PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Estruturas Algébricas
Teoria de Conjuntos
Introdução:
"É comum, na construção de uma teoria matemática, escolher-se um conjunto de afirmações
como ponto de partida — axiomas — e obter-se então outras afirmações — teoremas —
utilizando-se algumas regras estabelecidas: as regras de inferência. Analogamente, objetos da
teoria são definidos a partir de alguns não definidos — conceitos primitivos." (Introdução à
Matemática - Bezerra, L. H., Barros, P. H. V., Tomei, C. e Wilmer, C.).
Na construção da teoria de conjuntos, admitiremos como conceitos primitivos as noções de:
conjunto, elemento e relação de pertinência entre elemento e conjunto.
A idéia de conjunto é a da linguagem comum, representando uma coleção bem-definida de
objetos. Por exemplo:



o conjunto de todos os alunos desta turma;
o conjunto de todos os números primos;
o conjunto de todas as linguagens de programação .
Indicaremos os conjuntos por letras latinas maiúsculas: A, B, C, etc, e seus elementos por
letras latinas minúsculas: a, b, c, etc.
Nós escreveremos x∈ A para indicar que x é um elemento de A e x∉ A para indicar que
x não é um elemento de A.
Para definir um conjunto que possui um número pequeno de elementos, podemos listar os
seus elementos (definição por extensão). Por exemplo,
A = {1, 2, 3, 4, 5},
B = {1, {1}, {2}}.
Com o uso de reticências podemos estender esta notação para conjuntos finitos com número
elevado de elementos e para conjuntos infinitos, uma vez que se conheça a lei de formação
desses elementos. Por exemplo,
C = {1, 2, 3, ... ,n}, D = {2, 4, 6, ...., 2n, ...}.
Em geral, entretanto, excetuando-se os conjuntos finitos com número pequeno de
elementos, um conjunto é descrito apresentando-se a propriedade que o define (definição por
compreensão). Se A(x) é uma propriedade, o conjunto de todos os elementos x que satisfazem
A(x) é indicado por
{x | A(x)}.
Ou, se quisermos nos restringir aos elementos de um certo conjunto X, escrevemos
{x ∈ X∣A x}.
Por exemplo:
ℕ={x∈ℤ∣x0},
{
ℚ=
}
m
∣m , n∈ℤ∧n≠0 ,
n
{-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6} = {x∈ℤ∣x é divisor de 6},
{- 2 ,
2
2 } = {x∈ℝ∣ x =2}.
Conjunto vazio:
É conveniente introduzir um conjunto que não tem nenhum elemento: o conjunto vazio. É
fácil ver que há somente um conjunto vazio, o qual indicaremos pela letra escandinava ∅.
Por exemplo:
∅ = {x∈ℝ∣x 20},
∅ = { x | x  x },
∅ = {x∈ℕ∣1x2}.
Observe que ∅ e {∅} são conjuntos diferentes: ∅ é o conjunto vazio -- não possui
nenhum elemento -- e {∅} é um conjunto que possui um elemento. O que vale neste caso é
∅∈{∅}.
Igualdade de conjuntos:
Def.: Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais, e escrevemos A=B , se eles
possuem os mesmos elementos, ou seja:
Como mostram os exemplos acima, a igualdade de dois conjuntos não significa que eles
tenham definições idênticas. A definição de igualdade reflete o fato de que um conjunto é uma
coleção de objetos.
Propriedades da igualdade de conjuntos:
Sejam A, B e C conjuntos. Então,
(i)
(ii)
(iii)
A=A
A=B  B=A
A=B ∧ B=C 
(a igualdade de conjuntos é reflexiva)
(a igualdade de conjuntos é simétrica)
(a igualdade de conjuntos é transitiva)
A=C
Relação de inclusão:
Def.: Dizemos que um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B, e escrevemos
A⊆B , se todo elemento de A é um elemento de B, ou seja
Também dizemos que A está contido em B ou que B contém A (neste caso
escrevemos B⊇ A ).
Se A⊆B e A≠B dizemos que A é um subconjunto próprio de B (ou que está
estritamente contido em B), e escrevemos A⊂B.
Propriedades da inclusão:
Sejam A, B e C conjuntos. Então,
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
∅⊆ A
A⊆ A
A⊆B
A⊆B
∧
∧
B⊆ A
B⊆C
 A=B
 A=C
(a inclusão é reflexiva)
(a inclusão é anti-simétrica)
(a inclusão é transitiva)
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