Resolução da prova de matemática UFSC 2011 – PROVA VERDE
Prof. Guilherme Sada Ramos – “Guiba”
FORMULÁRIO
30o
45o
60o
1
2
2
2
3
2
3
3
2
2
3
2
1
2
1
3
sen
cos
tg
1) an = a1+ (n-1) r
 a + an 
2) Sn =  1
n
 2 
3) an = a1 qn –1
4) Sn =
5) S =
n
a1 (q − 1)
q−1
a1
1− q
6) Vcone =
π r 2h
3
7) (x – a)2 + (y – b)2 = r2
8) dA,B=
( xB − x A )2 + (yB − y A )2
9) a2 = b2 + c2 – 2 c b cos
x
1
10) Atriângulo = 1 D , onde D = x2
2
x3
n 
n −p
11) Tp+1 =   a p x
 p
n 
n!
12)   =
p
p!
n
− p)!
(
 
13) sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a
y1
y2
y3
1
1
1
Questão 21
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. As sequências (4, 7, 10, ...) e (5, 10, 15, ...) são duas progressões aritméticas
com 50 termos cada uma. A quantidade de termos que pertencem a ambas as
sequências é 15.
02. Segundo o Larousse Cultural, Hórus é o deus-falcão do Egito Antigo, com muitas
atribuições e locais de culto. Na ideologia antiga, Hórus foi confundido com o céu
ou assimilado ao Sol (disco solar ladeado por duas grandes asas). No papiro de
Rhind ficou registrado que a sequência das frações dos olhos do deus Hórus era
1 1
1
1
1
1
,
,
,
,
 ,
 . O valor numérico da soma dos termos desta
4 8 16
32 64 
2
sequência é 1.
04. O primeiro termo da progressão geométrica em que a3 = 15 e a6 =
5
é 135.
9
08. O valor de x na equação 3 + 5 + 7 + ... + x = 440 , sabendo que as parcelas do
primeiro membro formam uma progressão aritmética, é 41.
RESOLUÇÃO:
01. A primeira sequência é formada dos 50 primeiros múltiplos positivos de 3 adicionados
de uma unidade. Já a segunda é formada pelos 50 primeiros múltiplos de 5. Como
mmc (3,5) = 15, então de 15 em 15 unidades, teremos elementos repetidos das duas
sequências. Assim, teremos a sequência (10, 25, 40, 55, ..., p), sendo p o último termo
em comum. Esse termo é certamente menor ou igual ao 50º termo da primeira PA, este
que pode ser calculado por an = a1 + ( n − 1) r . Teremos:
p ≤ a50 =a1 + 49r
p ≤ 4 + 49. ( 3 ) =
151
A sequência dos termos comuns será dada por (10, 25, 40, 55, 70, 85, 100, 115, 130,
145), que tem 10 termos. Item FALSO!!!
1 1 1 1
1
1
32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 63
+ + +
+
+
=
=
≠ 1.
2 4 8 16 32 64
64
64
Note que não se trata de uma sequência infinita (nesse caso a soma daria 1, conforme
a fórmula 5). Item FALSO!!!
02. Ocorre que
04. Se a6 =
5
e a3 = 15 , podemos achar a razão da PG, fazendo a6 = a3 .q3 . Temos que:
9
5
= 15.q3
9
5
q3 =
1
9.15
=
q
3
=
1
27
1
1
=
27 3
3
Utilizando ainda an = a1.qn −1 , ocorre:
a3 = a1.q2
2
 1
15 = a1.  
3
1
15 = a1.
9
=
a1 15.9
= 135
Item VERDADEIRO!!!
08. Temos n termos em PA cuja soma é 440, e queremos saber o valor de an. Retomemos
( a1 + an ) n
. Como an = a1 + ( n − 1) r , então será verdade que
a fórmula Sn =
2
a − a1 + r
. Substituindo na relação da soma, teremos:
an = a1 + nr − r ⇒ n = n
r
an − a1 + r 

r


Sn =
2
 x −3+2
(3 + x ) 

2


440 =
2
x − 1
( 3 + x ) 

