UNIVERSIDADE DOS AÇORES
Departamento de Matemática
Curso de Especialização Tecnológica (CET)
Desenvolvimento de Produtos Multimédia (DPM)
Tópicos de Matemática Discreta
Capitulo 1 - Álgebra de Matrizes
1. Operações com matrizes
Definição : Adição de matrizes e multiplicação por um escalar
Sendo A = [aij], B = [bij] ∈ Mm×n(ℜ) e α ∈ ℜ, define-se:
1. A + B como sendo a matriz do tipo m × n cujo elemento (i, j) é aij + bij.
Assim A + B = [aij + bij]m × n.
2. αA como sendo a matriz do tipo m × n cujo elemento (i, j) é αaij.
Tem-se então αA = [αaij]m×n.
Exemplo
⎡ 1 0 −6 ⎤
⎡ 10 3 8 ⎤
⎡ 11 3 2 ⎤
e
,
tem-se
B
=
A
+
B
=
Sendo A = ⎢
⎥
⎢ 1 6 4⎥
⎢ −1 7 12 ⎥ e
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣ −2 1 8 ⎦
⎡1
1
2
A=⎢
⎢
2
−1
⎣
0 −3⎤
⎥.
1
4⎥
2
⎦
Propriedades da adição de matrizes
Sejam A, B e C matrizes em Mm×n(ℜ). Então verifica-se:
1. (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade da adição).
2. A + B = B + A (comutatividade da adição).
3. A + 0 = 0 + A = A (0 é elemento neutro da adição).
4. A + (−A) = (−A) + A = 0 (−A é o elemento simétrico ou oposto de A).
Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar
Sejam A, B e C matrizes em Mm×n(ℜ). Então verifica-se:
1. α(A + B) = αA + αB
2. (α + β)A = αA + βA
3. (αβ)A = α(βA)
4. 1A = A, ou seja, se multiplicarmos o escalar um por qualquer matriz A, obtemos a
própria matriz A.
5. 0A = 0, ou seja, se multiplicarmos o escalar zero por qualquer matriz A, obtemos a
matriz nula.
Definição : Multiplicação de matrizes
Sendo A = [aij] ∈ Mm×n (ℜ)e B = [bij] ∈ Mn×p(ℜ), define-se AB como sendo a matriz
do tipo m×p cujo elemento (i, j) é ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj. Assim,
⎡ n
⎤
AB = ⎢ ∑ aik bkj ⎥ .
⎣ k =1
⎦ m× p
Como se pode ver pela definição, o produto AB da matriz A pela matriz B,
apenas está definido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas
de B. Neste caso o número de linhas da matriz AB é igual ao número de linhas de A
e o número de colunas é igual ao de B. O elemento de AB situado na linha i e coluna
j obtém-se a partir da linha i de A e da coluna j de B:
⎡L
⎢a
⎢ i1
⎢⎣L
L L L⎤
ai 2 L ain ⎥⎥
L L L ⎥⎦
⎡L
⎢
⎢L
⎢M
⎢
⎢⎣L
b1 j L⎤
L
L⎤
⎡L
b2 j L⎥⎥ ⎢
= L ai1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj L⎥⎥ .
M M ⎥ ⎢
L
L⎥⎦
⎥ ⎢L
bnj L⎥⎦ ⎣
Vemos assim que:
1. a linha i de AB obtém-se multiplicando a linha i de A pela matriz B;
2. a coluna j de AB obtém-se multiplicando a matriz A pela coluna j de B;
3. AB obtém-se multiplicando a matriz A pelas colunas de B, ou multiplicando
as linhas de A pela matriz B.
Exemplos
⎡5 4 3 ⎤
⎡ 1 2 7⎤
1. Sejam A = ⎢
e B = ⎢⎢8 0 6 ⎥⎥ .
⎥
⎣9 3 8 ⎦
⎢⎣1 2 9 ⎥⎦
Então:
⎡1× 5 + 2 × 8 + 7 × 1 1× 4 + 2 × 0 + 7 × 2 1× 3 + 2 × 6 + 7 × 9 ⎤ ⎡ 28 18 78 ⎤
AB = ⎢
⎥=⎢
⎥.
