MATEMÁTICA | 3ª Série
Duds
1. (Ufsc 2015) Em relação à(s) proposição(ões)
abaixo, é CORRETO afirmar que:
01) Se o gráfico abaixo representa a função
polinomial f, definida em ° por
f(x) = ax3 + bx 2 + cx + d, com a, b e c coeficientes
reais, então f(2) = 24.
polinômio g(x) = x + a. Então, o resto da divisão de
f(x), por g(x) é:
b)
c)
d)
e)
02) Se f(x) = (x + 2)3 + (x − 1)3 + 5ax + 2b, com a e b
reais, é divisível por (x + 1)2 , então a − b = 1.
04) As raízes da equação x3 − 9x 2 + 23x − 15 = 0 estão
em progressão aritmética de razão 1.
08) Se f(x) = x 2 + (p − q)x e g(x) + x3 + (p + q)x 2 − qx são
divisíveis por (3 − x), com p e q reais, então
q − p = −3.
16) Os valores reais de p para que a equação
3
x − 3x + p = 0 admita uma raiz dupla são −2 e 2.
2. (Udesc 2015) Um polinômio p(x) dividido por x + 1
deixa resto 16; por x − 1 deixa resto 12, e por x deixa
resto −1. Sabendo que o resto da divisão de p(x) por
2
(x + 1)(x − 1)x é da forma ax + bx + c, então o valor
numérico da soma das raízes do polinômio
ax 2 + bx + c é:
3
a)
5
b) 2
2
c)
15
d) 4
e) −2
35
27
1
−
2
2
−
3
−2
−81
a) −
4. (Udesc 2012) Sejam q(x) e r(x), respectivamente, o
quociente e o resto da divisão de f(x) = 6x4 – x3 – 9x2 –
3x + 7 por g(x) = 2x2 + x + 1. O produto entre todas as
raízes de q(x) e r(x) é igual a:
7
a) −
3
b) 3
3
c)
5
d) 5
5
e)
3
5. (Fuvest 2009) O polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx, em
que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando
dividido por x - 2 e x - 1, respectivamente. Assim, o
valor de a é:
a) - 6
b) - 7
c) - 8
d) - 9
e) - 10
6. (Mackenzie 2003) Observando a divisão dada, de
polinômios, podemos afirmar que o resto da divisão
de P(x) por x + 1 é:
3. (Udesc 2013) Considere o polinômio
f(x) = 8x3 − 6x 2 − 3x + 1. Sabe-se que as raízes de f(x)
são os primeiros termos de uma progressão
geométrica infinita, cujo primeiro termo é a maior raiz
de f(x), e a soma desta progressão é raiz do
a) - 1
b) - 2
c) 2
d) 3
e) - 3
7. (Mackenzie 2001) Dividindo-se P(x) = x2 + bx + c por
x - 1 e por x + 2, obtém-se o mesmo resto 3. Então, a
soma das raízes de P(x) -3 é:
a) -3
b) -2
c) -1
d) 1
e) 3
8. (Ufsc 2001) Se o polinômio 2x3 - ax2 + bx + 2 é
divisível por 2x2 + 5x - 2, então o valor de a - b é
Gabarito:
Desse modo, temos
Resposta da questão 1:
02 + 16 = 18.
p( −1) = a − b + c ⇔ a − b + c = 16,
[01] Incorreta. Do gráfico, sabemos que as raízes de
f são −2, − 1 e 1. Além disso, tem-se f(0) = −2.
p(1) = a + b + c = 12
Desse modo, encontramos
e
f(x) = a(x + 2)(x + 1)(x − 1)
p(0) = c ⇔ c = −1.
f(0) = −2
⇔ a = 1.
Resolvendo o sistema formado pelas equações
a − b = 17 e a + b = 13, concluímos que a = 15, b = −2.
Portanto, segue que
Portanto, vem ax 2 + bx + c = 15x 2 − 2x − 1 e, assim, o
−2
2
resultado pedido é −
=
.
