O SÍMBOLO QUE CONCRETIZOU O NADA: O NÚMERO ZERO. O QUE OS
ESTUDANTES DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA COMPREENDEM
SOBRE ELE
José Lucas Matias de Eça
Universidade Federal do recôncavo da Bahia (UFRB)
E-mail: [email protected]
RESUMO:
O presente trabalho visa apresentar análises preliminares sobre uma pesquisa que será
realizada com estudantes do ensino superior do curso de Licenciatura em Matemática. O
objetivo desta pesquisa busca compreender o que os futuros docentes de matemática
entendem acerca do número zero. Nesse estudo procuro explanar o percalço que o número
zero desenvolveu ao longo da história até ser reconhecido. Sendo assim, a história da
matemática se torna uma alternativa nesse contexto, a fim de romper com um ensino da
matemática pautado em conceitos prontos e acabados, e suscitar reflexões e compreensões
sobre o desenvolvimento de conhecimentos matemáticos. Para isto, pretendo realizar
entrevistas e questionário para estudantes em fase final do curso, que se enquadra em um
caráter qualitativo.
PALAVRAS-CHAVE: Zero; Origem do número zero; História da Matemática.
1. INTRODUÇÃO
Iniciei a minha trajetória profissional docente por meio de aulas de reforço, ainda
no ensino médio quando estudava no antigo Centro Federal de Educação Tecnológico da
Bahia (CEFET-BA), campus Valença, atual Instituto Federal da Bahia - IFBA, e tal
inserção se deu por conta da minha aptidão na disciplina de matemática.
O interesse pela educação iniciou-se por meio de um projeto comunitário na minha
cidade natal, Taperoá - BA, do qual fui convidado a ministrar aulas de matemática como
instrutor voluntário, cujo objetivo era preparar jovens para o processo seletivo do Exame
Nacional do Ensino Médio (ENEM), fato que levou-me a escolha da profissão docente de
matemática.
No decorrer do curso de licenciatura em Matemática na Universidade Federal do
Recôncavo da Bahia (UFRB), Centro de Formação de Professores (CFP), pude
diagnosticar, como estagiário de 6° ano, que os estudantes careciam de ensinamentos sobre
a origem do número zero e seus significados em contextos diferentes na matemática. O
assunto esporadicamente era debatido no conteúdo de sistema de numerações, e quando
discutido, era de forma superficial. Em conversas sobre a temática com os professores
regentes, pude perceber que os mesmos não demonstravam ter conhecimentos suficientes
sobre a temática, e não encontravam-se dispostos a mudar esse quadro, deixando assim,
uma lacuna no conteúdo. Segundo Molina:
O professor, sem tempo para ler, pesquisar e atualizar-se, com o número grande
de aulas por dia, sem muito parâmetro para analisar os conteúdos de ensino, com
muitas turmas para atender, sem motivação ou entusiasmo para sair da rotina,
com as editoras lhe facilitando as coisas, ao professor restava apenas seguir
mecanicamente as lições inscritas nos livros didáticos. (1988, p.10).
Refletindo com colegas graduandos em matemática sobre o tema, observo que o
número zero também é tratado como irrelevante por eles, sendo que muitos deles não
atribuem ao número zero seus múltiplos significados, segundo Salvador e Nacarato (2003)
o zero contém diferentes significados, a tabela a seguir sintetiza esses significados de
acordo com os autores, as características e o desenvolvimento histórico:
Tabela 1: Síntese dos diferentes significados do zero
Significados do zero
Características
Desenvolvimento histórico
Zero como elemento de Cardinal de um conjunto vazio; Tal significado não se fez
contagem.
nem
sempre
número
considerado
natural;
discreta;
de
impregnado
um presente
na
história
da
natureza matemática até a axiomatização
de de Peano (séc. XIX).
‘quantidade’.
Zero como valor posicional Representa as ordens vazias, zero Utilizado
pelos
babilônios,
como algarismo; impregnado de maias, chineses e hindus.
‘quantidade’.
Zero como dado operatório Elemento neutro da adição; anula o Utilizado pelos babilônios.
produto em uma multiplicação; a0
= 1 (por definição, com a  0); 00
é indeterminado; impregnado de
‘quantidade’.