 2 
440 =
2
3x − 3 + x 2 − x
880 =
2
2
1760 = x + 2x − 3
( a1 + an ) 
0 = x 2 + 2x − 1763
Resolvendo a equação do segundo grau, teremos x = –43 ou x = 41. Como os termos
são positivos, então x = 41. Item VERDADEIRO!!!
GABARITO: 12
Questão 22
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. A reta que passa pela origem e pelo ponto médio do segmento AB com A=(0,3) e
B=(5,0) tem coeficiente angular
3
.
5
02. Dois automóveis, A e B, deslocam-se no mesmo sentido com movimento uniforme
em uma mesma estrada, que é reta.
No instante
t = 0, A se encontra no
quilômetro zero e B no quilômetro 60. Se, no intervalo de t = 0 a t = 1 h, A
percorreu 60 km e B percorreu 30 km, então A alcança B no instante t = 2 h
ao passarem pelo marco de 90 km.
04. A reta t de equação 4x + 3y − 6 = 0 é tangente à circunferência C de equação
( x − 4) 2 + y 2 = 4 e perpendicular à reta s de equação 4x − 3y + 2 = 0 .
08. As
circunferências
C de equação
x 2 + y 2 − 2x − 10y + 22 = 0
e
C’ de
equação x 2 + y 2 − 8x − 4y + 10 = 0 são secantes.
RESOLUÇÃO:
01. O ponto médio do segmento AB é dado pelas médias aritméticas entre as coordenadas
5 3
dos pontos A e B. Esse ponto é M =  ,  . O coeficiente angular da reta que passa
2 2
pela origem O ( 0,0 ) e por M é calculado por:
m=
3
m
= 2=
5
2
yM − y O
xM − x O
3 2 3
. =
2 5 5
Item VERDADEIRO!!!
02. Como o movimento é MRU, as velocidades são constantes. Como a velocidade de A é
60 km/h, e ele parte do quilômetro zero, ele não passa pelo quilômetro 90 no instante t
= 2h. Item FALSO!!!
04. Para que duas retas não paralelas aos eixos cartesianos sejam perpendiculares, é
preciso que o produto de seus coeficientes angulares seja igual a –1. Isolando y nas
duas equações de reta, teremos que mt = −
mt .ms = −
4
3
e ms =
4
. Assim, ocorre que
3
16
≠ −1 . Item FALSO!!!
9
Confira a figura abaixo. Note que C é de fato tangente a t, já que a distância entre O e t
é igual ao raio (r = 2) de C. Entretanto, as duas retas não são perpendiculares.
08. Para que duas circunferências sejam secantes, basta que o sistema formado por suas
equações admita duas soluções da forma (x, y). Cada uma das soluções (se existirem)
será um ponto em comum das circunferências. Vamos resolver o sistema
 x 2 + y 2 − 2x − 10y + 22 =
0
.
 2
2
0
 x + y − 8x − 4y + 10 =
Subtraindo
a
primeira
equação
da
segunda,
teremos
que
6x − 6y + 12 = 0 ⇒ x − y + 2 = 0 ⇒ x = y − 2 . Substituindo esta relação em qualquer
uma das duas equações (opto pela segunda), teremos:
x 2 + y 2 − 8x − 4y + 10 =
0
( y − 2)
2
+ y 2 − 8 ( y − 2 ) − 4y + 10 =
0
2y 2 − 4y + 4 + y 2 − 8y + 16 − 4y + 10 =
0
2y 2 − 16y + 30 =
0
y 2 − 8y + 15 =
0
Resolvendo a equação do segundo grau, temos y = 3 (que implica x = 1) e y = 5 (que
resulta x = 3). Assim, temos duas soluções para o sistema, (1,3) e (3,5). Logo, as
circunferências são secantes. Item VERDADEIRO!!!
GABARITO: 09
Questão 23
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
 x + 3y − 2z = 0

são ternas ordenadas do
01. As soluções do sistema homogêneo  x − 8y + 8z = 0
3x − 2y + 4z = 0

tipo (a, b, c) com ( a + b + c ) múltiplo de 11.
b 
a b
 a
 , então det B = 8 para B = 
 .
c d 
 2a + c 2b + d 
02. Se det A = 8 para A = 
 2 5
 14 − 5 
 então ( A + A−1 − At ) 2 = 
 .
25
9
1
3
−




04. Se A = 
08. Se A, B, C são matrizes inversíveis, então
[(AB
) .( AC )]
−1 −1
−1
. B = C.
16. O valor de x para que os pontos A(3, –5), B(x,9) e C(0,2) sejam colineares é 3.
RESOLUÇÃO:
0
 x + 3y − 2z =

0 , vamos concluir que se trata de um
01. Ao tentarmos resolver o sistema  x − 8y + 8z =
3x − 2y + 4z =
0

sistema possível e indeterminado, já que a terceira equação é a soma da segunda com
a primeira multiplicada por 2. Com isso, o sistema tem duas equações que são
realmente relevantes, enquanto que a outra é redundante. De qualquer forma,
podemos expressar duas das três variáveis em função da terceira. Vamos fazê-lo:
Isolando x na segunda equação, teremos =
x 8y − 8z . Substituindo na primeira
equação, ocorre 8y − 8z + 3y − 2z = 0 ⇒ 11y − 10z = 0 ⇒ 11y = 10z ⇒ y =
10
z.
11
80
80z − 88z
8
 10 
⇒x=
− z.
8y − 8z ⇒ 8  z  − 8z = z − 8z =
Assim, x =
11
11
11
 11 
 8 10