15 15
f(2) = (2 + 2)(2 + 1)(2 − 1) = 12.
[02] Correta. Sabendo que
f(x) = 2x3 + 3x 2 + (15 + 5a)x + 7 + 2b é divisível por
(x + 1)2 , então, pelo dispositivo prático de BriotRuffini, vem
−1 2
3
15 + 5a
7 + 2b
−1 2
1
14 + 5a −7 − 5a + 2b
2 −1 15 + 5a
Donde obtemos a = −3 e b = −4. Em
consequência, segue que a − b = 1.
[04] Incorreta. Por inspeção, concluímos facilmente
que x = 1 é raiz da equação. Ademais, x = 0 não
é raiz e, portanto, se as raízes constituíssem uma
progressão aritmética de razão 1, então elas
seriam 1, 2 e 3. Contudo, segue que x = 2 não
é raiz.
[08] Incorreta. Se f e g são divisíveis por (3 − x),
então f(3) = g(3) = 0. Porém, tem-se
32 + (p − q) ⋅ 3 = 0 ⇔ q − p = 3.
[16] Correta. Toda raiz dupla de x3 − 3x + p = 0
2
também é raiz da equação 3x − 3 = 0. Portanto,
como as raízes dessa equação são −1 e 1, segue-se
que p = −2 ou p = 2.
Resposta da questão 2:
[C]
Tem-se, pelo Teorema do Resto, que p( −1) = 16,
p(1) = 12 e p(0) = −1. Além disso, sabemos que
p(x) = (x + 1)(x − 1)x ⋅ q(x) + ax 2 + bx + c,
com q(x) sendo o quociente da divisão de p(x) por
(x + 1)(x − 1)x.
Resposta da questão 3:
[A]
Por inspeção, segue que x = 1 é raiz de f. Logo,
aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, obtemos
1 8 −6 −3 1
8 2 −1 0
Donde f(x) = (x − 1) ⋅ (8x 2 + 2 x − 1). Agora, é fácil ver
1
1
e . Sendo x = 1 a
2
4
maior raiz de f, encontramos a progressão
que as outras raízes de f são −
1 1
⎛
geométrica ⎜ 1, − , , K
2
4
⎝
⎞
⎟ , cujo limite da soma de
⎠
1
2
2
= . Mas x =
seus termos é dado por
éa
3
⎛ 1⎞ 3
1− ⎜ − ⎟
⎝ 2⎠
raiz de g. Portanto, pelo Teorema do Resto, vem
⎛2⎞
R = f⎜ ⎟
⎝3⎠
3
2
⎛2⎞
⎛2⎞
⎛2⎞
= 8⋅⎜ ⎟ − 6⋅⎜ ⎟ − 3⋅⎜ ⎟ +1
⎝3⎠
⎝3⎠
⎝3⎠
64 8
=
− − 2 +1
27 3
35
=− ,
27
que é o resultado procurado.
Resposta da questão 4:
[D]
Dividindo f por g, obtemos
6x 4 − x3 − 9x 2 − 3x + 7
−6x 4 − 3x3 − 3x 2
2x 2 + x + 1
3x 2 − 2x − 5
−4x3 − 12x 2 − 3x + 7
4x3 + 2x 2 + 2x
−10x 2 − x + 7
10x 2 + 5x + 5
4x + 12
5⎞
⎛
Portanto, como q(x) = 3x 2 − 2x − 5 = 3 ⋅ (x + 1) ⋅ ⎜ x − ⎟ e
3⎠
⎝
r(x) = 4x + 12 = 4 ⋅ (x + 3), segue que o produto pedido
é ( −1) ⋅
5
⋅ ( −3) = 5.
3
Resposta da questão 5:
[A]
Resposta da questão 6:
[E]
Resposta da questão 7:
[C]
Resposta da questão 8:
04