3
Pró-Reitoria de Graduação
Curso de Licenciatura em Matemática
Trabalho de Conclusão de Curso
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PRÓ-REITORIA
DE GRADUAÇÃO
documento]
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
PROBABILIDADE APLICADA À TEORIA DE FILAS: SISTEMA
DE FILAS M/M/1
Sherley
Matemática
Autor:
Philip Rodrigues Santana
CIFRA
DE HILL
Orientadora: Prof. Msc. Ana Sheila Perdigão Faleiros
Autor: Elaine da Silva Mantovani
Orientador: Sinval Braga de Freitas
Brasília - DF
2012
4
PHILIP RODRIGUES SANTANA
PROBABILIDADE APLICADA À TEORIA DE FILAS: SISTEMAS DE FILAS M/M/1
Artigo apresentado ao curso de graduação em
Matemática da Universidade Católica de
Brasília, como requisito parcial para obtenção
do Título de Licenciado em Matemática.
Orientadora: Prof. Msc. Ana Sheila Perdigão
Brasília
2012
3
Artigo de autoria de Philip Rodrigues Santana, intitulado “PROBABILIDADE APLICADA
À TEORIA DE FILAS”, apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de
Licenciado em Matemática da Universidade Católica de Brasília, em 14 de junho de 2012,
defendido e aprovado pela banca examinadora abaixo assinada:
_____________________________________________________
Profª. MSc. Ana Sheila Perdigão Faleiros
Orientadora
Matemática – UCB
_____________________________________________________
Profª. MSc. Adriana Barbosa de Souza
Matemática - UCB
_____________________________________________________
Profª. MSc. Valéria da Silva Cruz Shiguti
Matemática – UCB
Brasília
2012
3
PROBABILIDADE APLICADA À TEORIA DE FILAS: SISTEMAS DE FILAS M/M/1
PHILIP RODRIGUES SANTANA
Resumo:
Este trabalho mostra como a Teoria de Filas pode ser aplicada na modelagem de canais de
atendimento visando à redução de congestionamentos no sistema e a melhoria da qualidade do
serviço prestado. Tendo como foco o modelo mais simples de fila, com capacidade ilimitada e
com apenas um canal de atendimento (M/M/1), um estudo dos conceitos básicos e o
desenvolvimento das principais equações associadas a este modelo são apresentados.
Palavras-chave: Teoria de Filas; Congestionamento; Modelo de sistema de fila M/M/1.
1. INTRODUÇÃO
O congestionamento de clientes em filas para aquisição de produtos ou pagamentos de
contas de serviços telefônicos, bancárias, de conexão à internet, ou ainda, congestionamento
de tarefas a serem executadas por um equipamento, são problemas administrativos internos
que toda empresa deve evitar, pois o tempo de espera na fila é um dos itens que retrata a
qualidade de serviço do estabelecimento ou do operador de serviços.
Com objetivo de dimensionar adequadamente o número de canais (atendentes ou
equipamentos prestadores de serviços), para que os postos de atendimentos não fiquem
ociosos ou o número de clientes de uma fila não seja permanentemente grande, a Teoria de
Filas busca a modelagem de problemas, buscando melhorias de atendimento nos servidores,
com o intuito de amenizar as situações estressantes que esperas demasiadas podem causar.
Quando, por exemplo, existe um congestionamento, este é considerado um problema
que pode ser resolvido com a Teoria de Filas, tópico de Pesquisa Operacional (ciência que
estuda métodos científicos e problemas complexos para auxiliar no processo de tomadas de
decisões), e que envolve investigações ligadas ao estudo das distribuições de probabilidades.
Serão apresentados no presente trabalho, os principais conceitos e parâmetros de sistemas de
filas, porém o foco é o sistema de filas mais simples, o M/M/1 (processos de chegada e de
atendimento do tipo markoviano com um canal operando no sistema, por isso segue a
notação).
O trabalho busca apresentar as principais demonstrações das equações do sistema de
filas M/M/1 e mostrar as relações entre os parâmetros da fila.