⎣9 × 5 + 3 × 8 + 8 × 1 9 × 4 + 3 × 0 + 8 × 2 9 × 3 + 3 × 6 + 8 × 9 ⎦ ⎣ 77 52 117 ⎦
Note-se que neste caso o produto BA não está definido, visto o número de
colunas de B ser diferente do número de linhas de A.
⎡2⎤
2. Sejam A = [ 3 1 5] e B = ⎢⎢7 ⎥⎥ . Então:
⎢⎣ 4 ⎥⎦
AB = [3 × 2 + 1× 7 + 5 × 4] = [33] ;
e
⎡ 2 × 3 2 × 1 2 × 5⎤ ⎡ 6 2 10 ⎤
BA = ⎢⎢ 7 × 3 7 × 1 7 × 5⎥⎥ = ⎢⎢ 21 7 35 ⎥⎥ .
⎢⎣ 4 × 3 4 × 1 4 × 5⎥⎦ ⎢⎣12 4 20 ⎥⎦
⎡ 1 2⎤
⎡ 4 −6 ⎤
e B=⎢
. Então:
3. Sejam A = ⎢
⎥
3⎥⎦
⎣ −1 −2 ⎦
⎣ −2
20 ⎤
⎡10
⎡0 0⎤
AB = ⎢
; BA = ⎢
⎥
⎥.
⎣ −5 −10 ⎦
⎣0 0⎦
Propriedades da multiplicação de matrizes
Sejam A, A′ ∈ Mm×n(ℜ), B, B′ ∈ Mn×p(ℜ), C ∈ Mp×q(ℜ) e α ∈ ℜ Então tem-se:
1. A0 = 0, 0A = 0, AIn = ImA = A.
2. (AB)C = A(BC) (associatividade da multiplicação).
3. A(B + B′) = AB + AB′, (A + A′)B = AB + A′B (distributividades da multiplicação em
relação à adição).
4. α(AB) = (αA)B = A(αB).
Observações
• Quando m=n= p os produtos AB e BA são ambos possíveis, mas, em geral,
AB ≠ BA . (Exº 2.2 e 2.4 da ficha de exercícios).
• A lei do anulamento do produto de números reais não se generaliza ao
produto de matrizes (Exº 11.1 da ficha de exercícios).
• De um modo geral, AB = AC não implica B=C. (Exº 11.2 e 11.3 da ficha de
exercícios).
• Da associatividade do produto de matrizes concluímos que não temos que
nos preocupar com parênteses quando lidarmos com mais de dois factores.
Em particular, fica bem definido o significado da expressão Ak, onde A é
uma matriz quadrada e k é um nº natural, tendo-se A K = A × A × ... × A .
K
factores
Definição: Matriz transposta e matriz simétrica
Dada uma matriz A = [aij] do tipo m × n, define-se a transposta de A como sendo a
matriz AT = [bij], do tipo n × m, onde bij = aji, para i = 1, …, n, j = 1, …, m.
Uma matriz A diz-se simétrica se A = AT.
Observações:
1. Os elementos da coluna i de AT são precisamente os da linha i de A, para i = 1, …,
m;
2. Uma matriz é simétrica se e só se for quadrada e forem iguais os elementos
situados em posições simétricas relativamente à diagonal principal.
Exemplo
⎡1 2 0 ⎤
A transposta da matriz A = ⎢
⎥ é a matriz
⎣1 5 3 ⎦
⎡3 2 5⎤
A matriz ⎢⎢ 2 1 7 ⎥⎥ é simétrica, mas a matriz
⎢⎣ 5 7 9 ⎥⎦
⎡1 1⎤
A = ⎢⎢2 5⎥⎥ .
⎢⎣0 3⎥⎦
T
⎡3 1 5⎤
⎢ 2 1 7 ⎥ já não o é, uma vez que os
⎢
⎥
⎢⎣ 5 7 9 ⎥⎦
elementos nas posições (1, 2) e (2, 1) não são iguais.
Propriedades da transposição de matrizes
A transposição de matrizes goza das seguintes propriedades:
1. (AT)T = A;
2. (A + B)T = AT + BT;
3. (αA)T = αAT, sendo α um número;
4. (AB)T = BTAT ;
5. (Ak)T = (AT)k, sendo k um número natural;
2. Condensação e característica de uma matriz
Definição: Matriz em escada de linhas
Se uma linha de uma matriz não é toda nula, chamamos pivot ao elemento não
nulo dessa linha, mais à esquerda.
