TESTE No. 1 TIPO
CONTROLO
MEEC
Novembro 2015
Duração: 2 horas
Q.1 [7v] Modelação, Linearização, Estabilidade
O veículo representando na figura 1 é um “balão de ar quente”. Na análise que
se segue ignoramos o movimento na vertical (ou seja, assume-se a existência de
um mecanismo que mantém a altitude h em relação ao solo constante). O veículo
desloca-se na horizontal sob a acção de um propulsor a hélice lateral.
.
Fig.1 Balão de ar quente com sistema de propulsão lateral
O balão tem massa m igual a 1Kg e movimenta-se sob o efeito da força F gerada
pelo propulsor a hélice. Pretende-se controlar a variável Vi (velocidade do balão
em relação ao solo) em torno de um valor desejado arbitrário V io > 0 . Note que na
presença de vento Vi(t)=V+Vw, onde Vw é a velocidade do vento em relação ao
solo (o balão ou é arrastado por ou tem que “vencer” o vento).
A força F é dada por
F (t ) = k 0 n 2 (t ), k 0 = 0.5
;
para
n > 0,
(1)
onde n denota a velocidade de rotação do hélice (em rad/s). No seu movimento
horizontal, o veículo fica sujeito à força aerodinâmica
Fa (t ) = −k1 (h )V 2 (t )
(2)
onde V(t) é a velocidade horizontal em relação ao ar, isto é, a dinâmica depende
só da velocidade em relação ao ar. Note que o coeficiente de arrasto k1= k1(h)
depende da altitude em relação ao solo (devido à variação da densidade do ar).
Q1.1 [3v] Suponha que não existe vento, ou seja, Vi=V. Considere o veículo a
deslocar-se na horizontal à velocidade constante de equilíbrio determinada por
V (t ) = V o = 1ms −1 , a uma altitude para a qual k1= 0.5 Nm2s-2. Calcule o valor de
equilíbrio F0 correspondente para a força F(t). Seja P1 : F → V o sistema com
entrada F e saída V. Mostre que o modelo linearizado de P1 em torno do ponto
de equilíbrio definido por Vo e F0 tem a função de transferência
P1 ( s ) =
ΔV ( s )
1
=
,
ΔF ( s ) ( s +1)
(3)
onde ΔV(s) e ΔF(s) denotam respectivamente as transformadas de Laplace de δV(t)=V(t)V0 e δF(t)=F(t)-F0.
Q1.2 [1v] Calcule agora, a partir do valor de F0, o valor de equilíbrio n0 para a
velocidade de rotação do hélice n. Prove justificadamente que o modelo do sistema
P2 : n → T (descrito pela Eq. 1) linearizado em torno do ponto de operação
especificado por Τ0 , n0 é dado por
ΔF ( s )
=1
ΔN ( s )
onde ΔF(s) e ΔN(s) denotam respectivamente as transformadas de Laplace de δF(t)=F(t)F0 e δn(t)= n(t)- n0 .
P2 ( s ) =
Q1.3 [2v] Considere o sistema total linearizado P( s) = P1 ( s) P2 ( s) com função de
transferência
P (s ) =
ΔV ( s )
1
=
ΔΝ( s ) ( s +1)
que se obtém a partir da ligação em série dos sistemas considerados em Q1.1 e
Q1.2. Pretende-se projectar um controlador em malha fechada para o sistema
P (s ) . Começamos por considerar um simples controlador proporcional, tal como
se especifica a seguir.
Figura 2. Sistema de controlo em malha fechada: ganho proporcional
Considere o sistema de controlo em malha fechada representado na Figura 2,
onde r é o sinal de referência (valor desejado para V). O controlador, dado por
K(s)=KP >0, é um simples ganho. Mostre que o sistema em malha fechada é
estável para qualquer valor de KP positivo.