2. HISTÓRICO
Agner Krakup Erlang nascido na Dinamarca em 1909 foi o primeiro matemático a
trabalhar na aplicação das teorias de probabilidades a problemas de telefonia, observou a troca
4
de ligações de um pequeno vilarejo, e a partir de tal observação, criou uma fórmula conhecida
como a fórmula de Erlang, para calcular a fração das ligações em espera, enquanto todas as
linhas estavam ocupadas. Erlang publicou o primeiro trabalho provando que as ligações
telefônicas eram distribuídas aleatoriamente e seguiam a lei de distribuição de Poisson, e por
isso, é considerado o pai da Teoria de Filas, que usa conceitos básicos de processos
estocásticos e matemática aplicada para analisar o fenômeno de formação de filas e suas
características.
3. TEORIA DE FILAS
Segundo Andrade (1990), A Teoria de Filas trata de problemas de congestionamento
de usuários à espera de atendimento, onde a característica principal é a presença de clientes.
(Quando o termo cliente é mencionado), não se refere necessariamente a um cliente humano,
mas em problemas de fluxos de tráfego ou automóveis presentes nas filas, ou ainda navios ou
aviões á espera de serviços de manutenção. A razão pela a qual os gerentes de
estabelecimentos e do poder público não aumentam suas capacidades de atendimento
provavelmente de modo que a fila não se estenda muito provável se deve à inviabilidade
econômica ou limitação de espaço. Dessa forma a Teoria de Filas busca um ponto de
equilíbrio e que satisfaça o cliente e que seja viável economicamente para o provedor de
serviço. Para o estudo de filas é possível destacar três elementos básicos: a fonte de usuários,
a fila e o servidor.
De acordo com Marco César (2010), a figura 1 ilustra os componentes básicos de um
sistema de filas.
Figura 1 – Componentes básicos de um sistema de filas1
Fonte
de
usuários
Fila
Servidor
Associado a esses componentes básicos é possível verificar cinco elementos
probabilísticos: o modelo de chegadas dos usuários, o modelo de serviço, o número de canais
disponíveis, a capacidade de atendimento e a disciplina da fila, definidos a seguir:
i) Modelo de chegadas dos usuários: É especificado pelo número de clientes que
chegam ao sistema em um intervalo de tempo ∆t e representado pela a distribuição discreta
de Poisson, onde X é o número de clientes que chegam ao sistema no intervalo de tempo
(0 , t ) . Dessa forma, a probabilidade de x clientes chegarem ao sistema no intervalo de
tempo ∆t é dada pela relação:
1
BALLEIRO, A.C; FIGUEIREDO, M.A, Introdução à Pesquisa Operacional. Goiânia: Ed. Da UCG, 2010.
5
(
λ∆t )x −(λ∆t )
P( X = x) =
e
x!
,
x ∈ Z+
(1)
O parâmetro λ∆t é obtido pelo intervalo (0 , t ) e pela taxa de chegada λ , que representa a
velocidade com que os clientes chegam ao sistema e pode ser calculada pela relação:
λ = número de usuários que chegam ,
intervalo de tempo
(2)
ii) Canais de atendimento: Processo ou pessoa que realiza o atendimento ao cliente.
Consideramos que a duração do atendimento T é uma variável aleatória, modelada pela
distribuição contínua exponencial negativa, onde µ é a taxa de atendimento dos usuários por
unidades de tempo. A probabilidade P (T < t ) expressa a chance do atendimento não durar
mais que t unidades de tempo.
t
t
0
0
P ( T ≤ t ) = ∫ P (t )dt = ∫ µ ⋅ e − µt dt
, t > 0.
O tempo médio de atendimento é dado pela esperança matemática da distribuição T .
∞
∞
E (T ) = ∫ t .P (t )dt = µ ∫ te − µt dt =
0
0
1
µ
.
(3)
A taxa de atendimento µ representa a velocidade que os clientes são atendidos e pode ser
obtida pela expressão:
µ = número de usuários atendidos
(4)
intervalo de tempo
iii) Número de canais disponíveis: refere-se ao número de atendentes que efetuam o
atendimento aos usuários.
iv) A capacidade de atendimento: pode ser finita (limitada), neste caso o
estabelecimento não suporta atender a um número maior que C clientes, ou a capacidade pode
ser infinita (ilimitado), quando não há restrições quanto à capacidade de atendimento do
sistema.
v) Disciplina da fila: é o conjunto de regras que determinam a ordem que os clientes
serão atendidos. Essa ordem ocorre conforme os seguintes critérios:
• FIFO (“first in first out”): o primeiro a entrar na fila é o primeiro a ser atendido.
• LIFO (‘’last in first out’’): o último a entrar na fila é o primeiro a ser atendido.
