INVESTINDO EM AÇÕES, REDUZINDO O RISCO E AUMENTANDO O
POTENCIAL DE RETORNO COM O AUXÍLIO DA ESTATÍSTICA.
ABREU, Edgar Gomes de – UNISINOS
RESUMO
Com a queda nas taxas de juros, a rentabilidade das aplicações financeiras de
ativos de renda fixa (Certificado de Depósito Bancário, Título Público Federal, Fundos
de Investimento de Renda Fixa) tem sido cada vez menor, o que acaba despertando a
curiosidade dos investidores em aplicar seus recursos no mercado de ações. Em vista
deste motivo, é notório o crescimento do investimento dos brasileiros neste mercado,
mesmo após a ocorrência da maior crise deste segmento, vivenciada no segundo
semestre de 2008. O que poucos sabem é que a Matemática, mais especificamente a
Estatística, é muito utilizada como instrumento de auxílio ao investidor. Este minicurso
tem como objetivo mostrar a importância da Estatística na decisão de investimento no
mercado de ações.
Neste curso serão apresentadas as principais medidas de
estatística e será mostrado como cada uma delas é utilizada pelos investidores em ações,
auxiliando na tomada de decisão. Entre as medidas estatísticas utilizadas, destacam-se:
média, desvio-padrão, curva de Gauss, covariância, correlação, índíce Sharpe, Beta,
coeficiente de determinação, tracking error, value at risk – VaR, back testing, stress
test, stop loss, entre outras.
Quando analisamos a rentabilidade de uma ação, a média dos retornos históricos
representa a nossa expectativa de retorno ao comprar esta ação, mas sabe-se que a
rentabilidade futura não necessariamente será igual à média histórica. Isso ocorre devido
ao fato de este investimento possuir certo risco de mercado, o qual pode ser
determinado por meio do cálculo do desvio-padrão. Conhecendo a média e o desviopadrão de uma ação, podemos esperar obter certa rentabilidade dentro de certo intervalo
de confiança, utilizando a curva normal. Outro índice muito utilizado é a medida de
correlação, que indica o grau de diversificação de uma carteira de ações. Quanto melhor
for essa diversificação, menor tenderá a ser o risco de mercado e, com isso, maior
tenderá a ser o potencial de retorno. Neste minicurso o aluno irá visualizar o quanto a
estatística é importante para a avaliação do preço das ações e como ela é utilizada pelos
analistas técnicos de mercado para aconselhar seus clientes e para montar suas próprias
503
carteiras de ações. Para apresentação deste minicurso será necessário a utilização de
uma sala com computadores e alguma planilha instalada (Excel, Star Calc, BR Office),
pois após uma apresentação expositiva dos índices acima mencionados, será
disponibilizado aos alunos uma planilha onde cada um poderá montar sua carteira de
ações, calculando os índices e as medidas estatísticas apresentadas, com o objetivo de
montar uma carteira de ações bem diversificada, com baixo risco e alto potencial de
retorno.
Palavras-chaves: aplicação da estatística, Investimento em Ações, auxílio na decisão de
investimento.
504
I. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA
Os cursos de graduação em Matemática (licenciatura ou bacharelado) oferecidos
pelas diversas universidades existentes no Brasil fornecem aos alunos um ótimo
conhecimento desta ciência, abordando tópicos como: origem da matemática,
compreensão dos números, entendimento da álgebra, etc. No caso dos cursos de
licenciatura, discute-se ainda as diferentes formas de transmissão do conhecimento
desta disciplina aos alunos, tarefa que é, sem dúvida, uma grande preocupação no meio
escolar.
Talvez os cursos de graduação em matemática estejam deixando a desejar por
demonstrarem pouca aplicação prática desta ciência, que hoje é uma das mais presentes
no mercado de trabalho. Este fato justifica-se em parte pelo fato de a duração dos cursos
de graduação ser insuficiente para possibilitar tal aprofundamento, mas que, entretanto,
faz-se extremamente necessário.