Portanto, todas as infinitas soluções do sistema são da forma  − z, z,z  .
 11 11

Somando
os
três
elementos
da
terna
ordenada,
teremos
−8z + 10z + 11z 13z
8
10
.Esta soma não é múltipla de 11. Item FALSO!!!
− =
=
z+
z+z
11
11
11
11
02. Se det(A) = 8, então ad − bc =
8 . O determinante da matriz B será dado por
a
b
= ( 2b + d) a − ( 2a + c ) b = 2ab + ad −2ab − bc = ad − bc = 8 . Logo, det(B)
2a + c 2b + d
= 8. Item VERDADEIRO!!!
04. Vamos determinar a matriz inversa de A e a sua transposta. Em seguida, efetuamos a
soma e, por último, multiplicamos este resultado por si próprio.
a b
1  d −b 
−1
A matriz inversa, se existir, de A = 

 . No caso
 , é dada por A =
c
d
det
A  −c a 


2 5
de A = 
 , como det ( A ) = 2.3 − 5.1 = 1 , então a matriz inversa será
 1 3
 2 1
 3 −5 
t
A −1 = 
 , trocando linhas por colunas.
 . Além disso, temos que A = 
5 3
 −1 2 
Assim, nossa soma fica:
 2 5   3 −5   2 1   3 −1
=
A + A −1 − =
At 
+
−
 

 1 3   −1 2   5 3   −5 2 
Multiplicando o resultado por ele próprio, temos:
 3 −1  3 −1
=

.

 −5 2   −5 2 
 3.3 + ( −1) . ( −5 ) 3. ( −1) + ( −1) .2   14 −5 
=
 

 ( −5 ) .3 + 2. ( −5 ) ( −5 ) . ( −1) + 2.2   −25 9 
Item VERDADEIRO!!!
08. Vamos nos fazer valer de quatro propriedades de operações entre matrizes:
•
( XY ) = Y −1X−1
( XY ) Z = X ( YZ ) , conhecida por propriedade associativa da multiplicação.
•
(X )
•
•
−1
−1
−1
=X
−1
=
X−1X X.X
=
In , em que In é a matriz identidade de ordem n, elemento neutro da
multiplicação
Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade questionada, temos:
(
)
(( )
−1
)
−1
(
)
(
)
−1
−1
−1
−1
−1
−1
 AB=
A −1 ( AC )  B  BA
B A −1A C  B
=
( AC ) B  B−1 =
( AC ) B =






