Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica – Fı́sica
III – 2012/2
Segunda Prova: 04/02/2013
Versão: A
Formulário
I=
~ m = q~v × B
~ ,
F
Z
~ · n̂ dA ,
J
Seção 1.
~ = σE
~ ,
J
V = RI ,
~ · n̂ dA = 0 ,
B
~ =
dB
I
~ m = Id~ℓ × B
~ ,
dF
Eind = −
S
dΦB
,
dt
ΦB [1] = LI1 + MI2 ,
µ0 Id~ℓ × r̂
,
4π
r2
uB =
2. Considere três situações independentes, envolvendo
correntes estacionárias de intensidade com módulo
I > 0 e as correspondentes
H curvas ampèrianas Ci .
~ ·d~ℓ em cada uma das
Qual é a circulação Γi := Ci B
situações?
(a)
Todas as partı́culas 1, 2, 3 e 4 têm carga zero.
(b)
As partı́culas 1 e 2 têm cargas positivas, ao
passo que as partı́culas 3 e 4 têm cargas negativas.
(c)
As partı́culas 1 e 2 têm cargas negativas, ao
passo que as partı́culas 3 e 4 têm cargas positivas.
(d)
As partı́culas 1 e 3 têm cargas positivas, ao
passo que as partı́culas 2 e 4 têm cargas negativas.
(e)
(b)
~
~
E[1]
= ~0, I[1] = 0; E[2]
= ~0, I[2] = 0 .
~
~
E[1]
6= ~0, I[1] 6= 0; E[2]
= ~0, I[2] = 0 .
(d)
~
~
E[1]
6= ~0, I[1] 6= 0; E[2]
6= ~0, I[2] = 0 .
~
~
E[1]
6= ~0, I[1] 6= 0; E[2]
6= ~0, I[2] 6= 0 .
(e)
~
~
E[1]
= ~0, I[1] 6= 0; E[2]
= 0, I[2] = 0 .
(c)
1
(a)
Aumenta.
(b)
Diminui.
(c)
Depende da corrente que passa no solenóide.
(d)
Não se altera.
1 B2
.
2 µ0
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Considere dois anéis circulares em repouso: um condutor (1) e outro isolante (2). Ambos estão sujeitos a
campos magnéticos não estacionários orientados para
dentro do plano dos anéis. Quanto ao campo elétrico
~ e à corrente elétrica induzida I, nos anéis,
induzido E
podemos afirmar que
(a)
5. Um solenóide circular ideal, muito longo, tem número
de espiras N, raio R e comprimento ℓ. Se alterarmos
o raio e o número de espiras de tal solenóide, para
o dobro e a metade, respectivamente, mantendo seu
comprimento inalterado, o que ocorre com a sua autoindutância? Considere que o solenóide é muito longo
(“infinito”): ℓ ≫ R.
S
~ d~ℓ = µ0 Ienc + µ0 ǫ0 dΦE ,
B·
dt
C
I
~ = nq~v ,
J
3. Uma câmara de bolhas, representada na figura abaixo,
possui um campo magnético constante (estacionário e
~ perpendicular à folha de papel. Uma
uniforme) B,
partı́cula neutra, em repouso no centro da câmara,
transforma-se (decai) em outras partı́culas, cujas trajetórias são mostradas na figura. Quanto à carga
dessas partı́culas resultantes do decaimento, podemos
afirmar que
(a)
Γ1 = −µ0 I, Γ2 = 0, Γ3 = 0 .
(b)
Γ1 = µ0 I, Γ2 = 0, Γ3 = 0 .
(c)
Γ1 = −µ0 I, Γ2 = 0, Γ3 = 2µ0 I .
(d)
Γ1 = −µ0 I, Γ2 = 0, Γ3 = −2µ0 I .
(e)
Γ1 = −µ0 I, Γ2 = −2µ0 I, Γ3 = −2µ0 I .
