Z
[0 1 0]
[1 0 1]
Y
X
[ 2 33]
[001]
z
-2/311
[ 1 00]
c
y
b
1½0
a
[1 2 0]
[100]
x
For cubic: a = b = c = ao
Miller Indices
c
l
b
k
a
h
Miller Indices
Z
Z
Y
X
Y
X
(100)
Z
Y
X
(110)
(111)
FAMÍLIA DE PLANOS {110}
É paralelo à um eixo
FAMÍLIA DE PLANOS {111}
Intercepta os 3 eixos
Directions & Miller Indices in
Hexagonal Structures
c
c
[011]
(0001)
1 1 00
a3
a3
a2
a2
a1
a1
10 1 1
U  u t
V  vt
W w
h  k  i
[210]
[UVW] or [uvtw]
1 2 1 0
(hkil) or (hk·l)
Diamond Lattice
(100)
(110)
Diamond Lattice
(111)
Spacing of Planes
Cubic:
Tetragonal:
dhkl 
dhkl 
a
Cubic:
h  k2  l2
2
a
 a2 
h2  k 2  l 2  2 
c 
Tetragonal:
Hexagonal:
Rhombohedral:


1 h2  k 2  l 2

d2
a2
1 h2  k 2 l 2

 2
d2
a2
c
1 4  h2  hk  k 2  l 2

  c2
d 2 3 
a2

h 2  k 2  l 2 sin 2   2 hk  kl  hl  cos2   cos 
1

d2
a 2 1  3cos2   2 cos 3 



Spacing of Planes
Orthorhombic:
Monoclinic:
Triclinic:
1 h2 k 2 l 2



d 2 a2 b2 c2
1
1  h2 k 2 sin2  l 2 2hl cos  


 2
d 2 sin2   a2
b2
c
ac 

1
1
 2 S11h 2  S22 k 2  S33l 2  2S12 hk  2S23 kl  2S13hl
2
d
V

V  volume of the unit cell  abc 1  cos 2   cos 2   cos 2   2 cos  cos  cos 
S11  b2 c2 sin2 
S12  abc2 cos cos   cos  
S22  a 2c 2 sin 2 
S23  a2bc cos  cos   cos 
S33  a2b2 sin2 
S13  ab2c cos  cos  cos  
Reciprocal Lattice
Unit cell: b1, b2, b3
Reciprocal lattice unit cell: b1*, b2*, b3* defined by:
b1* 
b*2 
b3*
P
O
b*3 
b3
B
2 b 2  b 3 
2
b 2  b 3  
V
b1  b 2  b 3
2 b 3  b1 
2
b 3  b1  
V
b1  b 2  b 3
2 b1  b 2 
2
b1  b 2  
V
b1  b 2  b 3
C
b2
b1
A
b1  b 2
V
2  area of parallelogram OACB

area of parallelogram OACBheight of cell
b3*  2 

2
2

OP d001
Reciprocal Lattice
Like the real-space lattice, the reciprocal space lattice also has a translation vector, Kl:
K  hb1*  kb*2  lb*3
Where the length of R·K is equal to:
R  K  2 n1h  n2 k  n3l   2 N
K
Lattice
Plane
R
R'
d
R''
The magnitude of the translation vector has the following relationship:
d
2
K
Angles and Inner Planar Spacing
is  to (hkl) plane. Therefore, the angle between (h1k1l1)
and (h2k2l2) planes is the angle between the Kh1k1l1 and
Kh2k2l2 vectors.
K  hb1*  kb*2  lb*3
Recall the dot product: a  b  ab cos 


Khkl  Khkl  hb1*  kb*2  lb*3  hb1*  kb*2  lb*3
cos  
Kh1k1l1  Kh2 k2 l2
K h1 k1l1 K h2 k2 l2

 hhb1*  b1*  hkb1*  b*2  hlb1*  b*3
 khb*2  b1*  kkb 2  b*2  klb*2  b*3
 lhb*3  b1*  lkb*3  b*2  llb*3  b*3
Angles between reciprocal
lattice vectors.
K
2
hkl
2
2 


d
2
hkl
   k b   l b   2hkb b cos 
 h 2 b1*
2
2
* 2
2
2
* 2
3
* *
1 2
*
 2klb2*b3* cos  *  2lhb3*b1* cos  *
Two Dimensional Lattice
Wigner-Seitz
Possible choices of primitive cell for a single 2D Bravais lattice.
First Brillouin Zone
If these lattice points now represent reciprocal lattice points, then the
first Brillouin zone is just the Wigner-Seitz cell of the reciprocal
lattice.
b2*
b1*
DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA
CRISTALINA POR DIFRAÇÃO DE RAIO
X
DIFRAÇÃO DE RAIOS X
LEI DE BRAGG
n= 2 dhkl.sen
 É comprimento de onda
N é um número inteiro de
ondas
dhkl=
a
(h2+k2+l2)1/2
Válido
para
sistema
cúbico
d é a distância interplanar
 O ângulo de incidência
DISTÂNCIA INTERPLANAR
(dhkl)
• É uma função dos índices de Miller e do
parâmetro de rede
dhkl=
a
(h2+k2+l2)1/2
TÉCNICAS DE DIFRAÇÃO
• Técnica do pó:
É bastante comum, o material a ser analisado
encontra-se na forma de pó (partículas finas
orientadas ao acaso) que são expostas à radiação
x monocromática. O grande número de
partículas com orientação diferente assegura que
a lei de Bragg seja satisfeita para alguns planos
cristalográficos
O DIFRATOMÊTRO DE
RAIOS X
•
•
•
•
Amostra
Fonte
Detector
T= fonte de raio X
S= amostra
C= detector
O= eixo no qual a amostra e o
detector giram
DIFRATOGRAMA