[BInC=
] B [BC=
] B
−1
−1
(
)
−1
−1
−1
C−1B=
.B C−1 B=
B C=
.In C−1
O resultado é a matriz inversa de C, e não a própria C, como é afirmado. Item FALSO!!!
16. Para que três pontos no plano cartesiano estejam alinhados, basta que o determinante
D da fórmula 10 seja igual a zero. Neste caso, fazendo D em termos de x, temos:
3 −5 1
D= x
0
9
2
1 = 27 + 2x + 5x − 6 = 7x + 21
1
Fazendo D = 0, obtemos 7x + 21 =
0 ⇒ 7x =
−21 ⇒ x =
−3 . Item FALSO!!!
GABARITO: 06
Questão 24
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
2
01. Para que a função P(x) = x + px seja divisível por 4x – 1, é necessário que p
seja igual a
1
.
4
x
x
02. Os valores reais de x que satisfazem a equação 4 + 4 = 5 . 2
intervalo (2, 4].
pertencem ao
04. Suponha que “Chevalier de Mére”, um jogador francês do Século XVII, que
ganhava a vida apostando seu dinheiro em jogos de dados, decidiu apostar que
vai sair um “3” no lançamento de um dado perfeito de seis faces numeradas de 1
a 6. Com relação a esse experimento, há dois resultados possíveis: ou sai “3” e
Chevalier ganha, ou não sai “3” e ele perde. Cada um destes resultados – “sai um
3” ou “não sai um 3” – tem a mesma probabilidade de ocorrer.
n
08. Se 3 = 5, então log5 225 =
2 + 2n
.
n
3
2
16. Se a, b e c são raízes reais da equação x – 20x + 125x – 250 = 0, então o valor
 1 1 1
+ +  é nulo.
a b c
de log 
32. Se “A” é o número de arranjos de 6 elementos tomados 2 a 2; “B” é o número de
permutações de 5 elementos e “C” é o número de combinações de 5
elementos tomados 3 a 3, então A + B – C = 140.
RESOLUÇÃO:
01. Como 4x – 1 é um polinômio do primeiro grau, basta que P(m) = 0, sendo m a raiz de
4x – 1, para que o polinômio P(x) seja divisível por 4x – 1 . Calculemos m
primeiramente:
4x − 1 = 0 ⇒ 4x = 1 ⇒ x =
1
4
 1
Assim, basta impor P   = 0 e calcular o valor de p correspondente:
4
2
 1  1  1
P ( x ) =x 2 + px =0 ⇒ P   =  +   p =0
4 4 4
1 p
1 + 4p
+ =0 ⇒
=0
16 4
16
1
4p + 1 =0 ⇒ 4p =−1 ⇒ p =−
4
Item FALSO!!!
02. Vamos resolver a equação, impondo 2x = t.
4x + 4 =
5.2x
2x.2x + 4 =
5.2x
t2 + 4 =
5t
t 2 − 5t + 4 =
0
Resolvendo a equação, temos t = 4 e t = 1. Calculando os valores de x:
2x = 4
2x = 1
x=2
x=0
Nenhum dos dois valores pertencem ao intervalo (2, 4]. Item FALSO!!!
04. Cada face tem chance 1/6 de ocorrer. Neste caso, ele tem 1/6 de chance de ganhar
(saindo 3) e 5/6 de chance de perder (saindo 1, 2, 4, 5 ou 6). Item FALSO!!!
08. Podemos dizer que log3 5 = n . Por propriedades de logaritmos, podemos ainda afirmar
que log5 3 =
•
1
. Além dessa propriedade, lembremos que:
n
logb a + logb c =
logb ac
logb an = nlogb a
•
Calculemos então, log5 225 :
log5 225 = log5 32.52 = log5 32 + log5 52 = 2log5 3 + 2log5 5 =
2
2 + 2n
+2=
n
n
Item VERDADEIRO!!!
16. Pelas relações de Girard, numa equação da forma ax 3 + bx 2 + cx + d =
0 , temos que:
•
c
ab + ac + bc =
a
•
abc = −
d
a
Na equação x 3 − 20x 2 + 125x − 250 =
0 , temos que ab + ac + bc =
125 e abc = 250
1 1 1
125 1
1 1 1 bc + ac + ab
Como + + =
, então, nesse caso, o valor de + + é
= .E
a b c
250 2
a b c
abc
 1
log   ≠ 0 . Item FALSO!!!
2
32. Não dadas no formulário, temos as fórmulas A pn =
n!
n!
, Cpn =
e Pn = n! .
p! ( n − p ) !
(n − p )!
Façamos os cálculos:
A 26 + P5 − C35 =
=
6!
5!
+ 5!−
=
3! ( 5 − 3 ) !
( 6 − 2 )!
2
=
6!
5!
6.5 .4!
5. 4. 3!
+ 5!−
=
+ 5!−
=
4!
3!2!
3! 2!
4!
= 30 + 120 − 10 = 140
Item VERDADEIRO!!!
GABARITO: 40
Questão 25
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. A altura da pirâmide cuja secção transversal paralela à base está a 4 cm dessa
(base) e tem uma área igual a
1
da área da base é 8 cm.
4
02. Supondo que uma partícula tem o deslocamento dado pela equação s(t) = 5cos
π

 πt +  em que t está em segundos e s em metros, então essa função tem
2

período de 2 segundos e seu conjunto imagem é Im(s) = [–1, 1].
04. Um quadrado de lado
5
está inscrito numa circunferência de comprimento 5π .
2
08. Se a sombra de uma árvore, num terreno plano, em uma determinada hora do dia,
mede 10 m e, nesse mesmo instante, próxima à árvore, a sombra de um homem
de altura 1,70 m mede 2 m, então a altura da árvore é de aproximadamente 9,70
m.
16. O sangue humano pode ser classificado quanto ao sistema ABO e quanto ao fator
Rh. Sobre uma determinada população “P”, os tipos sanguíneos se repartem de
acordo com as seguintes tabelas:
Tabela 1
A
40%
B
10%
AB
5%
O
45%
Tabela 2
Grupo
+
RH
RH−
A
82%
18%
B
81%
19%
AB
83%
17%
O
80%
20%
Um indivíduo classificado como O Rh negativo é chamado doador universal.
Podemos dizer que a probabilidade de que um indivíduo, tomado ao acaso na
população “P”, seja doador universal é de 9%.
32. Um ciclista costuma dar 30 voltas completas por dia no quarteirão quadrado onde
2
mora, cuja área é de 102400 m . Então, a distância que ele pedala por dia é de
19200 m.
RESOLUÇÃO:
01. Qualquer secção transversal numa pirâmide determina um tronco e uma pirâmide
menor semelhante à primeira. Se as duas pirâmides são semelhantes, então a razão
entre as áreas da menor e da maior pirâmides é igual ao quadrado da razão entre as
2
a
h
medidas lineares da menor e da maior. Em outros termos,   = , sendo h e a
H
A
 