6. Considere as seguintes três distribuições estacionárias
de corrente: (I) corrente ao longo de um anel circular; (II) corrente ao longo das geratrizes (ou seja,
na direção do eixo) de um superfı́cie cilı́ndrica circular muito longa (“infinita”), e (III) solenóide muito
longo (“infinito”). Em qual dessas situações é conveniente usar a lei de Ampère para determinar o campo
magnético resultante?
As partı́culas 1 e 4 têm cargas positivas, ao
passo que as partı́culas 2 e 3 têm cargas negativas.
4. Três resistores cilı́ndricos circulares ôhmicos, 1, 2 e 3,
são construı́dos com o mesmo material, de resistividade conhecida ρ. O resistor 1 tem comprimento L
e área de seção reta A, o resistor 2 tem comprimento
L e área de seção reta 2A, enquanto o resistor 3 tem
comprimento L/2 e área de seção reta A/2. Se cada
um desses resistores for submetido a uma mesma diferença de potencial entre suas extremidades, podemos
afirmar, sobre os módulos Ji (i = 1, 2, 3) das densidades de corrente que fluem ao longo deles e sobre suas
resistências Ri , que
(a)
Somente a I.
(b)
Somente a II.
(c)
Somente a III.
(d)
I e II.
(e)
I e III.
(f)
II e III.
7. Um capacitor usual de placas muito grandes (“infinitas”), planas e paralelas, está sendo lentamente carregado. Em termos dos vetores unitários r̂, ϕ̂ e ẑ, assinale a opção que melhor indica a direção e sentido dos
campos elétrico e magnético, respectivamente, dentro
do capacitor.
(a) ẑ e −ϕ̂ .
(a)
J1 = J2 = J3 e R1 = R2 = R3 .
(b)
−ẑ e ϕ̂ .
(b)
J1 = J2 = J3 /2 e R1 = R2 = R3 .
(c)
−ẑ e −ϕ̂ .
(c)
J1 = J2 = J3 /2 e R1 = 2R2 = R3 .
(d)
ẑ e r̂ .
(d)
J1 = J2 /4 = J3 e R1 = 2R2 = R3 .
(e)
ẑ e ϕ̂ .
(e)
J1 = J2 = 2J3 e 2R1 = 4R2 = R3 .
(f)
ẑ e −r̂ .
2
9. Considere um campo magnético estacionário não uni~ = D ϕ̂, onde r é a distância do
forme dado por B
r
ponto de aplicação do campo magnético até um determinado eixo, ϕ̂ é o vetor unitário circular em torno
de tal eixo, e D = const. Qual opção indica a energia armazenada no campo magnético, por unidade de
comprimento ao longo do eixo, entre duas superfı́cies
cilı́ndricas coaxiais com o eixo supracitado, de raios
r = a e r = b, com a < b ?
8. Dois fios muitos longos são percorridos por correntes
elétricas estacionárias de mesma intensidade. Cada
um de tais fios é constituı́do por dois segmentos retilı́neos (muito longos) e por um arco circular intermediário (com abertura de 90◦ ); os raios de tais arcos
são tais que RII > RV . Qual dos segmentos dá maior
~
contribuição para o campo magnético resultante B(C)
no ponto central C?
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
II.
(b)
V.
(c)
I e III.
(d)
IV e VI.
(e)
~
Todos contribuem igualmente para B(C)
.
(e)
πD 2
ln(b/a) .
2µ0
πD 2
ln(b/a) .
µ0
4πD 2
ln(b/a) .
µ0
4πD
(b − a) .
µ0
D2 1
.
2µ0 b − a
10. Uma bússola encontra-se acima de um fio retilı́neo,
muito longo, percorrido por uma corrente elétrica
estacionária de intensidade I. Na sua posição de
equilı́brio estável, quais são o sentido do vetor mo~ da bússola e a sua
mento de dipolo magnético µ
energia potencial U, supondo que essa última é zero
~ fio .