Com a globalização, o avanço tecnológico e a facilidade com que encontramos
as informações desejadas, os alunos se tornaram mais críticos, deixando de absorver
parte do que lhes é ensinado. Para este aluno moderno faz-se necessária uma
reestruturação na educação e na ciência como todo. Esta transformação do ensino da
matemática pode ser percebida na criação de cursos específicos com aplicação da
matemática em outras áreas, tais como: Administração, Economia, Informática, etc.
Uma revisão das grades curriculares dos cursos de Matemática no país mostra
que a maioria deles oferece apenas uma única disciplina de Metodologia do Ensino da
Matemática ou, no máximo, duas. No que diz respeito à Estatística, alguns cursos
oferecem disciplinas de Estatística Educacional ou Estatística Aplicada à Educação
(Gonçalves, 2003). Contudo, analisando as ementas dessas disciplinas, constata-se que o
tempo é exíguo para dar conta dos conteúdos e métodos da Matemática e Geometria, e,
mais recentemente, da Estatística e Probabilidade.
II. CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS
Os três conceitos básicos que devem ser familiares a qualquer investidor são:
retorno, incerteza e risco. O retorno pode ser definido como o ganho ou a perda
decorrente de uma aplicação financeira em um determinado intervalo de tempo. Tentar
prever os retornos das aplicações financeiras não é uma tarefa fácil, pois a incerteza é
um fator sempre presente nos investimentos. Assim, faz-se necessário medir as
505
incertezas. O risco pode ser definido como qualquer medida numérica relacionada à
incerteza. A gestão ou mensuração do risco de um portfólio1 pode ser definida como o
conjunto de todas as pessoas, procedimentos e sistemas usados para controlar as perdas
potenciais do investimento.
Existem várias maneiras de fazermos uma mensuração do risco de uma carteira.
Para Jorion [1998] o processo de mensuração formal do risco passa, inicialmente, pela
clara definição da variável de interesse: o capital, o valor de uma carteira, determinado
fluxo de caixa ou outra variável qualquer. No contexto da gestão financeira de
empresas, Uyemura e Van Deventer [1993] definem risco como a variabilidade dos
fluxos de caixa de uma unidade de negócios: produto, carteira, departamento, ou até
mesmo a empresa como um todo.
O uso da estatística é de suma importância no mercado de capitais. Os
investidores utilizam medidas e modelos estatísticos na busca pela minimização dos
riscos em seus portfólios. Carlos Pinheiro (2006, p.105) afirma que:
“Desde que Harry Markowitz foi laureado com o Nobel em função da sua teoria
do portfólio, no início dos anos 50, a construção de portfólios com base na
média-variância tem sido popular no mundo acadêmico, auxiliando os agentes
econômicos no mercado.”
Sem uma análise de risco, o investidor corre todo o risco de mercado, podendo
causar perdas significativas em seu patrimônio financeiro. Os riscos de mercado
decorrem das possíveis variações no valor de mercado da variável de interesse em
função de instabilidade, existentes em quatro tipos distintos de parâmetros de mercado:
taxas de juros, taxas de câmbio, preços de ações e preços de commodities. A
quantificação do risco exige que a incerteza associada a esta instabilidade e seu
potencial efeito adverso na lucratividade sejam capturados. Os instrumentos analíticos
básicos da quantificação de riscos aplicam-se, segundo Bessis [1998], aos quatro tipos
de parâmetro. Com uma boa gestão de risco as perdas podem ser reduzidas, melhorando
a relação entre o risco retorno do investimento.
1
Portfólio é uma carteira de aplicações financeiras composta por títulos e valores mobiliários, tais como:
ações, debêntures, nota promissória, etc.
506
III. O MINICURSO
3.1 Objetivos
a) Fornecer um conhecimento mínimo introdutório sobre as principais
aplicações financeiras e as taxas de juros praticadas no mercado financeiro.
b) Entender a importância da estatística como ferramenta de auxílio na tomada
de decisão do investidor.
c) Explicar as principais medidas de risco utilizadas na mensuração de
carteiras.
d) Fazer com que o palestrante crie sua própria carteira de ações,
diversificando e calculando o risco de seu investimento hipotético.
e) Fornecer subsídios para a formação matemática.
f)
Contribuir para a mudança de atitudes em relação à Matemática.
