EN2609 – Sinais Aleatórios – Lista de Exercícios Suplementares 1– abril 2011
EN2609 – Sinais Aleatórios
Lista de Exercícios Suplementares 2
1° quadrimestre 2011
1. (LATHI; 1998, p. 526) Dado um processo aleatório = , em que é uma variável
aleatória uniformemente distribuída no intervalo −1,1, pede-se:
(a) Esboce algumas funções-amostras deste processo.
(b) Determine .
(c) Determine , (d) Ester processo é estacionário (em sentido amplo)? Justifique.
(e) Este processo é ergódico? Justifique.
(f) Se o processo é estacionário, qual a sua potência ?
2. (LATHI; 1998, p. 526) Repita o problema 1 para o processo aleatório
= cos + em que é uma constante e e são VAs independentes uniformemente distribuídas
nos intervalos −1,1 e 0,2 respectivamente.
3. (LATHI; 1998, p. 526) Para cada uma das seguintes funções, determine se ela pode ser
uma DEP válida para um processo real.
(a)
(b)
(c)
(d) + (e) + − − (f) !" + + − #
(g)
$ 4. (LATHI; 1998, p. 526) Mostre que para um processo estacionário em sentido amplo ,
(a) 0 ≥ |
'|, ' ≠ 0
(b) lim,→. ' = ̅ 1
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5. (LATHI; 1998, p. 528) Sejam 0 e 1 dois processos estacionários. Dois novos processos 2 e 3 são obtidos de 2 = 0 + 1 e 3 = 20 + 31. Encontre 55 ', 66 ', 56 ', 65 ' em termos de ' e 77 '.
6. (ZIEMER; TRANTER, 1995, p. 384) (2,0) Um processo aleatório tem função de autocorrelação
RXX ( τ ) = 5 + 2Λ
( 10τ )
sendo
t

1 − , t < a
t
a
Λ
≜
a
 0,
caso contrário

.
( )
Pede-se:
(a) o seu valor médio X
(b) a sua potência E  X 2 


2
(a) a variância σX
;
(d) sua densidade espectral de potência. Esboce-a colocando os valores corretos na escala.
7. (HSU; 1997, p. 231) Um processo WSS X (t ) com função de autocorrelação
RXX (τ ) = e −a |τ |
(1)
em que a é uma constante positiva, é aplicado à entrada de um sistema LIT com resposta ao
impulso
h(t ) = e −btu(t )
(2)
em que b é uma constante positiva. Encontre a função de autocorrelação da resposta Y ( t ) do
sistema.
Resposta no livro.
8. (HSU; 1997, p. 244) Um processo WSS X ( t ) é aplicado à entrada de um sistema LIT
com resposta ao impulso h ( t ) = 3e−2tu(t ) . Encontre o valor médio de Y ( t ) deste sistema se E  X (t )  = 2 .
Resposta no livro.
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9. (HSU; 2004, p. 106) Compute a convolução y(t ) = x (t ) ∗ h(t ) dos seguintes pares de
sinais:
 1,
(a) x (t ) = 
 0,

−a < t ≤ a
 t,
(b) x (t ) = 
 0,
0 < t ≤T
caso contrário
caso contrário
,
1,
h(t ) = 
 0,

−a < t ≤ a
,
1,
h(t ) = 
 0,
0 < t ≤ 2T
caso contrário
caso contrário
(c) x (t ) = u(t − 1), h(t ) = e −3tu(t )
Resposta no livro.
10. (HSU; 2004, p. 245) Considere um sistema LIT de tempo contínuo descrito por
dy ( t )
dt
+ 2y(t ) = x (t )
(3)
Usando a transformada de Fourier, encontre a saída y ( t ) para (a) x ( t ) = e −tu(t ) ; (b)
x (t ) = u(t ) .
Resposta no livro.
11. (KAY; 2006, p. 670) Um processo ruído branco de tempo contínuo X (t ) com função de
autocorrelação RXX (τ ) =
N0
δ(τ ) é colocado à entrada de um sistema LIT com resposta
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ao impulso h(τ ) = exp(−τ )u(τ ) . Determine RXY (τ ) .
12. (PEEBLES, 2001, p. 217) Um processo aleatório gaussiano tem função de autocorrelação
 | τ | 
RXX (τ ) = 6 exp  −


2 
(4)
Determine a matriz de covariância para as variáveis aleatórias X (t ) , X (t + 1) , X (t + 2) e
X (t + 3) .
13. (PEEBLES, 2001, p. 218) Repita o problema 12 se
RXX (τ ) = 6
sin(πτ )
πτ
(5)
14. (PEEBLES, 2001, p. 336) Ruído branco com DEP N 0 / 2 é aplicado a uma rede com
resposta ao impulso
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h(t ) = u(t )Wt exp(−Wt )
(6)
em que W > 0 é uma constante. Encontre as correlações cruzadas da entrada e da saída.
15. (PEEBLES, 2001, p. 347) Dois resistores com resistências R1 e R2 são conectados em
paralelo e têm temperatura física T1 e T2 respectivamente.
(a) Encontre a temperatura de ruído efetiva TS de um resistor equivalente com resistência
igual à combinação paralela de R1 e R2 .
(b) Se T1 = T2 = T , quanto vale TS ?
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