Equações Diferenciais Ordinárias
Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou
mais funções (desconhecidas) com uma ou mais das suas derivadas.
Exemplos:
dx(t )
= cos( x(t ))
dt
(1)
∂x(t , u ) ∂ 2 x(t , u )
=
∂t
∂u 2
(2)
d2y
dx
2
∂ 2u
∂x
2
=y
+
dy
dx
∂ 2u
∂y
2
=u
(3)
(4)
As derivadas dizem-nos quais são as variáveis dependentes e as
d 2 y dy
e
em (3)
variáveis independentes. Por exemplo, as notações
2
dx
dx
dizem-nos que, nesta equação, y é a variável dependente e x é a
∂2x
∂x
variável independente. Em (2),
e
dizem-nos que, nesta
2
∂t
∂u
equação, x é a variável dependente e u e t são as variáveis
independentes.
Se apenas houver uma variável independente, como em (1) ou (3),
então a equação diferencial diz-se equação diferencial ordinária. O
nosso estudo irá apenas incidir sobre este tipo de equações
diferenciais.
Aplicações:
1) Uma aplicação comum à física é a lei de arrefecimento de Newton
que diz que:
“Num objecto, a taxa de temperatura perdida é proporcional à
diferença da temperatura da superfície do objecto, com a temperatura
ambiente.”
Seja T (t ) a temperatura da superfície do objecto, no tempo t e seja
S (t ) a temperatura ambiente, no tempo t. A lei pode ser expressa na
seguinte forma:
dT
= k (T − S ) .
dt
(5)
k é a constante de proporcionalidade determinada pelas características
do objecto e do ambiente envolvente. Supõe-se que S é conhecida. A
função T (t ) é desconhecida e, de um modo geral, pretende-se
encontrar T (t ) resolvendo a equação diferencial.
2) Suponha-se que um objecto de massa m está a uma distância x de
um ponto b (no tempo t) e a lei é a seguinte:
“A força no objecto é inversamente proporcional ao quadrado da
distância a b.”
Como F = m ⋅ a (se m é constante), tem-se F = m
d 2x
dt
2
. Assim, a lei
física pode ser expressa na forma
m
d 2x
dt
2
=
k
x
2
,
(6)
com k a constante de proporcionalidade. Pretende-se determinar a
posição x(t ) , resolvendo a equação diferencial.
Há 3 abordagens gerais para estudar uma equação diferencial,
qualitativa, numérica e analítica. No nosso estudo, dar-se-á grande
importância ao desenvolvimento analítico que consiste em obter
fórmulas implícitas e explícitas para as soluções.
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada da
função desconhecida (variável dependente) que aparece na equação.
Por exemplo, (5) é uma equação diferencial de 1ª ordem e (6) é uma
equação diferencial de 2ª ordem.
Uma equação diferencial de ordem n é linear se puder ser escrita na
forma
an ( x )
d (n ) y
dx
n
+ an −1 ( x)
d (n −1) y
dx
n −1
+ + a1 ( x)
dy
+ a0 ( x) y = f ( x)
dx
(7)
com an ( x) ≠ 0 e ai (x) funções de x (conhecidas) a que se chamam
coeficientes.
Exemplos:
1) x
2
d3y
dx 3
+ y = sen ( x ) ;
2)
d2y
dx 2
+y
d2y
dy
d4y
dy y
= ;
3) 2 + sen ( x ) = y cos( x ) + 4 ; 4)
dx
dx x
dx
dx
5) y′′ + sen ( x ) y′ = y cos( x ) + ( y′)4 ;
6) y′ =
x
.
y
dy
+ y3 = 0 ;
dx
A função y ( x) é uma solução da equação diferencial se, ao ser
substituída na mesma, resulta uma igualdade verdadeira para todos os
valores de x no domínio de y ( x ) .
Exemplos:
1) Verifique que y ( x) = sen ( x ) + x 2 é uma solução da seguinte
equação diferencial
d2y
dx 2
+ y = x2 + 2 .
2) Verifique que a função y ( x ) , definida implicitamente pela equação
x = e y + y , é uma solução da seguinte equação diferencial
1
dy
.
=
dx x − y + 1
Se a solução de uma equação diferencial tiver constantes arbitrárias, é
solução para todos os valores das constantes e, além disso, toda a
solução da equação diferencial é dessa forma então diz-se solução
geral da equação diferencial. Caso a solução não contenha constantes
arbitrárias diz-se solução particular.
Exemplos:
1) Verifique que y = x 6 + c1 x + c2 , com c1 e c2 constantes arbitrárias,
é solução geral da seguinte equação diferencial
y ′′ = 30 x 4 .
2) Determine os valores da constante r de forma a que y = cos(rx ) seja
solução da seguinte equação diferencial
y ′′ + 9 y = 0 .
3) Verifique que y = ce3 x − 1, com c constante arbitrária, é uma
solução da equação diferencial
dy
− 3y = 3
dx
e calcule c de forma que y satisfaça a condição inicial y (1) = 2 .
Equações Diferenciais de 1ª Ordem
O estudo que se segue irá incidir sobre equações diferenciais que se
podem escrever na seguinte forma (forma explícita)
dy
= f ( x, y ) .
dx
