Prova Resolvida de Matemática – UFSM/2011 – PS3
31) Resposta (B)
Luminárias defeituosos antigas → 6% dos 60% = 0,06 . 0,6 = 0,036 = 3,6%
Luminárias defeituosos novas → 2% dos 40% = 0,02 . 0,4 = 0,008 = 0,8%
Porcentagem total de defeito = 3,6% + 0,8% = 4,4%
42) Resposta (C)
Representando a circunferência iluminada pela luminária e a reta tangente a ela no
plano cartesiano temos:
O raio da circunferência é encontrado pela distancia do ponto C(-5;10) à reta
tangente.Assim devemos achar a equação da reta que passa pelos pontos P(30, 5) e
Q(-30, -15). Assim:
Agora podemos calcular o raio utilizando a fórmula da distância entre ponto e reta
abaixo:
onde d é a distância do ponto C(xc, yc) até a reta Ax + By + C = 0 que é o raio da
circunferência dada.
Logo,

Foi pedido o comprimento da linha central do passeio correspondente ao eixo y que é
a corda AB do desenho acima. Precisamos inicialmente determinar a equação da
circunferência, com centro (-5, 10) e raio
A equação reduzida da
circunferência dada por (x - a)2 + (y - b)2 = R2, onde a e b são as coordenadas do
centro.
Como os pontos A e B estão no eixo y para ambos temos x = 0. Para encontrar os
dois pontos A e B, basta substituir x = 0 na equação da circunferência, assim:
(0 + 5)2 + (y - 10)2 = 250
→ 25 + y2 - 20y + 100 - 250 = 0 → y2 - 20y - 125 = 0
Resolvendo a equação, achamos y1 = -5 e y2 = 25, logo A (0;-5) e B (0,25) e AB = 25
– (-5) = 30
Obs.: A banca utilizou a unidade de medida metro nas respostas, porém, em nenhum
momento foi citado no enunciado da questão a unidade.
43) Resposta (A)
A luminária L1 pertence à bissetriz do 1º quadrante, formando ângulo de 45° com
argumento (θ1 = 45° = π/4 ).
Pelo texto da questão, os módulos dos complexos L1, L2 e L3 iguais entre si valem 20
metros (ρ = 20).
Na figura, vemos que o triângulo L1L2L3 é eqüilátero, pois a distância entre cada par de
luminárias é a mesma. Logo, o ângulo central do triângulo é 120° (360°/3).
49) Resposta (D)
Devemos substituir na expressão original R1 por R1 + x, R2 por R2 + x e R3 por R3 + x
Agora igualando R com R(x):
1x³ + (R1 + R2 + R3)x² + (R1R2 + R1R3 +R2R3)x + (R1R2R3) = a3x³ + a2x² + a1x +a0
e 3x² + (2R1 + 2R2 + 2R3)x + (R1R2 + R1R3 +R2R3)= b2x² + b1x + b0
Logo temos que
a3 = 1 e b2 = 3 o que torna a 1ª afirmativa falsa , pois a3 ≠ b2.
Ainda temos que
a1 = R1R2 + R1R3 + R2R3
b0 = R1R2 + R1R3 + R2R3
Entao, a1 = b0 e a 2ª afirmativa correta.
Para finalizar
R1 + R2 + R3 = a2
2R1 + 2R2 + 2R3 = b1 → b1 = 2(R1 + R2 + R3)
Substituindo uma equação em outra, temos:
b1 = 2a2 → a2 = b1/2. Assim a 3ª afirmação está correta.