• SIRO (‘’served in randon ordem’’): a ordem no atendimento é escolhida de
maneira aleatória.
• PRI (Priority): estipula-se uma prioridade de atendimento.
6
3.1 SISTEMAS DE FILAS
Os sistemas de filas são descritos por uma sequência de símbolos do tipo
A/B/X/Y/Z/W que compõem a notação mais usual, proposta por Kendall em 1953, e que
determinam as características dos componentes básicos do sistema de filas acima descritos.
Os símbolos A e B indicam distribuições probabilísticas do tempo entre chegadas e o tempo
entre atendimentos respectivamente, X é o número de canais em atividade, Y representa a
capacidade do sistema de atendimento, Z aponta a disciplina da fila e W o tamanho da fonte
dos usuários.
Na maioria dos casos, os sistemas são designados apenas pelos três primeiros
símbolos, a omissão dos três últimos, significa que o sistema tem capacidade ilimitada e a
disciplina da fila corresponde ao critério FIFO. Possuem chegadas e atendimentos
estocásticos do tipo markoviano.
I- Sistemas de filas M/M/1, um canal operando no sistema e capacidade ilimitada.
Figura 2 – Sistema de 1 fila e 1 canal.
Chegada de
Clientes
CANAL EM
......
Saída
ATIVIDADE
Fila
II- Sistemas de filas M/M/s, s canais operando no sistema e capacidade ilimitada.
Figura 3 – Sistema de 1 fila e s canais
CANAL EM
ATIVIDADE
Chegada de
Clientes
Saída
CANAL EM
......
ATIVIDADE
Fila
CANAL EM
Figura 4 – sistema de filas independentes com canais paralelos, modelo M/M/s
ATIVIDADE
CANAL EM
......
ATIVIDADE
7
Fila
.
.
CANAL EM
......
ATIVIDADE
Fila
Os sistemas de filas são diariamente utilizados pelos estabelecimentos empresariais,
mas dificilmente percebidos pelos clientes. Ao ver sistemas de filas independentes (uma fila
para cada servidor, figura 4) com canais de atendimento paralelos, é possível pensar que o
tempo de espera é bem menor, quando comparado com sistema de fila único (apenas uma
única fila para todos os canais, figura 3). Qualquer problema nos canais de atendimento do
sistema de filas independentes, os clientes devem direcionar-se para filas vizinhas e de fato o
tempo de espera será maior, contrário do sistema de fila único, pois cada cliente fica no seu
respectivo lugar sem necessidade de locomover-se para a fila ao lado.
III - Sistemas de filas M/M/1/C, que têm apenas um canal operando com capacidade
limitada C.
IV - Sistemas de filas M/M/s/C, que têm s canais operando e capacidade limitada C.
Os sistemas de filas III e IV diferenciam-se dos sistemas I e II apenas pelas suas
capacidades, pois o sistema exige um valor máximo de clientes.
V – Sistemas de filas Complexo, pode ser mostrado pela figura 5 que representa um
sistema de filas complexo composto por canais em série e em paralelo.
Figura – 5 Sistema complexo de filas
CANAL EM
ATIVIDADE
CANAL EM
ATIVIDADE
Chegada de
Clientes
Saída
...
Fila
...
CANAL EM
ATIVIDADE
Fila
CANAL EM
ATIVIDADE
CANAL EM
ATIVIDADE
8
3.2 SISTEMAS DE FILAS M/M/1
Dentre os sistemas apresentados anteriormente um maior destaque e detalhamento será
dado ao sistema M/M/1, muito comum em estabelecimentos de pequeno porte com apenas um
caixa ou apenas uma máquina (por exemplo, uma impressora) para atender a diversos
usuários do setor. Este sistema também pode modelar a disciplina de atendimento de entregas
a domicílio com apenas um motorista. A seguir estão mostradas algumas das principais
equações do modelo M/M/l de atendimento com capacidade ilimitada, baseadas nas
características dos processos de chegadas e de atendimento aos clientes.