~ ⊥B
quando µ
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1.
3
(a)
ŷ e −µBfio .
(b)
−ŷ e µBfio .
(c)
ẑ e µBfio .
(d)
−ẑ e −µBfio .
(e)
ŷ e 0 .
(f)
−ẑ e 0 .
[2,5 pontos] (a) Considere um fio condutor retilı́neo, muito
longo, percorrido por uma corrente elétrica estacionária de
intensidade I. Utilizando a lei de Ampère e que o campo
~ reta provocado por tal fio retilı́neo é puramente
magnético B
circular (ou azimutal), deduza, detalhadamente, uma expressão
para tal campo, indicando, com clareza, qual a curva ampèriana
utilizada (Sugestão: use coordenadas cilı́ndricas). [0,8 ponto]
(b) Utilizando a lei de Biot-Savart, deduza, detalhadamente, o
~ circ , no centro de um anel condutor circular,
campo magnético B
de raio R, percorrido por uma corrente elétrica estacionária de
intensidade I. [0,8 ponto]
(c) Referindo-se, agora, à figura ao lado, temos um arame com
uma parte retilı́nea muito longa e outra parte circular, de raio
R e centro O. Utilizando os resultados dos itens anteriores,
qual deve ser a posição (ordenada) y = ycr da parte retilı́nea do
arame, de modo que o campo magnético resultante no ponto
O seja nulo? [0,9 ponto]
2. [2,5 pontos] Uma espira condutora retangular abcd, rı́gida,
de comprimento L e largura H está sujeita a um campo
magnético estacionário, mas não uniforme, perpendicular ao
~ = D ϕ̂, onde (r, ϕ, z) são coordenadas
seu plano, tal que B
r
cilı́ndricas, (r̂, ϕ̂, ẑ) os correspondentes vetores unitários,
conforme indicados na figura, e D = const > 0 . O lado
ad da espira, mais próximo ao eixo Z, está a uma distância
s desse. A espira constitui-se de um material ôhmico e sua
resistência total é igual a R, ao passo que sua auto-indutância
é desprezı́vel.
(a) Determine o módulo do fluxo ΦB
~ do campo magnético que
atravessa a região plana interior da espira. [1,0 ponto]
(b) Determine, com justificativa detalhada, no caso de a espira
estar em repouso, se alguma corrente induzida circula ao longo
da espira e, se for o caso, indique claramente o seu sentido e
calcule o seu módulo. [0,5 ponto]
(c) Considere agora que a espira se desloca para a direita a
uma velocidade de módulo constante v = ds/dt. Nessa nova
situação, determine novamente, com justificativa detalhada, se
alguma corrente induzida circula ao longo da espira e, se for o
caso, indique claramente o seu sentido e calcule o seu módulo.
[1,0 ponto]
4
Gabarito para Versão A
Seção 1.
Por outro lado, a corrente encerrada pela curva ampèriana é simplesmente
Ienc = I .
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (c)
6. (f)
2. (d)
7. (e)
3. (e)
8. (b)
4. (c)
9. (b)
5. (d)
10. (a)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Resolução:
(a) Por informação do próprio enunciado, usaremos a lei de Ampère, que exige a estacionariedade da corrente
elétrica, e o fato de o campo resultante ser circular em torno da corrente, ou melhor,
Logo, pela lei de Ampère, temos, finalmente,
Breta,ϕ (r) =
µ0 I
,
2πr
ou melhor,
~ reta = µ0 I ϕ̂(ϕ) .
B
2πr
(b) Usaremos agora, conforme sugestão do próprio enunciado, a lei de Biot-Savart, que exige a estacionariedade da
corrente elétrica. Para tanto, precisamos escolher um elemento de corrente (infinitesimal) genérico do anel. Como
o ponto onde queremos calcular o campo é o centro do anel, ocorrerão as seguintes simplificações:
~ reta = Breta,ϕ (r, ϕ, z) ϕ̂(r, ϕ, z) .