altura e área da base da pirâmide menor, e H e A altura e área da base da pirâmide
a 1
h 1
maior. Como
= . A distância entre as bases (diferença entre alturas)
= , então
A 4
H 2
é 4, então H − h = 4 ⇒ h = H − 4 . Substituindo, temos:
H−4 1
=
H
2
2H − 8 =
H
H=8
Item VERDADEIRO!!!
02. Como o cosseno de qualquer arco real está entre –1 e 1, esse cosseno multiplicado
por 5 estará no intervalo [–5, 5]. Esse conjunto representa a imagem da função. Item
FALSO!!!
Nota: o período da função é de fato 2, já que p =
2π
, sendo m o coeficiente de t no
m
π

arco  πt +  .
2

04. Considere a figura abaixo, em que o lado do quadrado mede
5
2
.
5
2
Como a diagonal de qualquer quadrado é igual ao produto do lado por 2 , então
5
5
=
d =
. 2 5 . O raio é a metade desta medida, portanto, r = . Como comprimento
2
2
de qualquer circunferência é dado por C= 2πr , então o comprimento neste caso será
5
C =2π =5π . Item VERDADEIRO!!!
2
08. Como os raios solares num dado instante são considerados paralelos, então a altura
de qualquer objeto e a sua sombra estarão sempre a uma mesma razão. Se o
indivíduo tem 1,70m de altura e a sombra mede 2m, então a altura de cada objeto
neste instante é 85% da medida da sombra, tal qual ocorre com o sujeito. Logo, a
altura da árvore deverá ser 85% da sombra que mede 10m, ou seja, deve essa altura
valer 8,50m. Item FALSO!!!
16. A chance de escolhermos um indivíduo do tipo O é 45%. Desses 45%, 20% tem grupo
Rh negativo. Calculemos 20% de 45%.
20 45
9 00
9
= = 9%
.
=
100 100 100 00 100
Neste caso, a chance de o doador escolhido ser universal é de 9%. Item
VERDADEIRO!!!
32. Se o quarteirão quadrado tem 102400 m² de área, então a medida do lado será
102400m = 320m . Se o ciclista dá 30 voltas por dia nesse quarteirão, então ele
percorre diariamente uma distância equivalente a 30 vezes o perímetro do quadrado.
Como este período é 4.320 = 1280m , ele pedala diariamente 30.1280 = 38400m . Item
FALSO!!!
GABARITO: 21
Questão 26
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Pode-se definir Divisão Áurea como sendo a divisão de um segmento de reta em
duas partes, de tal maneira que a razão entre a parte maior e a parte menor seja
aproximadamente igual a 1,6. Um retângulo se diz dourado quando possui seus
lados na razão áurea, isto é, seus lados medem  e 1,6 . Assim, se o lado menor
de um retângulo dourado for 3 unidades de comprimento, então a área desse
retângulo será igual a 14,4 unidades de área.
02. O valor numérico de x na figura abaixo é x = 2,52 cm .
A
6,2 cm
4,5 cm
B
y
x
M
6 cm
C
04. As políticas de inclusão para deficientes, especificamente para os cadeirantes,
destacam a necessidade de rampas para o acesso do usuário de cadeira de
rodas, e que as mesmas, segundo as normas técnicas, devem ter uma inclinação
de, no máximo, 8,33%, ou seja, para cada metro horizontal subir 8,33 cm na
vertical. A rampa da figura abaixo cumpre a norma especificada acima.
80 cm
8m
08. Os vários órgãos de defesa do consumidor, assim como o Inmetro, têm
denunciado irregularidades como, por exemplo, o peso real do produto ser inferior
ao indicado na embalagem. Se a diferença entre o peso real e o peso anunciado
na embalagem de uma determinada marca de feijão é de 13,60 g por cada
quilograma e o preço do kg ao consumidor é de R$ 3,25, então o ganho indevido
por tonelada é de R$ 442,00.
16. A soma dos coeficientes do binômio (2a − 3b ) é 1.
5
RESOLUÇÃO:
01. Se o lado menor do retângulo mede 3 u.c, então o lado maior medirá 3.(1,6) u.c., ou
4,8 u.c. Assim, a área do retângulo será dada por 3.(4,8) = 14,4 u.a. Item
VERDADEIRO!!!
02. Observe a figura abaixo, em que AM é bissetriz interna do triângulo ABC em relação ao
lado BC.
Considere uma reta CD paralela à bissetriz AM. Prolongando a reta BA até encontrar
CD, vamos concluir que os quatro ângulos indicados são congruentes: BAM e MAC
pela hipótese de AM ser bissetriz, ADC por ser ângulo correspondente a BAM e ACD
por ser alterno interno com MAC (lembremos que a reta BA é paralela a CD).
Neste caso, o segmento AD é congruente a AC, ou
seja, também vale q. Pelo teorema de Tales,
teremos:
m p
m n m+n
= ⇔
= =
n q
p q p+q
Na figura do item, vamos ter a seguinte relação:
x
y
x+y
6
= =
=
4,5 6,2 10,7 10,7
Logo,
x
6
6.4,5
=
⇒=
x
≅ 2,52
4,5 10,7
10,7
Como o item considera valor aproximado, então é
VERDADEIRO!!!
04. Essa rampa levanta 80 cm em 8 m, ou seja, 10 cm para cada metro, índice além do
especificado no texto. Item FALSO!!!
08. Se para cada quilo o prejuízo ao consumidor é de 13,6 g, então em uma tonelada
(1000 kg), a quantidade de feijão indevidamente “vendido” é 13,6 kg. Se cada quilo
custa R$ 3,25, o ganho indevido por tonelada é de 3,25.13,6 = 44,2 reais. Item
FALSO!!!
16. Para calcular essa soma, basta impor, para todas as variáveis, valor 1 e efetuar a
5
5
potenciação. Neste caso, teremos ( 2.1 − 3.1) =( −1) =−1 → . Item FALSO!!!
GABARITO: 03
Questão 27
O volume de um cone reto é 1024 π cm 3 . Se a altura, o raio da base e a geratriz desse
cone formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então calcule a medida da
geratriz, em centímetros, e assinale o valor obtido no cartão-resposta.
RESOLUÇÃO:
A altura, o raio e a geratriz de um cone reto formam um triângulo retângulo. Neste caso, como
estão estas medidas em PA, será verdade que:
( x − a)
2
+ x2 = ( x + a )
2
x 2 + 2xa +a2
x 2 − 2xa +a2 + x 2 =
x 2 = 4 xa
x = 4r
Se o maior cateto é 4a, o menor será 3a e a hipotenusa, 5a. Assim, concluímos que as três
medidas (altura, raio e geratriz) serão proporcionais a 3, 4 e 5 respectivamente. Lembrando
que volume de cone é o fornecido na fórmula 6, temos que:
Vcone =
πr 2h
3
π ( 4a ) . 3a
2
1024 π =
3
1024 = 16a3
64 = a3
=
a
=
64 4
3
Assim, ocorre que x = 4 ⇒ g = 5x = 20
GABARITO: 20
Questão 28
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
No capítulo X, denominado Contas, do Romance Vidas Secas, do escritor brasileiro
Graciliano Ramos, considerado por muitos como a maior obra deste autor, temos:
01. Fabiano recorda-se do dia em que fora vender um porco na cidade e o fiscal da
prefeitura exigira o pagamento do imposto sobre a venda. Fabiano desconversou
e disse que não iria mais vender o animal. Foi a outra rua negociar e, pego em
flagrante, decidiu nunca mais criar porcos. Se o preço de venda do porco na
época fosse de Rs 53$000 (cinquenta e três mil réis) e o imposto de 20% sobre o
valor
da
venda,
então
Fabiano
deveria
pagar
à
prefeitura
Rs 3$600 (três mil e seiscentos réis).
02. “Fabiano recebia na partilha a quarta parte dos bezerros e a terça dos cabritos.
Mas como não tinha roça e apenas limitava a semear na vazante uns punhados
de feijão e milho, comia da feira, desfazia-se dos animais, não chegava a ferrar
um bezerro ou assinar a orelha de um cabrito.” Suponha que Fabiano tenha
vendido a sua parte dos bezerros com 4% de prejuízo e a sua parte dos cabritos
com 3% de prejuízo. Se o prejuízo total de Fabiano foi de Rs 400$000
(quatrocentos mil réis), então o valor total da criação de bezerros e cabritos era de
Rs 40:000$000 (quarenta contos de réis, ou seja, quarenta milhões de réis).
04. Assim como das outras vezes, Fabiano pediu à sinha Vitória para que ela fizesse
as contas. Como de costume, os números do patrão diferiam dos de sinha Vitória.
Fabiano reclamou e obteve do patrão a explicação habitual de que a diferença era
proveniente dos juros. Juros e prazos, palavras difíceis que os homens sabidos
usavam quando queriam lograr os outros. Se Fabiano tomasse emprestado do
patrão Rs 800$000 (oitocentos mil réis) à taxa de 5% ao mês, durante 6 meses,
então os juros simples produzidos por este empréstimo seriam
de Rs 20$000 (vinte mil réis).
08. Desde a década de 30, em que foi publicado o romance Vidas Secas, até os dias
de hoje, a moeda nacional do Brasil mudou de nome várias vezes, principalmente
nos períodos de altos índices de inflação. Na maioria das novas denominações
monetárias foram cortados três dígitos de zero, isto é, a nova moeda vale sempre
1000 vezes a antiga. Suponha que certo país troque de moeda cada vez que a
inflação acumulada atinja a cifra de 700%. Se a inflação desse país for de 20% ao
mês, então em um ano esse país terá uma nova moeda.
(Considere: log2 = 0,301 e log 3 = 0,477)
RESOLUÇÃO:
01. O imposto a pagar seria 20% de 53000, ou seja, 10600. Item FALSO!!!
02. Chamemos de b o valor de criação de bezerros e c o valor da criação de cabritos. Pelo
enunciado, ele tem prejuízo de 4% vendendo um quarto dos bezerros e prejuízo de 3%
vendendo um terço dos cabritos. Se o prejuízo total é Rs 400:000, podemos afirmar
4 1
3 1
. b+
. c=
400000 . Desenvolvendo a expressão, temos:
que
100 4
100 3
3 1
4 1
. b+
. c = 400000
100 4
100 3
1
1
b+
c=
400000
100
100
b+c
= 400000
100
b+c =
40000000
Logo, a soma dos valores de bezerros e cabritos (valor total da criação é de 40 milhões
de réis, ou quarenta contos de réis). Item VERDADEIRO!!!
04. Se o regime de capitalização é simples, então os juros relativos a 6 meses após o
empréstimo é seis vezes 5% do capital, oitocentos mil réis. O total desses juros é dado
por:
6.
5
.8000 00 = 240000
100
O juro total produzido é de 240 mil réis. Item FALSO!!!
08. Vamos retomar algumas propriedades de logaritmos
•
logb a + logb c =
logb ac
•
a
logb a − logb c =
logb
c
•
logb an = nlogb a
•
logb a =
logk a
logk b
Aumentar algo em 700% é o mesmo que multiplicá-lo por 8. Como a inflação funciona
no regime de juros sobre juros (juros compostos), então o montante é calculado por
=
M C (1 + i ) , em que M é o montante, C é o capital inicial (no tempo zero), i é a taxa de
t
juros e t é o tempo da transação. Observe os cálculos a seguir:
t
20 
t
t