Q1.4 [1v] Suponha agora que o balão aumentou a altitude h de operação e que
k1= 0.1 Nm2s-2 (ou seja, baixou o coeficiente de arrasto aerodinâmico). No
entanto, mantém-se a velocidade de equiliíbrio em relação ao ar. Diga
justificadamente se o sistema de controlo de Q1.3 continua estável.
Q2. [6v] Diagramas de Blocos, Estabilidade e Erros de Seguimento
Considere ainda o sistema de controlo da Fig. 2.
Q2.1 [2v] Mostre que o sistema de controlo em malha fechada não permite o
seguimento preciso de sinais constantes r à entrada, ou seja, o erro de seguimento
a uma entrada constante (erro de posição) é diferente de zero. Dê uma explicação
intuitiva para a sua resposta.
A fim de ultrapassar a dificuldade apontada em Q2.1, propõe-se agora o
sistema de controlo da Fig. 3 com acção integral. Considere agora que o vento
tem velocidade VW não nula, e que medida de VI é corrompida com ruído no
sensor z. Nota importante: pelo princípio da sobreposição, o efeito de cada
sinal externo pode ser estudado de modo independente (ou seja, fazendo os
outros sinais iguais a 0).
Q2.2 [1v] Mostre que o sistema em malha fechada é estável para qualquer
valores de kI positivo e que o erro de posição é 0.
Figura 3. Sistema de controlo em malha fechada:
ganho integral
Q2.3 [2v] Mostre que com o novo controlador o sistema em malha fechada rejeita
completamente à saída qualquer sinal Vw constante no tempo, ou seja, o sistema
de controlo permite o controlo preciso de velocidade em relação ao solo qualquer
que seja a intensidade do vento (dentro dos limites óbvios de operacionalidade).
Q2.4 [1v] Suponha que o sensor da velocidade em relação ao solo está
descalibrado e tem uma polarização constante, isto é, z=z0=cte. Mostre que isto
implica um erro constante na variável VI.
Q.3 [7v] Estabilidade e “Root Locus”
Um pequeno veículo espacial com massa m= 1kg desloca-se sem atrito ao longo
da coordenada x, sob a acção de uma força F. Nestas condições,
X (s ) 1
=
F (s ) s 2
Pretende-se projector um sistema para o controlo da posição x. Para melhor
compreender o tipo de controlador a adoptar consideram-se 3 passos (ver Fig. 4,
onde K(s) é o controlador)
Figura 4. Sistema de controlo em malha fechada
ganho integral
Q.3.1 [2v] Considere que K(s)=k>0, ou seja, o controlador é um simples ganho.
Prove, utilizando a técnica do traçado do “Root-Locus”, que o sistema em malha
fechada é marginalmente estável e que portanto não tem utilidade prática.
Justifique detalhadamente as porções do diagrama sobre o eixo real, as
intersecções com o eixo imaginário, e as assímptotas. Respostas não justificadas
não serão consideradas.
Q.3.2. [2v] Considere agora K(s)=k(s+1); k>0, ou seja, o controlador tem acção
proporc ional e derivativa. Prove, utilizando a técnica do traçado do “RootLocus”, que o sistema em malha fechada é estável. Justifique detalhadamente as
porções do diagrama sobre o eixo real, as intersecções com o eixo imaginário, as
assímptotas, e os pontos de raízes múltiplas.
Q3.3 [2v] O controlador sugerido em Q3.2 não é causal. A fim de o tornar causal
propõe-se agora o controlador K(s)=kp(s+1)/(s+p); k>0, p>0, com p a determinar.
Faça p=10 rad s-1. Prove, utilizando a técnica do traçado do “Root-Locus”, que o
sistema em malha fechada é estável. Justifique detalhadamente as porções do
diagrama sobre o eixo real, as intersecções com o eixo imaginário, as assímptotas,
e os pontos de raízes múltiplas.
Q3.4 [1v] Compare os diagramas de “root-locus” obtidos em Q3.2 e Q3.3.
Comente acerca do impacte da introdução do polo p=10 rad s-1 no desempenho
do sistema de controlo em malha fechada.