Antes de pensar em resolver uma equação diferencial é importante
saber se esta tem solução e, caso exista, também é importante saber se
é única.
Teorema: (Existência e Unicidade) Sejam x0 e y0 números reais
tais que ( x0 , y0 ) pertence ao domínio de f ( x, y ) . Suponha-se que
existem números positivos ε1 e ε 2 , tais que f ( x, y ) e f y ( x, y ) são
ambas contínuas no rectângulo
{( x, y ) : x − x0
< ε1 e y − y0 < ε 2 }.
Neste caso, existe δ > 0 tal que no intervalo x − x0 < δ existe uma
única solução do problema de valor inicial
dy
= f ( x, y ) ,
dx
Exemplo:
1)
dy
= 2x
dx
y ( x0 ) = y0 .
Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis
dy
= f ( x, y ) diz-se de variáveis separáveis se
dx
pode ser escrita na forma
A equação diferencial
dy
= h( x ) g ( y ) .
dx
Dividindo ambos os membros por g ( y ) obtém-se
1 dy
= h( x ) .
g ( y ) dx
(8)
Primitivando, agora, ambos os membros em relação à variável x,
∫
Ora, como dy =
1 dy
dx = ∫ h( x) dx .
g ( y ) dx
dy
dx , (9) pode ser escrita na forma
dx
1
dy = ∫ h( x) dx + C
∫
g ( y)
(9)
Observa-se a partir de (8) que a equação diferencial pode ser escrita na
forma
1
dy = h( x) dx
g ( y)
ou ainda
h( x) dx −
1
dy = 0 .
g ( y)
Esta é outra forma de escrever a equação diferencial que em geral se
representa por
M ( x, y ) dx + N ( x, y )dy = 0 .
(10)
Assim, no caso de M ( x, y ) = P( x) e N ( x, y ) = Q ( y ) (isto é, M ( x, y ) e
N ( x, y ) apenas dependem de x e de y, respectivamente) a solução de
(10) é dada por
∫ P ( x) dx + ∫ Q( y )dy = C ,
com C constante arbitrária.
Exemplo:
Determine a solução geral da equação
x
dy
=− .
dx
y
Equações Diferenciais Totais Exactas
Definição: Consideremos a seguinte equação diferencial de 1ª ordem
(10). A equação diferencial diz-se total exacta se existir uma função
F ( x, y ) tal que
dF ( x, y ) = M ( x, y ) dx + N ( x, y )dy .
Se (10) é diferencial total exacta tem-se dF ( x, y ) = 0 e, portanto,
F ( x, y ) = C define implicitamente a solução geral de (10).
Teorema: Se M ( x, y ) , N ( x, y ) , M y ( x, y ) e N x ( x, y ) são funções
contínuas então M ( x, y ) dx + N ( x, y )dy = 0 é diferencial total exacta
se e só se
∂M ∂N
.
=
∂y
∂x
Exemplo:
Determine a solução geral da equação 3x( xy − 2)dx + ( x 3 + 2 y )dy = 0 .
Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem
A equação diferencial linear de 1ª ordem
a1 ( x)
dy
+ a0 ( x ) y = f ( x )
dx
(11)
com coeficientes a0 ( x) e a1 ( x) , é importante em muitas aplicações.
Se a0 ( x) , a1 ( x) e f ( x) forem contínuas num intervalo I e, além
disso, a1 ( x) nunca se anula em I então, aplicando o teorema da
existência e unicidade de soluções, conclui-se que:
•
se x0 ∈ I e y0 é um número real qualquer então existe uma única
solução de (11) tal que y ( x0 ) = y0 .
•
Pelo facto de esta equação diferencial ser linear esta solução é única
em todo o intervalo I.
Os pontos x tais que a1 ( x) = 0 são chamados pontos singulares.
Para resolver a equação diferencial (11) começa-se por dividir ambos
os membros por a1 ( x )
dy a0 ( x)
f ( x)
+
y=
.
dx a1 ( x)
a1 ( x)
Seja P( x) =
a0 ( x)
f ( x)
e Q( x) =
. A solução de (11) é dada por
a1 ( x)
a1 ( x)
e ∫ P ( x ) dx y = ∫ e ∫ P ( x ) dxQ ( x)dx + C
em que e ∫ P ( x ) dx se designa por factor integrante e C é uma constante
arbitrária.
Exemplo:
Determine a solução geral da equação xy ′ − y = x 2 .
Equações Diferenciais De Bernoulli
A equação diferencial de Bernoulli tem a forma
y′ + P( x) y = Q( x) y n
n ≠ 0,1
(12)
Se n = 0 a equação é linear de 1ª ordem.
Se n = 1 a equação é de variáveis separáveis.
Se n ≠ 0,1 multiplicando ambos os membros de (12) por (1 − n ) y − n ,
tem-se
(1 − n ) y − n y′ + (1 − n )P( x) y1− n = (1 − n )Q( x)
Tomando z = y1− n tem-se z ′ = (1 − n) y − n y′ . Assim,
z ′ + (1 − n) P ( x) z = (1 − n)Q( x)
é uma equação diferencial linear de 1ª ordem, na variável dependente
z.
Exemplo:
Determine
a
solução
geral
y (−1 − x + 6 y 2 )dx + 2 xdy = 0 .
da
equação
diferencial
Determinação de Factores Integrantes
Consideremos a equação diferencial (10) e suponhamos que µ (função
de x e de y) é um factor integrante da equação. Neste caso, a equação
µM ( x, y ) dx + µ N ( x, y ) dy = 0
deve ser diferencial total exacta; logo
∂
∂
(µM ) = (µ N )
∂y
∂x
∂
∂
∂
∂
(µ) M + µ (M ) = (µ) N + µ ( N )
∂y
∂y
∂x
∂x
 ∂M ∂N 
∂µ
∂µ
µ
−
−M
.
=N
∂
∂
y
∂
x
x
∂
y


