GEOMETRIA EUCLIDIANA I
AULA 06: CIRCUNFERÊNCIA
TÓPICO 03: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA
DEFINIÇÃO 5:
Dadas uma reta e uma circunferência no plano, diremos que a reta é secante,
tangente ou exterior à circunferência conforme a interseção da reta com a
circunferência seja, respectivamente, dois pontos, um ponto ou nenhum
ponto.
No caso da reta secante, se A e B são os pontos de interseção da secante com
a circunferência, então todos os pontos entre A e B são interiores e os
demais, exceto A e B, são exteriores à circunferência.
OLHANDO DE PERTO
Observe que todos os pontos de uma reta exterior a uma circunferência,
são pontos exteriores a essa circunferência e os pontos de uma reta
tangente são também todos exteriores, exceto o de tangência
TEOREMA 6
Sejam α uma circunferência de centro O e raio r, t uma reta tangente a
α e P o ponto de tangência. Então,
é perpendicular a t.
TEOREMA 7
Sejam α uma circunferência de centro 0 e raio r, t uma reta e P um
ponto pertencente a t e a α tais que
é perpendicular a t. Então, t é
tangente a α.
PROVA
Seja P'
∈ r tal que P' ≠ P. Basta mostrarmos que P'é exterior a α.
Para pensar:
Considere o triângulo retângulo
,
onde é hipotenusa,
conseqüentemente, o maior lado do triângulo. Como
, então
e, portanto P' é exterior a α.
Dados uma circunferência
e um ponto P
∈ α como desenhar
com exatidão, usando-se régua e compasso, a reta tangente a α em P?
RESPOSTA
É simples. Já sabemos, utilizando régua e compasso, traçar a
perpendicular a uma reta passando por um ponto pertencente a esta
reta. Portanto, à luz do teorema anterior, é só traçar a perpendicular a
passando no ponto P. Concorda?
, existe um único ponto de r que se situa
Dados uma reta r e um ponto
a uma menor distância do ponto P. Ele é exatamente o ponto de interseção
da reta r com a reta perpendicular a r passando por P. Com efeito, seja A esse
ponto de interseção e
um ponto qualquer pertencente a r.
Desse modo, ABP é um triângulo retângulo em A (isto é, A é o ângulo reto de
ABP). Como a hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo, segue-se
que
.
Conclusão: dentre os pontos de r, aquele que está a uma menor distância
de P é o ponto A, o qual será chamado de pé da perpendicular a r passando
por P.
Definimos essa menor distância como sendo a distância do ponto P à reta r.
Se P pertencesse a r, a distância de P a r seria definida como sendo zero.
Usaremos a notação d(P;r) para indicar a distância de um ponto P a uma reta
r.
Responsável: Professor José Aílton Forte Feitosa
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual