Lista 5 – Estatística 2
Intervalos de confian•a para uma e duas m‚dias
1.
2ƒ sem/2013
Uma empresa de acolchoados para ber•„rios fez um levantamento com 20 bebes com o intuito de obter
informa•…es a respeito das suas estaturas. Sabendo que a estatura tem vari†ncia 22.05cm2:
a) Encontre um I.C. 95% para a m‚dia.
b) De quanto deve diminuir a vari†ncia para que o tamanho do intervalo em (a) caia para ¾ do tamanho?
c) Refa•a o item (a) considerando vari†ncia desconhecida.
Estaturas
(cm)
41
50
50
52
52
50
49
47
49
49
54
51
50
46
47
50
52
49
49
50
2.
A precipita•‡o pluviom‚trica anual numa certa regi‡o tem desvio padr‡o 3.05 e m‚dia desconhecida. Para
os ˆltimos 9 anos, foram obtidos os seguintes dados.
30.5 33.0 27.9 34.0 26.9 30.2 28.4 30.6 25.8
a) Construa um I.C. 90% para a precipita•‡o pluviom‚trica m‚dia da regi‡o.
3.
Considerando-se amostras de tamanho n de popula•…es normais com vari†ncia constante, determine:
a) O n‰vel de confian•a do I.C. se n = 16,  = 8 e o tamanho do intervalo ‚ 3.29.
b) O tamanho de amostra para o I.C. (17.2; 22.8), se o n‰vel de confian•a ‚ 95% e  = 10.
c) O desvio padr‡o para o I.C. (47.3; 57.6), se o n‰vel de confian•a ‚ 99% e o tamanho da amostra ‚ 36.
4.
Num estudo sobre o teor de vitaminas num tipo de planta utilizada na indˆstria aliment‰cia foram
examinadas 16 plantas encontrando-se o seguinte conteˆdo de „cido ascŠrbico (vitamina C):
9.35 8.68 8.65 11.68 10.29 12.77 10.99 8.81 10.76 9.52 10.55 12.61 10.43 9.87 12.04 9.82
a) Construa um I.C. 95% para a quantidade m‚dia de „cido ascŠrbico para essa planta.
b) Da cultura popular, tal planta ‚ rica em vitamina C, por‚m, o crit‚rio industrial para classifica•‡o de
uma planta como sendo “rica” em vitamina C ‚ que ela deve conter 12mg de vitamina C por amostra.
Qual sua conclus‡o?
5.
Numa indˆstria de autope•as, sabe-se que o n‰vel de dureza de um produto feito a base de cer†mica tem
variabilidade 2 = 0.64. Uma amostra de 16 pe•as foi retirada para teste e o resultado ‚ dado abaixo.
17.5 18.4 18.2 17.9 17.5 18.1 17.5 17.4 17.9 19.4 17.1 18.5 17.4 18.0 19.2 18.6
a) Construir I.C. 95% manualmente e pelos programas MINITAB, STATISTICA, R e SAS. Comparar
os resultados.
b) O processo deve ser ajustado se forem observadas mais do que 5% dos valores fora do intervalo 95%.
Verifique se o processo necessita de ajuste.
c) O gerente de produ•‡o deseja que o tamanho do I.C. seja reduzido pela metade. De quando ser„ o
novo n‰vel de confian•a mantendo-se inalterados a vari†ncia e o tamanho da amostra?
d) Vendo que a op•‡o acima n‡o ‚ muito boa, o gerente decidiu melhorar a precis‡o de seu intervalo
aumentando o tamanho da amostra. De quanto deve ser o novo tamanho de amostra para que o
tamanho do I.C. caia pela metade?
e) O t‚cnico da empresa informa ao gerente que a produ•‡o pode ser melhorada diminuindo-se a
variabilidade do processo. De quando deve ser diminu‰da a variabilidade para que o tamanho do
intervalo seja reduzido pela metade?
6.
Numa pesquisa sobre a ocorr•ncia de um parasita nom cultivos de uma hortali•a, verificou-se que, dentre
180 plantas, 27 estavam com o parasita.
a) Construa intervalos de confian•a 95% usando a vari†ncia estimada e pelo m‚todo conservativo.
Compare os resultados.
b) Mantendo-se fixo o valor de p̂ de quanto deve ser aumentada a amostra para que o comprimento do
intervalo seja reduzido para 3/4 do tamanho?
7.
Um estudante, nas horas de folga, trabalhou em uma transportadora. Durante 30 dias ele registrou as
sa‰das, anotando os quilŽmetros percorridos com o transporte de mercadorias.
8.09 9.11 17.81 12.35 3.67 14.80 8.80 11.86 7.77 8.45 12.43 10.78 13.49 11.60 13.52
7.47 4.51 14.31 7.54 3.25 10.63 6.40 10.33 8.16 7.20 6.17 12.01 16.20 11.45 8.77
a) Construa um I.C. 90% para a quilometragem m‚dia percorrida pelo rapaz.
b) No final do m•s o estudante ficou satisfeito com o que recebeu, sŠ se lamentando n‡o ter mais tempo
dispon‰vel e conseguir maior quilometragem por dia. Suponha que ele tivesse percorrido o dobro da
dist†ncia em cada dia. Neste caso, de que forma o intervalo de confian•a ‚ afetado?
8.
Num estudo sobre a renda de uma popula•‡o foram entrevistadas 150 pessoas, das quais 27 afirmaram ter
uma renda superior a 8 mil reais.
a) D• uma estimativa da propor•‡o trabalhadores desta popula•‡o com renda superior a 8 mil reais.
b) Construa intervalos de confian•a 95% para a estimativa da propor•‡o usando o m‚todo tradicional e o
conservativo. Compare os resultados.
c) Considere o comprimento do I.C. calculado pelo m‚todo conservativo no item (b). Se a estimativa da
propor•‡o n‡o muda, de quanto ‚ o n‰vel de confian•a de um intervalo calculado pelo m‚todo
tradicional, mas que tenha esse mesmo comprimento?
9.
Numa pesquisa de mercado, 114 dentre 300 entrevistados afirmaram que comprariam um certo produto.
O fabricante deste produto estabeleceu que somente manteria a venda do produto se o limite inferior de
um intervalo de confian•a de 95% para a propor•‡o de compradores interessados no produto, fosse maior
que 30%.
a) A partir do resultado da pesquisa, qual a decis‡o do fabricante do produto.
b) Voc• acha vi„vel considerar o m‚todo conservativo, com p = 0.5? Justifique.
10. Na produ•‡o de ovos de galinha, sabe-se que o n‰vel de colesterol contido na gema pode ser controlado
com a adi•‡o de certas drogas na alimenta•‡o das aves. O biŠlogo, contratado pela granja, deseja
comparar o efeito de duas drogas diferentes sobre o colesterol das gemas. Com os resultados abaixo
a) Construa I.C.’s 95% para a diferen•a entre as m‚dias dos n‰veis de colesterol com a adi•‡o das drogas
A e B na dieta das aves considerando vari†ncias iguais e vari†ncias diferentes.
The SAS System
16:00 Friday, November 30, 2012
1
-------------------------------------------------------------------Variable
N
Mean
Std Dev
Minimum
Maximum
-------------------------------------------------------------------Droga A
16
194.19
4.96
185.00
208.00
Droga B
20
205.45
5.62
196.00
220.00
--------------------------------------------------------------------
11. Uma empresa de transportadora tem na sua frota caminh…es com motores a Šleo diesel e a gasolina. Os
donos da empresa desejam trocar toda a sua frota para caminh…es com motores a gasolina, no entanto,
para realizar toda a troca existe um fator de grande influ•ncia na decis‡o que ‚ o gasto com combust‰vel.
O supervisor de frota foi encarregado de anotar os gastos com combust‰vel com os dois tipos de motores.
Os dados da an„lise s‡o apresentados nas tabelas abaixo. (as an„lises foram feitas no SAS).
a) Construa um I.C. para a diferen•a entre as m‚dias de consumo por combust‰vel?
b) Como estat‰stico da empresa, que orienta•‡o voc• daria aos donos?
The MEANS Procedure
Analise Variável: combustivel
===================================================
MOTOR
N
Média
Mediana
Variância
===================================================
DIESEL
23
10.106
9.770
4.362
GASOLINA 34
11.312
10.715
9.025
===================================================
12. A seguir são apresentados os resultados de um experimento conduzido para se estudar o efeito do ozônio
em duas variedades de azaléias. Foi medida a área danificada das folhas(mm2) para cada variedade após
três dias exposição, a uma concentração do gás constante. A análise foi realizada no SAS.
a) Você acha razoável considerar as variâncias iguais? Justifique.
b) Construa um I.C. de confiança para a diferença entre as médias das áreas danificadas.
c) O que se pode concluir a respeito?
MEANS PROCEDURE
Variable: area_dnf
-----------------------------------------------Tipo
N
Mean
Std Dev
Std Error
-----------------------------------------------Tipo 1
10
0.719
0.719
0.22737
Tipo 2
14
0.293
0.500
0.13363
------------------------------------------------
13. Para investigar a influência da opção profissional sobre o salário inicial de recém-formados,
investigaram-se dois grupos de profissionais. Com os resultados abaixo, expressos em salários mínimos:
a) De uma estimativa para a diferença entre os salários das duas atividades.
b) Considerando que, apesar dessa diferença as variâncias sejam iguais, construir um I.C. 98% para a
diferença entre os salários médios?
c) Refaça o item (b) considerando variâncias diferentes?
d) Qual das duas situações você acha mais realista? Justifique.
Prof. Liberais
9.6
10.3 10.8 10.9 9.2
11.3 10.0
Administradores
8.1
9.8
8.7
10.0 10.2 8.2
8.7
10.1
14. Um novo tipo de fertilizante orgânico está sendo testado por uma cooperativa para sua utilização na
plantação de milho. Vinte produtores foram escolhidos aleatoriamente sendo que dez deles receberam o
novo fertilizante e dez receberam o fertilizante mais comumente utilizado (controle). As produções, em
ton/ha, são dadas abaixo.
Controle
2.63
2.22
2.96
2.59
2.44
2.74
2.59
2.59
2.56
2.52
Tratamento 4.26
4.22
4.48
4.22
4.26
4.22
4.22
4.22
4.18
4.14
a) Por razões de custo, os associados da cooperativa decidiram utilizar o novo fertilizante se o aumento
na produção for de pelo menos 1.5 ton/há na produção média. Construa um I.C. 95% e indique qual
decisão eles devem tomar.
15. Uma cidade do interior do estado de São Paulo está interessada em estimar a proporção de moradores
contaminados pela dengue.
a) determine o tamanho da amostra para que o erro cometido na estimação seja no máximo 0.02 com
probabilidade 0.99;
b) se tivermos uma informação adicional de que a proporção de contaminados com dengue é no
máximo 20%, qual deverá ser o tamanho da amostra?
c) por problemas operacionais, o tamanho da amostra foi limitado a 200 moradores. Nesta amostra foi
observado 15% de moradores contaminados. Construa um intervalo com 95% de confiança para p.
16. O consumo de combustível é uma variável aleatória com parâmetros dependendo do tipo do veículo.
Suponha que para certo automóvel, o desvio-padrão do consumo seja conhecido e igual a 2 Km/l, mas
não temos informações sobre o consumo médio. Para tal, coletamos uma amostra de 40 automóveis desse
modelo e observamos os consumos.
a) qual é o estimador do consumo médio para os automóveis desse tipo?
b) se a amostra forneceu um consumo médio de 9.3 Km/l, construa um intervalo com 94% de confiança
para o consumo médio desses carros;
c) se a amplitude de um intervalo de confiança, construído a partir dessa amostra é de 1.5, qual é o
nível de confiança?
17. Em uma pesquisa de mercado coletou-se uma amostra aleatória para conhecer a velocidade média
entregue aos assinantes pelos provedores de internet em certa região. Na amostra, com 100 moradores
desta região, verificou-se que a velocidade média entregue aos assinantes pelos provedores fica em torno
de 10% do que é contratado. Construa um intervalo com 95% de confiança para a proporção populacional
de entrega da velocidade média por estes provedores. Considerando que o erro cometido na estimação
seja no máximo 0.05, determine o tamanho da amostra com confiança 0.99.
18. Em uma amostra aleatória coletada com 5 fornos microondas (da mesma marca), observou-se que o custo
médio do reparo no sensor de comando é de R$ 25,00, com desvio de R$ 2,50. Supondo que a variável
seja normalmente distribuída, construa um intervalo com 95% de confiança para a média populacional do
custo deste tipo de reparo em microondas desta marca.
a) determine o tamanho da amostra para que o erro cometido na estimação seja no máximo de 5% com
confiança 0.99;
b) em uma amostra aleatória com 30 fornos, foi observado um custo médio de R$ 22,00, mantendo-se o
desvio-padrão. Construa intervalos com 90%, 95% e 99% de confiança para média populacional do
custo deste tipo de reparo em microondas desta marca. Comente as diferenças encontradas nestes
intervalos.
19. Uma amostra extraída de uma população com distribuição normal forneceu os resultados:
3.0; 3.2; 3.4; 2.8; 3.1; 2.9; 3.0; 3.2; 2.9; 3.1.
a) Construa intervalos com 90%, 95% e 99% de confiança para a média populacional. Comente os
resultados.
b) Construa intervalos com 90%, 95% e 99% de confiança para a variância populacional. Comente os
resultados.
20. Considere a seguinte distribuição de freqüência, representando os dados de uma amostra de 50
elementos:
10 |-- 20
3
20 |-- 30
9
30 |-- 40 15
40 |-- 50 10
50 |-- 60
6
60 |-- 70
3
a) calcule a média e o desvio-padrão da amostra;
b) construa um intervalo com 90% de confiança para a média;
c) quais as suposições necessárias para a construção deste intervalo? Interprete o resultado.