3.2 Procedimentos
a) Parte 1 - Introdução
Começaremos com uma aula expositiva, na qual será fornecido aos participantes
uma introdução sobre as principais aplicações financeiras disponíveis no mercado,
rentabilidades e riscos de cada aplicação.
Assuntos abordados:
o Relação taxa de juros das aplicações financeiras x taxa Selic Meta;
o Diferença entre ativos de renda fixa e ativos de renda variável;
o Principais aplicações financeiras de renda fixa: fundos de investimento de renda
fixa, poupança, título público federal, debêntures e nota promissória;
o Principais ativos de renda variável: ações, fundos de investimento em ações;
o Risco x retorno.
Tempo previsto: 50 min
b) Parte II – Estatística e aplicações financeiras
Explicação dos principais índices de estatística utilizados no mercado de valores
mobiliários, destacando-se a forma como são utilizados e a importância que exercem no
auxílio ao investidor na tomada de decisões das aplicações financeiras.
507
Assuntos abordados
o Média
A principal vantagem é o cálculo do retorno médio de um investimento.
Considerando que uma ação teve as seguintes oscilações nos primeiros cinco dias de um
determinado mês:
1º + 3%
2º + 4%
3º − 2%
4º − 1%
5º + 1%
Podemos descobrir o “retorno médio” deste ativo, calculando a média destes valores:
X=
3 + 4 + ( −2) + (−1) + 1 5
= = 1%
5
5
Assim, podemos esperar um retorno diário médio de 1%.
o Variância
Mede o grau de dispersão de um conjunto de dados. Tem-se pelos desvios em relação à
média desse conjunto.
Cálculo da variância:
Considerando que uma ação teve as seguintes oscilações nos primeiros cinco dias de um
determinado mês:
1º + 3%
2º + 5%
3º + 7%
4º − 2%
5º + 2%
Primeiro, efetua-se o cálculo da média:
X=
3 + 5 + 7 + (−2) + 2 15
= = 3%
5
5
Depois, calcula-se a variância:
n
∑(X
i =1
i
− X )2
(n − 1)
508
(3 − 3) 2 + (5 − 3) 2 + (7 − 3) 2 + (−2 − 3) 2 + (2 − 3) 2
4
+
+
+
+
0
4
9
25
1
39
σ X2 =
=
= 9, 75%
4
4
σ X2 =
Assim, a variância é de 9,75%.
o Desvio-padrão
A variância possui um problema de construção como medida de dispersão de dados:
apresenta uma unidade de medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados
originais. Esse problema é resolvido extraindo-se a raiz quadrada da variância, o que
chamamos de desvio-padrão. No mercado financeiro, esse valor geralmente é chamado
de volatilidade de um ativo, sendo utilizado como principal medida de risco ao se
investir em determinado ativo.
Quais dos dois ativos abaixo possuem maior risco?
Data
PETR4
VALE5
07/07
− 4%
− 2%
08/07
− 3%
− 1%
09/07
+ 1%
+1%
10/07
+ 6%
− 2%
11/07
− 5%
− 1%
Cálculo da média para PETR4:
X PETR 4 =
( −4) + (−3) + 1 + 6 + (−5) −5
=
= −1%
5
5
Cálculo da média para VALE5:
X VALE 5 =
( −2) + (−1) + 1 + (−2) + (−1) −5
=
= −1%
5
5
Cálculo do desvio-padrão para PETR4:
509
σX2 =
(−4 − (−1))2 + (−3 − (−1))2 + (1− (−1))2 + (6 − (−1))2 + (−5 − (−1))2
4
σX2 =
9 + 4 + 4 + 49 + 16
82
=
= 20,5 = 4,52%
4
4
Cálculo do desvio-padrão para PETR4:
σX2 =
(−2 − (−1))2 + (−1− (−1))2 + (1− (−1))2 + (−2 − (−1))2 + (−1− (−1))2
4
σX2 =
1 + 0 + 4 +1 + 0
6
=
= 1,5% = 1,22%
4
4
Assim, podemos afirmar que a ação da PETR4 possui um risco maior para o
investidor, pois apresenta um desvio-padrão maior.