8 (1,2 ) ⇒=
t log1,2 8
M = C (1 + i ) ⇒ 8 C = C  1 +
 ⇒=
 100 
log8
log23
3log2
3.0,301
0,903
0,903
=
=
=
=
=
=
t =
2
2
log1,2 log12 − log10 log 2 .3 − 1 log2 + log3 − 1 2log2 + log3 − 1 2.0,301 + 0,477 − 1
(
=
)
0,903
0,903
=
≅ 11,43
0,602 + 0,477 − 1 0,079
Serão necessários então 12 meses para que a inflação atinja 700%. Logo, a cada ano,
a moeda mudará. Item VERDADEIRO.
GABARITO: 10
Questão 29
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Suponha que a decomposição de uma substância siga a lei dada por
Q(t) = k.2 −0,2t , em que k é uma constante positiva e Q(t) é a quantidade da
substância (em gramas) no instante t (em minutos). O valor de t0 , em minutos,
considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico a
seguir, é 15.
Q(t)
8
1
t0
0
x + 1
02. Para a função f ( x) = 
se 0 ≤ x ≤ 2
t
, a área da região limitada pelos
5 − x se 2 < x ≤ 5
eixos coordenados (x = 0 e y = 0) e pelo gráfico de f , é 8,5 unidades de
área.
04. Zero é o menor número real cuja soma com o próprio quadrado é igual ao próprio
cubo.
08. Se a receita mensal de uma loja de bonés é representada por R(x) = –200(x – 10)(x
– 15) reais, na qual x é o preço de venda de cada boné (10 ≤ x ≤ 15), então a
receita máxima será de R$ 2.500,00.
RESOLUÇÃO:
01. Pelo gráfico, vemos que Q(0) = 8. Com isso, podemos concluir que:
Q ( t ) = k.2−0,2t
Q ( 0 )= k.2
−0,2.( 0 )
= k.20= k.1= k= 8
Se k = 8, podemos dizer que Q ( t ) = 8.2−0,2t . Se Q(t0) = 1, calculemos t0.
1
1 8.2−0,2t0 ⇒
=
= 2−0,2t0
8
2
−3
= 2
−0,2t0
⇒ −3 = −0,2t 0
t 0 = 15
Item VERDADEIRO!!!
02. O gráfico da função é dado a seguir. O segmento AB corresponde x + 1 e o segmento
BC a 5 – x. A área do gráfico em questão pode ser calculada pela ajuda da malha.
Temos 6 quadrados inteiros e mais cinco “meios quadrados” dentro do polígono em
questão. Logo, a área é 8,5 u.a. Item VERDADEIRO!!!
04. Um número real cuja soma com o próprio quadrado seja igual ao próprio cubo é
solução da equação x + x 2 =
x 3 . Vamos resolver a equação:
x + x2 =
x3
0 = x3 − x2 − x
(
)
x x2 − x − 1 = 0 ⇒
x=0
ou
x2 − x − 1 =
0
x=
1± 5
2
1+ 5
1− 5
≅ 1,618 e
≅ −0,618 , uma é positiva,
2
2
outra é nula e a última negativa. Portanto, zero não é o menor número real solução da
igualdade. Item FALSO!!!
Notemos que das três soluções, 0,
08. A função R ( x ) =
−200 ( x − 10 )( x − 15 ) =
−200x 2 + 5000x − 30000 , admite seu máximo
para o valor de x igual a x v = −
b
5000
12,5 , valor que
−
=
. Neste caso, x v =
2a
2 ( −200 )
pertence ao domínio estabelecido. Logo, a receita máxima será y v = −
∆
. Vamos
4a
calcular este valor.
4ac − b2 4 ( −200 )( 30000 ) − ( 5000 )
24000000 − 25000000 −10000 00
=
=
=
=
yv
= 1250
−800
4a
4 ( −200 )
−8 00
2
GABARITO: 03
Questão 30
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Um antigo mapa escondido embaixo de uma rocha continha as seguintes
instruções para se encontrar uma panela de moedas de ouro enterrada pelos
tropeiros naquela região: a partir da rocha ande 4 km, em linha reta, no sentido
leste-oeste. Depois disso, gire 60º para norte e caminhe, em linha reta, 3 km. A
menor distância entre o local onde está enterrada a panela de moedas de ouro e a
rocha onde estava escondido o mapa é de aproximadamente 6 km.
02. A equação sen 2x + cos x = 0 admite 4 soluções no intervalo [0, 3π ] .
04. O valor numérico de y na expressão y =