(13)
Suponhamos agora que o factor integrante, µ , depende apenas de uma
única variável. Seja então µ = µ(x) . Assim a equação (13) toma a
forma
 ∂M ∂N 
dµ
µ
−
;
=N
dx
 ∂y ∂x 
isto é,
 ∂M ∂N 
−


 ∂y ∂x  = 1 dµ .
N
µ dx
 ∂M ∂N 
−


∂y ∂x 
É claro que esta igualdade só tem significado se 
N
depender apenas de x; isto é, se
 ∂M ∂N 
−


y
∂
x
∂

 = ϕ(x)
N
e, portanto,
1 dµ
= ϕ( x)
µ dx
donde se conclui que
µ( x) = e ∫ ϕ( x ) dx
é um factor integrante para a equação diferencial (10).
Se µ é apenas função de y pode-se mostrar, da mesma forma, que se
 ∂M ∂N 
−


∂
y
∂
x
 = ψ( y)
−
M
então µ( y) = e ∫ ψ ( y )dy é um factor integrante para a equação
diferencial (10).
Exemplo:
Determine
a
solução
geral
(4 xy + 3 y 2 − x)dx + x( x + 2 y )dy = 0 .
da
equação
diferencial
Equações Diferenciais Homogéneas
Definição: Uma função f ( x, y ) diz-se homogénea, de grau de
homogeneidade α , se
f (λ x, λ y ) = λα f ( x, y ) ,
para todo o λ ∈ IR.
Exemplos:
1) f ( x, y ) = y + x + 1 não é homogénea.
2) f ( x, y ) = yx é homogénea de grau 2.
 y
3) f ( x, y ) = ln  é homogénea de grau 0.
 x
Definição: A equação diferencial (10) diz-se homogénea se as
funções M ( x, y ) e N ( x, y ) são homogéneas com o mesmo grau de
homogeneidade.
Lema 1: Se as funções M ( x, y ) e N ( x, y ) são homogéneas com o
M ( x, y )
mesmo grau de homogeneidade então a função
é homogénea
N ( x, y )
de grau 0.
Lema 2: Se f ( x, y ) é homogénea de grau 0 então f ( x, y ) é função
 y
apenas de   .
 x
Conclui-se a partir dos lemas 1 e 2 que no caso da equação (10) ser
homogénea, então é possível escrevê-la na forma
dy
 y
= g  .
dx
 x
Para resolver esta equação faz-se a mudança de variável dependente y
para v, definida por y = xv , e obtém-se uma equação de variáveis
separáveis.
Exemplo:
Determine
a
solução
( x 2 − xy + y 2 )dx − xydy = 0 .
geral
da
equação
diferencial
Substituições Sugeridas Por Uma Expressão
Se a equação diferencial (10) não for de nenhum dos tipos estudados
até agora pode ser possível, através de uma mudança de variáveis,
transformar a equação diferencial numa outra da qual saibamos
calcular a solução geral.
Por exemplo, na equação
((x + 2 y )2 − 1)dx + 3(x + 2 y )2 dy = 0
a função x + 2 y aparece duas vezes. Se fizermos a substituição
x + 2 y = v , como dx = dv − 2dy , obtém-se a equação
(v 2 − 1)dv + (v 2 + 2)dy = 0
que é de variáveis separáveis.
Exemplo:
Determine
a
solução
geral
(1 + 3x sen( y ) ) dx − x 2 cos( y ) dy = 0 .
(
)
da
equação
diferencial