Conforme Balleiro Alves (2010) seja X t o número de usuários no sistema no instante t é
um processo estocástico dependente das taxas entre chegadas ( λ ) e atendimentos ( µ ) onde
λ e µ são taxas constantes tais que λ < µ , pois se supõe que a velocidade de atendimento dos
clientes é maior do que a velocidade de chegada dos mesmos no sistema. Dado que o número
de clientes que chegam e o tempo de atendimento são variáveis aleatórias com distribuições,
Poisson e Exponencial Negativa respectivamente, o processo cujo estado é caracterizado por
X t é um processo de Markov. Aconselha-se ao leitor que não tenha familiaridade com
processos de Markov consultar Balleiro Alves (2010). As probabilidades de transição entre
os estados deste processo são ilustrados pela Figura 6.
Figura 6 - Diagrama de Transição – Sistema M/M/1
A probabilidade de o sistema aumentar em uma unidade o número de clientes é dada
pela taxa de chegada λ :
p n ,n +1 = P ( X t = n + 1 | X t −1 = n) = λ
A probabilidade de o sistema diminuir em uma unidade o número de clientes é dada
pela taxa de atendimento µ :
p n ,n −1 = P ( X t = n − 1 | X t −1 = n) = µ
Com base no diagrama de transição dado pela Figura 6, pode-se definir as seguintes
probabilidades:
9
Probabilidade do estado zero: Representa a chance de não haver clientes no sistema
no instante t : P0 = P ( X t = 0) .
Para não haver cliente algum no sistema no instante t, ou não havia cliente no instante
anterior e não chegou cliente algum ( P0 ⋅ (1 − λ ) ) ou havia um cliente no instante anterior e
este foi atendido P1 ⋅ µ :
P0 = (1 − λ ) P0 + µP1
(5)
Probabilidade do estado n qualquer: Representa a chance de haver n clientes no
sistema no instante t , com n ≥ 1 : Pn = P ( X t = n) . Tal probabilidade é obtida a partir de três
situações possíveis, disjuntas entre si:
1) Haver n − 1 clientes no sistema no instante anterior e um cliente entrar no sistema:
P ( X t −1 = n − 1 e
X t = n) = P ( X t −1 = n − 1) ⋅ P ( X t = n / X t −1 = n − 1)
= P ( X t −1 = n − 1) ⋅ p n −1,n
= Pn−1 ⋅ λ
2) Haver n clientes no sistema no instante anterior e não haver entrada nem saída de
clientes no sistema:
P ( X t −1 = n e
X t = n)
= P ( X t −1 = n) ⋅ P ( X t = n / X t −1 = n)
= P ( X t −1 = n) ⋅ p n ,n
= Pn ⋅ (1 − λ − µ )
3) Haver n + 1 clientes no sistema no instante anterior e um cliente sair do sistema:
P ( X t −1 = n + 1 e
X t = n) = P ( X t −1 = n + 1) ⋅ P ( X t = n / X t −1 = n + 1)
= P ( X t −1 = n + 1) ⋅ p n +1,n
= Pn +1 ⋅ µ
Da junção destas três situações, segue que a chance de existirem exatamente n clientes no
sistema é dada pela equação:
Pn = λPn−1 + [1 − (λ + µ )]Pn + µPn+1 ,
n ≥ 1.
(6)
As equações (5) e (6) permitem a criação de um sistema de equações onde o vetor das
r
probabilidades P0 , P1 , P2 ,....., Pn −1 , Pn , Pn +1 , v = [P0 , P1 , P2 ,....., Pn −1 , Pn , L] , pode ser obtido pela
r r
equação matricial v = v ⋅ E . A matriz E é dita uma matriz estocástica (Figura 7), onde a
soma dos termos de cada linha somam 100%.
10
Figura 7 - Matriz Estocástica E
0
1
λ
1 − λ

1  µ 1 − (λ + µ )
M  M
M

E = n −1  0
0

n
0
0

n +1  0
0
M  M
M
0
L
n −1
n
n +1
L
0
0
0
L
O
0
M
0
M
0
M
L 1 − (λ + µ )
λ
µ
1 − (λ + µ )
L
L
M
0
M
µ
M
0
λ
1 − (λ + µ )
M
L
L
L
L

L
L

L
O
Desenvolvendo a equação (5) obtêm-se a probabilidade de haver um cliente no sistema em
função de P0 .