B
µ0 Id~ℓ × r̂
4π
r2
µ0 Idℓ(−ẑ)
=
4π
R2
µ0 Idℓ
=−
ẑ .
4πR2
~ circ =
dB
Aqui, já estamos, conforme sugestão do enunciado, utilizando coordenadas cilı́ndricas, tais que o fio coincide com
o eixo Z (r = 0), tendo o sentido da própria corrente. Destarte, de fato, o versor azimutal ϕ̂ não depende nem de
r nem de z. Também, por simetria cilı́ndrica, a componente azimutal Bϕ só pode depender de r. Com isso, temos,
na verdade, a expressão mais simples
~ reta = Breta,ϕ (r) ϕ̂(ϕ) .
B
Esses dados sugerem que tomemos como curva (fechada) ampèriana C um cı́rculo, de raio genérico r, centrado no
fio retilı́neo e perpendicular ao mesmo, ou seja, situado num plano z = const. Com isso, a circulação do campo
magnético ao longo de C fica
I
~ reta · d~ℓ
ΓB
[C]
:=
B
~ reta
IC
= Breta,ϕ (r) ϕ̂(ϕ) · d~ℓ
IC
= Breta,ϕ (r) dℓϕ
C
I
= Breta,ϕ (r) dℓϕ
C
= Breta,ϕ (r) 2πr .
1
Logo, pelo princı́pio de superposição para campos magnéticos, temos
~ circ = − µ0 I2πR ẑ ,
B
4πR2
ou melhor,
~ circ = − µ0 I ẑ .
B
2R
~
(c) Por superposição novamente, temos que o campo magnético B(O)
resultante no centro do anel circular é
~
~ reta (O) + B
~ circ (O)
B(O)
=B
µ0 I
µ0 I
=−
ẑ −
ẑ
2πy
2R
µ0 I 1
1
=−
+
ẑ ,
2
πy R
2
ou
ds
r̂, ao derivarmos a expressão (1), encontramos para o
De fato, com a espira se deslocando com velocidade ~v =
dt
módulo da fem induzida
µ0 I
~
(πy + R) ẑ .
B(O)
=−
2πRy
dΦB
~
|
dt
d
s + L ln
= DH dt
s
DHs d s + L =
s + L dt
s
DHs L
v.
=
s + L s2
~
Basta, agora, nessa expressão, fazermos B(O)
= 0 e y = ycr e resolvermos para ycr . Logo,
ycr = −
|Eind | = | −
R
.
π
2. Resolução:
(a) Para determinarmos o fluxo do campo magnético através do interior da espira, recorremos, devido à simetria
cilı́ndrica, a um elemento de superfı́cie infinitesimal conforme mostrado na figura abaixo. A sua área, obviamente,
é
dA = Hdr .
Então,
|Eind| =
DHLv
.
s(s + L)
Como a corrente induzida, para tal circuito ôhmico, com auto-indutância e capacitância desprezı́veis, relaciona-se
com a fem induzida simplesmente por |Eind | = RIind , temos, finalmente, que a corrente induzida terá intensidade
de módulo igual a
DHLv
.
Iind =
s(s + L)R
Logo, o fluxo através da espira expressa-se como
ΦB
~ :=
Z
=
Z
~ · n̂ dA
B
espira
s+L
r=s
D
ϕ̂· ϕ̂Hdr .
r
O resultado final é, pois,
ΦB
~ = DH ln
s+L
s
.
(1)
(b) Nesse caso, como o fluxo é estacionário, não surge força eletromotriz induzida e, portanto, tampouco corrente
induzida:
Iind = 0 .
(c) Com a espira se deslocando para a direita, é óbvio que o módulo do fluxo diminuirá. Logo, surgirá uma força
eletromotriz induzida, ao longo do circuito, no sentido horário.
3
4