Uma matriz diz-se uma matriz em escada de linhas se satisfizer as seguintes
condições:
i) em cada linha não nula as entradas que estão por baixo do pivot são nulas, bem
como as anteriores (mais à esquerda);
ii) se houver linhas totalmente nulas devem aparecer depois das outras.
Exemplos do aspecto de uma matriz em escada (os símbolos • representam os
pivots e são não nulos):
⎡•
⎢
⎡ • ∗ ∗⎤ ⎢ 0
⎢ 0 • ∗⎥ , ⎢ 0
⎢
⎥ ⎢
⎢⎣ 0 0 •⎥⎦ ⎢0
⎢⎣0
∗
0
0
0
0
∗
•
0
0
0
∗
∗
•
0
0
∗
∗
∗
0
0
Exemplo : Matriz em escada de linhas
∗
∗
∗
0
0
∗⎤
∗ ⎥⎥
∗⎥ ,
⎥
•⎥
0 ⎥⎦
⎡•
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
∗
•
0
0
∗⎤
∗ ⎥⎥
.
0⎥
⎥
0⎦
As matrizes A, B e C são matrizes em escada de linhas.
⎡1 5⎤
⎡2 5 0⎤
A=⎢
, B = ⎢⎢ 0 2 ⎥⎥ ,
⎥
⎣0 0 6⎦
⎢⎣ 0 0 ⎥⎦
⎡3
⎢0
⎢
C = ⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣ 0
7
1
0
0
0
4⎤
2 ⎥⎥
6⎥
⎥
0⎥
0 ⎥⎦
0
5
0
0
0
A matriz A tem pivots 2 e 6, os pivots de B são 1 e 2 e os de C são 3, 1 e 6.
As matrizes
⎡1
⎢
⎢0
⎢
⎣⎢ 0
5
0
0
0⎤
⎥
6⎥
⎥
2 ⎦⎥
⎡1
⎢
⎢0
⎢
⎣⎢ 0
0
5
0
6
0
2
7⎤
⎥
2⎥
⎥
4 ⎦⎥
e
⎡2
⎢
⎢0
⎢
⎣⎢ 0
3
0
0
0⎤
⎥
0⎥
⎥
1 ⎦⎥
não são matrizes em escada de linhas.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Demonstra-se que toda a matriz não nula pode ser transformada numa matriz em
escada de linhas, através de operações elementares sobre as linhas.
Definição : Condensação de uma matriz
Designa-se por condensação ao processo de transformar uma matriz numa em
escada de linhas, através de operações elementares sobre as linhas.
As operações elementares sobre as linhas de uma matriz são:
• Troca, entre si, de duas linhas;
• Multiplicação de uma linha por um nº real diferente de zero;
• Adicionar a uma linha outra linha multiplicada por um nº real diferente de
zero, e substituí-la pelo resultado.
Exemplo: Condensação de uma matriz
⎡1 1 2 ⎤
Consideremos a matriz A = ⎢⎢1 3 3 ⎥⎥ . Começamos por adicionar à segunda e
⎢⎣ 2 8 12 ⎥⎦
terceira linhas de A, a primeira linha multiplicada por −1 e −2, respectivamente.
⎡1 1 2 ⎤
A matriz resultante será A′ = ⎢⎢ 0 2 1 ⎥⎥ . Esta matriz não é ainda uma matriz em
⎢⎣ 0 6 8 ⎥⎦
escada. Prosseguimos adicionando à terceira linha de A′ a segunda linha multiplicada
⎡1 1 2 ⎤
por −3. A matriz que obtemos é a matriz em escada U = ⎢⎢ 0 2 1 ⎥⎥ .
⎢⎣ 0 0 5 ⎥⎦
Terminou a condensação da matriz A.
⎡1 1 2⎤
Considere-se agora B = ⎢⎢ 2 6 6 ⎥⎥ . Adicionando à segunda e terceira
⎢⎣ 2 2 4 ⎥⎦
⎡1
primeira linha multiplicada por −2 obtemos a matriz em escada U = ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
linhas de B a
1 2⎤
4 2 ⎥⎥ .
0 0 ⎥⎦
Na condensação de uma qualquer matriz, o nº de linhas não nulas da matriz
condensada, não depende da sequência de operações elementares efectuada.