o Distribuição Normal
A distribuição normal explica a probabilidade de um evento ocorrer. A importância de
saber a média e o desvio-padrão está em conhecer a probabilidade dos eventos
ocorrerem. As probabilidades de afastamento da média de uma certa quantidade de
desvios-padrão já estão calculadas pelos estatísticos.
o Covariância
Em geral, observa-se que quando os juros sobem, os preços das ações caem. Este
comportamento sugere que há uma covariância negativa entre as variáveis taxa de juros
e preços de ações.
A covariância é uma medida que avalia como as variáveis X e Y se inter-relacionam de
forma linear, ou seja, como Y varia em relação a uma determinada variação de X.
Fórmula:
n
COVXY =
∑(X
i =1
i
− X )x(Yi − Y )
n −1
Aplicando no exemplo anterior, temos:
510
COVP ,V =
[(−4 − ( −1)) x ( −2 − (−1))] + [(−3 − (−1)) + (−1 − (−1))]....
4
COVP ,V =
[−3x(−1)] + ( −2 x 0) + (2 x 2) + [7 x( −1)] + (−4 x0)
=
4
COVP ,V =
3+ 0+ 4−7+ 0 0
= =0
4
4
o Correlação
A covariância busca mostrar se há um comportamento de interdependência linear entre
duas variáveis. Porém, a covariância é uma medida dimensional, sendo afetada pelas
unidades de medida das séries X e Y. Para corrigir esse problema da covariância,
chegou-se à medida de correlação, que é um número adimensional que varia entre -1 e 1
(inclusive).
A correlação (ou coeficiente de correlação linear de Pearson) é dada pela fórmula:
ρ X ,Y =
COVXY
σ X ×σY
Para o exemplo anterior temos:
ρ X ,Y =
0
=0
4,52 × 1, 22
O coeficiente de correlação mostra se há relação linear entre duas séries de dados X e Y.
o Indíce Beta
O beta de uma ação em relação a um determinado índice de mercado mede o grau de
sensibilidade desta ação aos acontecimentos que afetam todo o mercado. Quanto maior
o beta, maior é esta sensibilidade e, portanto, maior o seu risco.
o Tracking error
O Tracking Error é dado pela seguinte equação:
TE =σ (Rfundo - Rbench)
511
Assim, o tracking error é dado pelo desvio-padrão das diferenças entre os retornos de
um fundo e os retornos do seu benchmark em um determinado período. Quanto mais
“volátil” forem estas diferenças, maior será o tracking error.
o Erro Quadrático Médio
O erro quadrático médio é dado pela seguinte equação:
Assim, o erro quadrático médio é calculado pela média das diferenças ao quadrado entre
os retornos de um fundo e os retornos de seu benchmark.
o Indíce Sharpe
Mede a quantidade de prêmio recebido por risco assumido:
Onde:
E (R risco): rentabilidade esperada de um investimento com risco maior que zero.
R sem risco: rentabilidade de um investimento sem risco.
σ risco: volatilidade ou desvio-padrão do investimento com risco.
Quanto maior o valor do Indice Sharpe, melhor o investimento.
o VaR – Value at Risk
O cálculo do valor em risco (ou VAR) é um método de se obter o valor esperado
da máxima perda (ou pior perda) dentro de um horizonte de tempo com um intervalo de
confiança.
o Back Testing
Qualquer modelo de VAR deve ser testado para que seja aferida sua precisão. O
Back Testing é uma ferramenta utilizada neste processo: o modelo é alimentado com
dados históricos e com o número de violações (ocorridas no passado). Assim, o limite
de VAR é medido de modo a verificar se está dentro do nível de confiança estabelecido.