λ 
P0 = (1 − λ ) P0 + µP1 ⇒ P0 = P0 − λ P0 + µP1 ⇒ µP1 = λ P0 ⇒ P1 =   P0
µ
(7)
Partindo das Expressões (6) e (7) pode-se calcular P1 em função de P0 :
P1 = λP0 + [1 − (λ + µ )]P1 + µP2 ⇒ P1 = λP0 + P1 − λP1 − µP1 + µP2 ⇒ µP2 = λP1 + µP1 − λP0
Escrevendo P2 em função de P0 , tem-se:
 λ2 
λ
λ
µP2 = −λP0 +  λP0 +   µP0 ⇒ µP2 = −λP0 +   P0 + λP0 ,
µ
µ
µ 
Logo,
2
λ
P2 =   P0
µ
(8)
Continuando esse procedimento obtêm-se a forma geral de Pn ,
n
λ
Pn =   P0 , para n = 1, 2,...
µ
(9)
Note que Pn é a probabilidade de existirem exatamente n clientes no sistema e que, para
satisfazer a condição de que toda probabilidade é um número entre zero e um, é necessário
que λ (taxa de chegada) seja menor que µ (taxa de atendimento).
Pode-se também achar uma expressão para o cálculo de P0 usando-se o fato de que o modelo
∞
é do tipo M/M/1, e que
∑P
n =0
n
= 1:
11
n
λ
Pn = 1 ⇒ P0 ∑   = 1 ⇒ P0 =
∑
n =0
n =0  µ 
∞
∞
1
λ
 
∑
n =0  µ 
∞
n
Considerando a hipótese de que a taxa de chegada é inferior à taxa de atendimento, tem-se
n
λ
1
que a série geométrica ∑   converge para
. Dessa forma, P0 pode ser escrito
λ
n =0  µ 
1−
∞
µ
como:
P0 = 1 −
Demonstração:
Considerando: r =
λ
µ
λ
, temos:
µ
∞
∑r
n
= 1 + r + r 2 + r K + K r n −1 + r n
n =0
S n = 1 + r + r 2 + K + K r n −1 + r n
S n −1 = 1 + r + r 2 + K + r n −2 + r n −1
Multiplicando S n −1 por r , temos:
rS n −1 = r + r 2 + r 3 + K + r n −1 + r n
Fazendo S n − rS n −1 , obtemos:
S n − rS n −1 = 1 ⇒ lim S n − rS n −1 = 1 ⇒ lim S n − lim rS n −1 = 1
n →∞
n →∞
n →∞
Quanto para S n como para S n −1 o limite tende a W , logo:
W − rW = 1 ⇒ W (1 − r ) = 1 ⇒ W =
1
=
1− r
1
1−
λ
µ
Logo a expressão para a probabilidade do estado zero é dado por:
P0 = 1 −
λ
µ −λ
⇒ P0 =
µ
µ
Algumas importantes relações podem ser demonstradas a partir da relação (10):
(10)
12
a) Probabilidade de haver n clientes no sistema:
n
λ
λ
Pn =   P0 ⇒ Pn =  
µ
µ
n
µ −λ 


 µ 
(11)
b) Probabilidade de que o número de clientes no sistema seja superior a certo valor k:
n
λ
λ
= P0 ∑   =  
n = k +1  µ 
µ
∞
Pn >r
k +1
(12)
c) Probabilidade de que o sistema esteja ocioso:
Pn =0
λ
=  
µ
0
µ −λ  µ −λ

 = 

 µ   µ 
(13)
d) Probabilidade de que o sistema esteja ocupado:
Pn >0
λ
=  
µ
k +1
λ
=  
µ
0 +1
λ
=  
µ
(14)
3.3 PARÂMETROS DA FILA
3.3.1 Parâmetros Relativos à Quantidade de Clientes
i) Número médio de clientes no sistema (NS): Para determinarmos o número esperado de
usuários no sistema recorremos à expressão descreve o valor esperado:
∞
E ( X = n ) = L = ∑ nPn
(15)
n =0
Onde NS = L é o número médio de clientes no sistema. Sabendo que
∞
Sk = ∑ r n = 1 + r + r 2 + K + r k
n =0
Temos,
∞
S = ∑rn =
n =0
1
r −1
Derivando a expressão (15) em relação à r de ambos os lados temos:
(16)
13
∞
∑ nr
n −1
=
n =0
1
,
(1 − r )2
Multiplicando por r em ambos os lados, temos:
∞
r ∑ nr n −1 = (r )
n=0
∞
1
r
⇒
nr n =
,
∑
2
(1 − r )
(1 − r )2
n =0
Logo:
∞
∞
∞
n=0
n =0
n=0
L = NS = ∑ nPn = ∑ nr n (1 − r ) = (1 − r )∑ nr n = (1 − r )
L = NS =
r
(1 − r )2
⇒
λ
r
=
1− r µ − λ
(17)
ii) Número médio de clientes na fila (NF): Calcula-se NF recorrendo à expressão
∞
E (X = n q ) = NF = ∑ (n − s )Pn , com n > 0 , onde NF representa número médio de clientes na
n =0
fila e s o número de atendentes. Como o foco é o sistema M/M/1, há apenas um atendente,
então:
∞
∞
∞
NF = ∑ (n − 1)Pn = ∑ nPn − ∑ Pn
n =1
n =1
n =1
∞
∞
n=0
n =1
= (1 − r )∑ nr n − (1 − r )∑ r n
Recorrendo a expressão (14) temos:
(1 − r )
r
(1 − r )2
λ2
λ2
r
r
r (1 − r )
r2
µ2
µ2
− (1 − r )
=
−
=
=
=
.
