ESTATÍSTICA
PROF. JÚLIO LOCIKS
Medidas de Dispersão
As medidas de dispersão são utilizadas para avaliar o grau de variabilidade (dispersão, heterogeneidade)
dos valores de uma variável em relação a um valor fixo escolhido como referência na série.
Muitas medidas de dispersão usam como referência a média aritmética da série, auxiliando, assim, a
estimar a representatividade da média aritmética.
O que devemos entender é que numa série onde os valores concentram-se fortemente em torno da média
aritmética dará à mesma um significado muito maior como valor resumitivo da série do que poderia ocorrer
caso a série apresentasse valores mais dispersos em relação à média.
Exemplo:
As séries (10, 20, 20, 20, 20, 30) e (10, 15, 20, 20, 25, 30) têm, ambas, média aritmética igual a
20. Entretanto a primeira é muito mais homogênea que a segunda. Dizemos, assim, que a primeira
apresenta dispersão menor que a segunda.
As medidas de dispersão podem ser absolutas (quando seu resultado se expressa em alguma unidade de
medida) ou relativas (quando seu resultado é adimensional, isto é, vem expresso por um número sem unidade
de medida).
Amplitude Total (At)
A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valores do rol.
At = xmáx – xmín
Embora de cálculo extremamente simples, a amplitude total é pouco sensível como medida de dispersão
pois baseia-se apenas nos valores extremos do rol, não levando em conta a variação dos valores internos do
mesmo.
Desvio Médio (Dm)
O desvio médio é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios calculados em relação à média
aritmética da série.
Dm =
∑x
i
−x
n
Pode-se interpretar o desvio médio como a média aritmética das distâncias de cada valor de x à média
aritmética da série.
Desvio Quartil (Dq)
O desvio quartil ou amplitude semi-interquartílica é a metade da diferença entre os valores do
3o quartil, Q3 , e do 1o quartil, Q1.
1
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Dq =
Q3 − Q1
2
Variância (S2)
A variância é definida como sendo a média aritmética dos quadrados dos desvios calculados em relação
à média aritmética dos valores da série.
S
2
∑(x
=
i
− x)2
n
Fórmula Breve para o Cálculo da Variância
Pode-se demonstrar que a definição dada acima é equivalente à seguinte:
()
S 2 = x2 − x
2
Em palavras: A variância é igual à diferença entre a média aritmética dos quadrados dos valores da
série e o quadrado da média aritmética da mesma.
O uso da fórmula acima permite chegarmos ao mesmo resultado da primeira fórmula apresentada, sem
necessidade de calcularmos os desvios.
Cálculo da Variância numa Amostra
A qualidade da estimativa do valor da variância a partir dos dados de uma amostra sofre influência do
número de elementos disponíveis na amostra, tendendo a apresentar resultados menos precisos para amostras
com pequeno número de elementos.
Para obtermos uma melhor estimativa do valor da variância, devemos empregar um fator de correção:
fator de correção de Bessel =
n
n −1
Deste modo, ao multiplicarmos o valor resultante de S 2 pelo fator de correção de Bessel, obteremos
2
uma estimativa melhor para a variância, usualmente indicada pela expressão S n −1 :
S n2−1 = S 2 ⋅
n
n −1
Na prática, quando n é grande (n > 30) não há diferença significativa entre os valores obtidos por S2 e
2
por S n −1 , possibilitando, assim, que desprezemos o uso do fator de correção. Entretanto deve-se dar
2
preferência ao cálculo de S n −1 sempre que estivermos trabalhando com uma amostra, pois desta forma
teremos uma estimativa melhor para a variância.
Propriedades da Variância
1 a Se adicionarmos (ou subtrairmos) uma mesma constante a todos os valores de uma série, a variância
permanecerá inalterada.
2
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2 a Se multiplicarmos (ou dividirmos) todos os valores de uma série por uma mesma constante, a
variância ficará multiplicada (ou dividida) pelo quadrado do valor daquela constante.
Desvio Padrão (S)
Vimos que a unidade de medida de uma variância é igual ao quadrado da unidade de medida da variável
estudada. A fim de eliminarmos este inconveniente, criamos uma nova medida de dispersão, o desvio padrão,
que é definido como sendo a raiz quadrada da variância, e representado por Sn–1 ou por S, conforme seu
cálculo use o fator de correção ou não, respectivamente.
S = S2
e
S n −1 = S n2−1
O desvio padrão indica, em termos absolutos o afastamento dos valores observados e relação à média
aritmética da série estudada.
Propriedades do Desvio Padrão
1 a Se adicionarmos (ou subtrairmos) uma mesma constante a todos os valores de uma série, o desvio
padrão permanecerá inalterado.
2 a Se multiplicarmos (ou dividirmos) por uma mesma constante todos os elementos de uma série, o
desvio padrão ficará multiplicado (ou dividido) pelo valor absoluto daquela constante.
Coeficiente de Variação de Pearson
O coeficiente de variação de Pearson é o quociente entre o desvio padrão e o valor absoluto da média
aritmética do conjunto de valores estudados.
CVP =
S
x
Por tratar-se de uma medida de dispersão relativa, é adimensional , isto é, não apresenta unidade de
medida. Seu resultado pode ser representado na forma porcentual, bastando para tanto multiplicar o seu
resultado por 100.
CVP% = CVP × 100
O coeficiente de variação de Pearson é útil quando necessitamos de comparar dispersões em algumas
situações.
Outras Medidas de Dispersão Relativa
Coeficiente de Variação de Thorndike
O coeficiente de variação de Thorndike é o quociente entre o desvio padrão e o valor absoluto da
mediana.
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CVT =
S
Md
Coeficiente Quartílico de Variação
O coeficiente quartílico de variação é o quociente entre a diferença positiva e o valor absoluto da soma
dos quartis extremos (Q1 e Q3).
CVQ =
Q3 − Q1
Q3 + Q1
Desvio quartil reduzido
O desvio quartil reduzido é o quociente entre o desvio quartil e o valor absoluto da mediana.
Dqr =
Dq Q3 − Q1
=
Md
2 ⋅ Md
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