Normalmente o Back Testing é utilizado para testar modelos derivados por meio de
simulações.
512
o Stress Test
O Stress Test normalmente é utilizado como um complemento do VAR, com o objetivo
de medir as perdas quando o grau de confiança (normalmente 95%) é ultrapassado. São,
em geral, situações de stress de mercado, conhecidas como fat tail (cauda grossa), que é
uma referência à "ponta" da distribuição normal dos retornos e que pode assumir
valores muito altos, sendo imprevisíveis se apenas o VAR for utilizado.
o Stop Loss
O Stop Loss é a ferramenta utilizada quando os limites de VAR são ultrapassados.
Tempo previsto: 1h30min
c) Parte III – Montando sua própria carteira de ações.
Nesta parte, cada participante irá receber uma planilha do Excel, onde terá que
escolher algumas ações para montar sua carteira hipotética de investimento, utilizandose das explicações anteriores o aluno irá tentar reduzir o risco de sua aplicação, a fim de
aumentar o potencial de retorno dos seus investimentos.
Tempo previsto: 40 min
d) Parte IV – Encerramento e discussão
Será realizada a conclusão do trabalho e ocorrerá um breve debate entre os
participantes sobre o minicurso apresentado.
Tempo previsto: 15 min
Duração total do minicurso: 3h15min
3.3 Materiais necessários:
o Projetor do tipo “datashow”;
o Quadro-negro e giz ou quadro branco com pincel;
o Sala com computadores (mínimo de um computador para cada dois participantes);
o Software de planilha eletrônica (preferível Excel, na falta deste poderão ser
utilizadas outras planilhas dos pacotes free BR Office ou Star Office).
VI. CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS
A procura por investimentos em ações tem aumentado a cada ano. O mercado
exige cada vez mais um investidor racional, que entenda o objetivo do mercado de
513
capitais e que tenha a convicção de que os investimentos possuem alto risco, mas que
este risco pode reduzido e até mesmo controlado. Para isso, necessitamos dos
conhecimentos relacionados ao campo da matemática e da estatística.
Espera-se com a conclusão deste minicurso que os participantes possam ter uma
noção sobre aplicações financeiras, e principalmente que saibam como utilizar as
medidas de estatística e os índices apresentados para montar um portfólio de
investimento.
Decidir para onde direcionar o nosso dinheiro é quase tão difícil como ganhá-lo.
Ao término deste minicurso, deseja-se que o participante possa ter uma melhor
compreensão sobre os fatores que podem influenciar e auxiliar a sua tomada de decisão
na hora de escolher a sua aplicação financeira.
VII. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
ANDERSON, David R.; SWEENEY, Dennis J. & WILLIAMS, Thomas A. Estatística
aplicada à administração e economia. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.
AURÉLIO, E. M. & LEINER, R. Avaliação de risco: introdução ao estudo do Value at
Risk. São Paulo: Brazilian Bussiness School – Pós-Graduação em Finanças, 2003
BESSIS, J. Risk Management in Banking, 1st Edition. John Wiley & Sons Ltd., United
Kingdom, 1998
GONÇALVES, H. J. L. Educação Estatística: Apontamentos sobre a Estatística nos
cursos de Pedagogia - Magistério para séries iniciais do ensino fundamental. Anais do
IX Seminário IASI de Estatística Aplicada, Rio de Janeiro: IMPA, 2003.
JORION, P. Value at Risk – A nova fonte de referência para o Controle do Risco de
Mercado, 1ª Edição. Bolsa de Mercadorias & Futuros, São Paulo, 1998
PINHEIRO, C. Investimentos teoria e prática através do Excel. 1ª Edição. Ciência
Moderna, Rio de Janeiro, 2006.
UYEMURA, D.G. e VAN DEVENTER, D.R. Financial Risk Management in Banking
Strategy, 1st Edition. Probus Publishing Company, United Kingdom, 1993
514