, para c  1 então n   1, 1,1 é um
vetor perpendicular ao plano pedido
5º passo – definir a equação cartesiana do plano n  AP  0 , sendo P ( x, y , z )
n  AP  0  1( x  0)  1( y  0)  1( z  1)  0
6º passo – simplificar a condição:
n  AP  0  1( x  0)  1( y  0)  1( z  1)  0   x  y  z  1  0
Exercício 4: Escreva a equação geral do plano que passa em
a) A(0,0,1) e contém a reta r : ( x, y, z )  (0,1, 2)  k (2,3,5), k 
b) A(-1,0,1) e contém a reta r : ( x, y, z )  (0,1, 2)  k (2, 1, 3), k 
c) A(1,2,1) e contém a reta r : ( x, y, z )  (0, 1, 2)  k ( 1, 2, 2), k 
d) A(0,0,1) e contém a reta r : ( x, y, z )  (1,1, 2)  k (2,1, 1), k 
4
 Dadas duas retas concorrentes do plano
Para definir a equação do plano deve:
o 1º passo – identificar os vetores diretores r e s das retas dadas e um dos
seus pontos (podes escolher da reta r ou da reta s)
o 2º passo – determinar a família de vetores normais, n de modo que

n  s  0


n  r  0
o 3º passo – escolher um vetor da família
o 4º passo – definir a equação cartesiana do plano n  AP  0 , sendo
P ( x, y , z )
o 5º passo – simplificar a condição n  AP  0  ax  by  cz  d  0
Exemplo 5: Defina a equação geral do plano que contém as retas
r : ( x, y , z )  ( 1, 2,1)  k (1,1,0), k 
e
s : ( x, y, z)  ( 1,1,1)  k(0,1, 1), k 
o 1º passo – identificar r  (1,1,0) e s  (0,1, 1) e o ponto da reta s
A(-1,1,1)
o 2º passo – determinar a família de vetores normais, n de modo que

 ( a , b, c )  (1,1,0)  0
a  b  0
 a  b
n  s  0




 ( a , b, c )  (0,1, 1)  0
b  c  0
c  b

n  r  0
n  ( b, b, b )
o 3º passo – escolhendo b  1 , temos n  (1, 1, 1) temos um vetor
perpendicular ao plano.
o 4º passo – definir a equação cartesiana do plano n  AP  0 , sendo
P ( x, y , z )
n  AP  0  1( x  1)  1( y  1)  1( z  1)  0
o 5º passo – simplificar a condição n  AP  0 
 1( x  1)  1( y  1)  1( z  1)  0  x  y  z  3  0
Exercício 5: Defina a equação geral do plano que contém as retas
a) r : ( x, y, z )  ( 1, 2,1)  k (1,1, 0), k 
e
s : ( x, y, z )  ( 1,1,1)  k (0,1, 1), k 
5
b) r : ( x, y, z )  (1, 2,3)  k ( 1,1, 0), k 
e
s : ( x, y, z )  (1,1, 2)  k (2, 1, 0), k 
c) r : ( x, y, z )  (1, 2, 1)  k (2, 1,1), k 
e
s : ( x, y, z )  (1, 3,1)  k (2,1,1), k 
 Dadas duas retas paralelas do plano
Para definir a equação do plano deve:
o 1º passo – identificar um dos vetores diretores r ou s das retas dadas e um
ponto de cada reta ( A e B)
o 2º passo – defenir AB
o 3º passo – determinar a família de vetores normais, n de modo que

n  s  0


n  r  0
o 4º passo – escolher um vetor da família
o 5º passo – definir a equação cartesiana do plano n  AP  0 ou n  BP  0
sendo P ( x, y , z )
o 6º passo – simplificar a condição n  AP  0  ax  by  cz  d  0
Exemplo 6: Defina a equação geral do plano que contém as retas paralelas
r : ( x, y, z )  ( 1, 2,3)  k (1,1,0), k 
e s : ( x, y, z)  ( 1,1,1)  k(2,2,0), k 
o 1º passo – identificar r  (1,1,0) e os pontos da retas A(-1,2,3) e B(-1,1,1)
o 2º passo – definir AB  B  A  (0, 1, 2)
o 3º passo – determinar a família de vetores normais, n de modo que

 n  AB  0


n  r  0

 ( a , b, c )  (0,1, 2)  0


 ( a , b, c )  (1,1, 0)  0
b  2 c  0


a  b  0
1

c  b
2


 a  b
,
1 

n   b, b, b 
2 

o 4º passo – escolhendo b  2 , temos n  (2, 2,1) temos um vetor
perpendicular ao plano.
o 5º passo – definir a equação cartesiana do plano n  BP  0 , sendo
P ( x, y , z )
n  BP  0  2( x  1)  2( y  1)  1( z  1)  0
o 6º passo – simplificar a condição n  BP  0 
 2( x  1)  2( y  1)  1( z  1)  0  2 x  2 y  z  5  0
6
Exercício 6: Defina a equação geral do plano que contém as retas paralelas
a) r : ( x, y, z )  (1, 2, 3)  k ( 1, 1, 0), k 
e
s : ( x, y , z )  (1,1,1)  k (3, 3, 0), k 
b) r : ( x, y, z )  (1, 0, 3)  k (0,1, 2), k 
e s : ( x, y, z )  (0,1,1)  k (0, 2, 4), k 
c) r : ( x, y, z )  (1, 2, 0)  k (2, 0, 4), k 
e s : ( x, y, z )  (0,1,1)  k (1, 0, 2), k 
d) r : ( x, y, z )  ( 1, 2, 3)  k (1,1, 0), k 
e
s : ( x, y , z )  ( 1,1,1)  k (2, 2, 0), k 
7