Definição: Característica de uma matriz
Chama-se característica de uma matriz A ao número de linhas não nulas de uma
matriz condensada que, se obtém de A, através de operações elementares.
Representa-se por r(A) ou car (A).
Exemplo: Característica de uma matriz
As matrizes A e B do Exemplo 2, têm, respectivamente, característica 3 e 2.
3. Cálculo da inversa de uma matriz através de operações elementares
Definição: Inversa de uma matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem n . Chama-se inversa da matriz A (se existir)
à única matriz B de ordem n tal que : AB = BA = I n . Representa-se por A −1 .
Exemplo: Inversa de uma matriz
⎡1 2 ⎤
Seja A matriz ⎢
⎥ . Mostre que a sua inversa é a matriz
⎣1 1 ⎦
⎡ −1 2 ⎤
⎢ 1 −1⎥ .
⎣
⎦
De facto,
⎡1 2 ⎤ ⎡ −1 2 ⎤
⎡ −1 2 ⎤ ⎡1 2 ⎤
⎢1 1 ⎥ ⎢ 1 −1⎥ = I 2 e ⎢ 1 −1⎥ ⎢1 1 ⎥ = I 2 .
⎣
⎦⎣
⎦
⎣
⎦⎣
⎦
Propriedades da inversa de uma matriz
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n invertíveis. Então tem-se
( A −1 ) −1 = A
(AB)−1 = B−1A−1
(AT)−1 = (A−1)T
Observação: Nem todas as matrizes admitem inversa. Uma matriz que admite
inversa diz-se invertível ou regular.
Proposição : Uma matriz de ordem n é regular (ou invertível) se e só se a sua
característica é igual à ordem.
Cálculo da inversa de uma matriz através de operações elementares
Algoritmo de Gauss- Jordan
1. Coloca-se ao lado da matriz A a matriz identidade I, da mesma ordem da A,
separada por um traço vertical;
2. Transforma-se, por meio de operações elementares sobre linhas, a matriz A
na matriz I, aplicando-se, simultaneamente, à matriz I, colocada ao lado da matriz A,
as mesmas operações elementares;
3. A matriz pretendida é a que se obtém onde estava I.
Exemplo: Cálculo da Inversa de uma matriz
⎡ 1 −3 1 ⎤
Determinemos a inversa da matriz A = ⎢⎢ −2 3 −1⎥⎥ .
⎢⎣ −1 2 −1⎥⎦
Seguindo o método anterior, temos:
⎡ 1 −3 1 1 0 0 ⎤
⎢
⎥
⎡⎣ A I ⎤⎦ = ⎢ −2 3 −1 0 1 0 ⎥ → L2 + 2 L1
⎣⎢ −1 2 −1 0 0 1 ⎥⎦ → L3 + L1
⎡1 −3 1 1 0 0 ⎤
1
⎢
⎥
= ⎢0 −3 1 2 1 0 ⎥ → − L2
3
⎢⎣0 −1 0 1 0 1 ⎥⎦
⎡1 −3 1 1
0 0 ⎤ → L1 + 3L2
⎢
⎥
−1
0⎥
= ⎢0 1 −1 −2
3
3
3
⎢
⎥
0 1 ⎥⎦ → L3 + L2
⎣⎢0 −1 0 1
⎡
⎤
−1 0 ⎥
⎢ 1 0 0 −1
−1
0⎥
= ⎢ 0 1 −1 − 2
3
3
3
⎢
⎥
⎢
⎥ → −3L3
−1 1
−1
1⎥
⎢⎣0 0
3 3
3
⎦
⎡ 1 0 0 −1
−1 0 ⎤
⎢
⎥
1
−1
0 ⎥ → L2 + L3
= ⎢ 0 1 −1 − 2
3
3
3
3
⎢
⎥
0
0
1
1
1
3
−
−
⎥⎦
⎣⎢
⎡1 0 0 −1 −1 0 ⎤
⎢
⎥
= ⎢0 1 0 −1 0 −1⎥ = ⎡⎣ I A−1 ⎤⎦
⎢⎣0 0 1 −1 1 −3⎥⎦
Portanto,
⎡ −1 −1 0 ⎤
A = ⎢⎢ −1 0 −1⎥⎥ .
⎢⎣ −1 1 −3⎥⎦
−1