λ µ −λ
1− r 1− r
1− r
1− r
1−
µ
µ
NF =
λ2
µ (µ − λ )
(18)
iii) Número médio de clientes na fila (para fila >0) (NM)
∞
NM = ∑ r n − 1 =
n =0
λ
µ −λ
−1 =
λ +µ −λ
µ
=
µ −λ
µ −λ
(19)
14
3.3.2 Parâmetros Relativos aos Tempos Gastos pelos Clientes no Sistema e na Fila
i) Tempo médio gasto no sistema por cliente (TS)
λ
TS =
NS
λ
=
λ 1
1
µ −λ
=
⇒ TS =
λ
(µ − λ ) λ
µ −λ
(20)
ii) Tempo médio de permanência no sistema (TF)
Para calcular TF recorremos às expressões (3) e (19).
TF = TS −
1
µ
=
1
1 µ −µ +λ
λ
− =
=
µ − λ µ µ (µ − λ ) µ (µ − λ )
(21)
4. RELAÇÕES ENTRE OS PARÂMETROS DA FILA
Comparando as expressões obtidas, podemos escrever algumas relações entre elas.
NF = λ .TF
(22)
NS = λ.TS
(23)
Analogamente podemos escrever:
Já o tempo médio de espera na fila (TF) é o tempo médio gasto menos a média do tempo de
atendimento.
TF = TS −
1
(24)
µ
Recorrendo a expressão (21), (22) e (23), multiplicando ambos os lados por λ temos a relação
entre NF e NS.

1
λ
λ
λTF = λ  TS −  ⇒ NF = λTS − ⇒ NF = NS −
µ
µ
µ


Logo,
NF = NS −
λ
µ
(25)
15
5. METODOLOGIA
Para a elaboração do referencial foram feitas pesquisas a partir de livros, artigos e
recursos tecnológicos. Os conteúdos matemáticos estudados na pesquisa para o auxilio no
desenvolvimento do trabalho estão ligados às áreas da Teoria de Probabilidade e Cálculo. Os
conteúdos relacionados são variáveis aleatórias, distribuição continua Exponencial Negativa e
distribuição discreta de Poisson, derivadas e séries geométricas. Dessa forma, fazendo um
entrelaçamento entre os respectivos assuntos, um dos objetivos do trabalho foi concretizado,
nos possibilitando demonstrar de forma algébrica a probabilidade dos estados no sistema e
comparar os parâmetros da fila.
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O estudo da Teoria de Filas além de englobar todo o conhecimento teórico sobre a
Teoria de Probabilidade, também trata da investigação e da análise do comportamento de
diversos tipos de sistemas de filas, amplamente ligados à logística e à administração.
Como proposto inicialmente, demonstrou-se no decorrer deste trabalho as equações
que modelam os sistemas de filas e relacionam seus diversos parâmetros. Embora algumas
das equações mostradas sejam gerais, o foco principal foi o modelo M/M/1 que teve suas
taxas e medidas detalhadamente estudadas em relação ao desenvolvimento matemático.
Porém sugere-se para os interessados no estudo de filas a aplicação real das equações aqui
demonstradas ou uma ampliação teórica quanto ao desenvolvimento das demonstrações de
sistemas mais amplos, como os sistemas com vários canais.