08. Se sec x = − 5 e x ∈  π ,
tg 240º +cos330º
é
sen870º − sec11π
3.
3
3π 
 então tg x + cotg x é igual a .
2
2 
16. A figura a seguir mostra parte do gráfico de uma função periódica f, de  em ,
de período 2.
y
2
0
0
-2
2
4
6
8
10 x
-2
RESOLUÇÃO:
01. Na figura, o caçador percorre o caminho do ponto A até C, passando por B.
Pela lei dos cossenos, podemos calcular a medida AC.
AC2 = 32 + 42 − 2.3.4.cos120°
 1
AC2 =9 + 16 − 2 .3.4  − 
 2
2
AC= 25 + 12
AC2 = 37
=
AC
37 ≅ 6,08
Item VERDADEIRO!!!
02. Como sen ( 2x ) = 2 sen ( x ) cos ( x ) , a equação fica:
sen ( 2x ) + cos ( x ) =
0
2sen ( x ) cos ( x ) + cos ( x ) =
0
cos ( x ) ( 2sen ( x ) + 1) = 0 ⇒
cos ( x ) = 0
ou
2sen ( x ) + 1 =
0
sen ( x ) = −
1
2
Para cos ( x ) = 0 , no intervalo [0,3π] , as soluções possíveis são
π 3π
5π
,
e
2 2
2
7π
11π
1
, temos as soluções
e
. Confira figura abaixo. Os pontos
6
6
2
A, B, C e D são os afixos dos arcos que servem de solução para a equação.
Já para sen ( x ) = −
O total de soluções é 5. Item FALSO!!!
04. Devemos lembrar que:
•
Para um arco x no segundo quadrante,=
sen x sen (180° − x )
•
Para um arco x no terceiro quadrante, tg x = tg ( x − 180° )
•
Para um arco x no quarto quadrante,=
cos x cos ( 360° − x )
tg240° + cos330º
=
sen870° − sec11π
tg ( 240° − 180º ) + cos ( 360º −330º )
=
y
=
=
sen (150° + 2.360° ) − sec1980°
tg60° + cos30°
=
1
sen (180° − 150° ) −
cos (180° + 10.180° )
3
3 3
2
2
=
=
=
1
1
− ( −1)
sen30° −
cos180° 2
3+
3 3
2
= 3
3
2
Item VERDADEIRO!!!
08. No terceiro quadrante, o valor da função tangente e cotangente são positivos. Pela
relação ( tg x ) + 1 =
( sec x ) , calculamos tg x e cotg x.
2
2
( tg x )
2
(
+1= − 5
)
2
( tg x ) + 1 =5
2
( tg x ) = 4
2
tg x = 2
Se tg x = 2, então cotg
=
x
1
1
1 5
. Logo, tg x + cotg x = 2 + = . Item FALSO!!!
=
tg x 2
2 2
16. O período de uma função pode ser definido como o menor valor positivo p tal que,
∀x ∈ Dom ( f ) , f ( x + p ) =
f ( x ) . Pelo gráfico, podemos notar que
f ( 2) =
−2
e
f ( 2 + 2) =
f (4) =
2
Logo, o valor 2 não é período da função. Item FALSO!!!
GABARITO: 05