De forma geral, fica claro que para o estudo de filas necessita-se de um conjunto
amplo de conhecimentos e conceitos matemáticos. Espera-se que o presente trabalho desperte
o interesse dos graduandos em Matemática e que auxilie os eventuais interessados num
aprofundamento deste tema.
Pretende-se ainda que este trabalho sirva de referencial teórico para pesquisadores
iniciantes no estudo de Teoria de Filas aplicada às áreas gerenciais, para administradores, que
de tal forma percebam qual o sistema de filas melhor modela o sistema vigente em seu
estabelecimento.
7. APLICAÇÃO
Um pronto-socorro médico presta serviços de atendimento aos acidentados durante as
24 horas do dia. Em média, em um dia típico, 50 pacientes recorrem aleatoriamente ao
atendimento desse pronto-socorro. Um paciente requer em média 25 minutos para receber os
primeiros socorros, serviço que é feito por uma única equipe de profissionais. Suponha que o
modelo é de uma fila M/M/1 e efetue os seguintes cálculos.
a) A taxa média de chegada e a taxa média de atendimento;
b) A probabilidade de que, em um intervalo de tempo de 3 horas, 2 pacientes cheguem ao
pronto-socorro;
16
c) A probabilidade de que um paciente selecionado aleatoriamente encontre o prontosocorro desocupado;
d) A probabilidade do pronto-socorro está ocupado;
e) Qual o número esperado de pacientes no pronto socorro;
f) Qual o tempo médio de permanência do paciente no pronto-socorro;
Resolução
a) As taxas λ e µ são determinadas pelas as expressões (2) e (4) respectivamente, isto é,
50
λ=
= 2 pacientes / hora
25
µ=
1
= 0,04 pacientes por minuto ⇒ µ = 0,04 × 60 = 2,4 pacientes / hora
25
b) Como o modelo de chegada dos pacientes é uma distribuição de Poisson com taxa
média igual a λ , e o intervalo de tempo é conhecido, vamos aplicar a expressão (1).
P( X = x) =
αx
x!
e −α
Para λ∆t = 2 × 3 = 6 . Fazendo x = 2 , temos a seguinte probabilidade:
P ( X = 2) =
6 2 −3
e ⇒ P( X = 2) ≅ 0,8961
2!
c) Pela expressão (12) encontramos a probabilidade do sistema está desocupado,
 µ − λ   2,4 − 2 
Pn =0 = 
 = 
 ≅ 0,1666
 µ   2,4 
d) A probabilidade do pronto-socorro está ocupado é dada pela expressão (13),
λ
2
Pn >0 =   =
≅ 0,8333
 µ  2,4
e) O número esperado de pacientes no pronto-socorro recorre à expressão (16),
NS =
λ
µ −λ
=
2
⇒ NS = 5
2,4 − 2
Logo o número esperado de pacientes no sistema é 5.
17
f) O tempo médio gasto no pronto-socorro por paciente recorre à expressão (19),
TS =
1
1
1
=
=
⇒ TS = 2,5 horas.
µ − λ 2,4 − 2 0,4
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALBUQUERQUE, José P. de A.; FORTES, José M. P.; FINAMORE, W. A. Probabilidades,
variáveis aleatórias e processos estocásticos. Rio de Janeiro: Interciência: PUC - Rio, 2008.
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ALVES, Catarina R. D. Processos Estocásticos. Porto/Portugal, 1997. Faculdade de
Economia – Universidade do Porto.
ANDRADE, E. L. Introdução à Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro, RJ: LTC 1990.
BALLEIRO, A.C; FIGUEIREDO, M.A, Introdução à Pesquisa Operacional. Goiânia: Ed.
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FIGUEIREDO, D.D; ROCHA, S.H. Aplicação da teoria de filas na otimização do número
de caixas: Um estudo de caso. Iniciação Científica CESUMAR, JUL./ DEZ 2010, v. 12, n. 2,
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JAMES, B.R, Probabilidade em um curso em nível intermediário/ 3.ed. Rio de Janeiro:
IMPA 2004 (Coleção Projeto Euclides).
LEITHOLD, L, Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo, SP: HABRA, 1994.
MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicação a Estatística. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009.
SILVA, M.S; GONÇALVES, V; MUROLO, A.C, Pesquisa Operacional para os cursos de
Economia, Administração e Ciências Contábeis, São Paulo, SP: ATLAS. S.A, 1998.
Philip Rodrigues Santana ([email protected])
Curso de Matemática, Universidade Católica de Brasília