Zero como origem
De natureza contínua; surge para Sistematizado
por
Dedekind
unificação da reta numérica no (séc. XIX) na definição de
campo dos reais; impregnado de número real.
‘qualidade’.
Fonte: (SALVADOR e NACATO, 2003, p.3)
Percebo a necessidade de explanar a importância que o zero trouxe para a
matemática, consequentemente para a humanidade, e suas limitações e rejeições por
civilizações antigas até o seu “reconhecimento” na Índia para atuais e futuros professores
da área. Diante da minha inquietação sobre a temática, busco esclarecer a seguinte questão
de investigação: Como estudantes de um curso de licenciatura em matemática
compreendem sobre o número zero?
À vista disso, percebo que a formação de licenciatura em matemática não aborda
essa questão com a devida importância, deixando suscitar falhas na formação acadêmica
dos estudantes, pois não conhecer a história do surgimento do número zero, é de certa
forma, desconhecer o impacto que este número trouxe para humanidade e para evolução
da matemática. Recaindo e restringindo-se a informações supérfluas de notas de livros
didáticos que não contempla a história desse surgimento, e quando o faz, fica a desejar. De
acordo com Araújo:
[...] o zero e a trajetória de seu desenvolvimento na história é que podemos
entendê-lo para um maior aproveitamento nos ambientes educativos e,
principalmente, sua presença fragmentada nos livros didáticos, que não o
abordam de forma adequada, pois os pressupostos da Educação Matemática não
são trabalhados na fundamentação do conceito e suas propriedades
epistemológicas percorrem caminhos distantes da realidade educacional. (2010,
p.02)
2. APORTES TEÓRICOS
Na busca por uma literatura em história da matemática que explanasse um
entendimento da origem do número zero por diversas civilizações antigas, baseie-me em
Boyer(1974), Eves(1995), Ifhar(1997), Imenes(2006), buscando uma compreensão sobre
as dificuldades que o número zero enfrentou durante muito tempo para ser aceito como
número. Além da parte histórica, discutir sobre o livro didático de Molina (1998) e de
Araújo(2010).
3. HISTÓRICA CONCISA DO NÚMERO ZERO
As ideias e conceitos matemáticos estão intrínsecos com a evolução humana, o
homem ao longo do tempo desenvolveu ações para lidar com o ambiente, buscando
informações para sua sobrevivência e respostas para suas indagações, e essas mudanças
gradativas do homem no cotidiano, os levou a criação de símbolos cada fez mais
sofisticados, que ao passo de novos conceitos e significados, se tornariam números.
Segundo Ifrah:
A história da matemática não é uma sucessão impecável de conceitos
encandeados uns com os outros. Ao contrário, é a história da necessidade e
preocupação de grupos sociais ao buscar soluções para os problemas diários ou
para suprir suas necessidades filosóficas. (1997, p 17).
Os conhecimentos matemáticos eram desenvolvidos de formas diferentes em cada
civilização, os mesmos aperfeiçoavam esses conceitos matemáticos de acordo com suas
necessidades diárias. De acordo com Guimarães:
O interessante, é que cada cultura diante das suas necessidades práticas e
filosóficas desenvolve os conhecimentos que lhe são úteis. É claro que não se
pode deixar de considerar a interação entre culturas e com isso as influências.
(2008, p. 01).
O homem pré-histórico na era da Idade da Pedra (cerca de 5.000 a.C.) era nômade
e lutava constantemente pela sua sobrevivência através da caça, moldando instrumentos
como: pedra; osso; madeira, carapaça, dentre outros para essa atividade. A descoberta do
fogo serviu para utilização do cozimento dos alimentos adquiridos e para a sobrevivência
de mudanças climáticas à baixa temperatura (EVES, 1995).
Com o domínio do fogo, surgiu à necessidade de produzir cerâmica, devido ao
cozimento dos alimentos, em conseguencia, melhoraram as técnicas de plantio e cultivo de
animais, construção de casas para seu habitat. E essas transformações exigiu conhecimento
de tempo (as fases da lua), com isso os símbolos adquiriram valores cada vez mais
elaborados.
Logo, a história da evolução humana está diretamente relacionada à história dos
números, pois o homem ao longo do tempo teve a precisão de instituir símbolos para
atribuí-los significados, que posteriormente foi entendido como número. Em vista disso, a
matemática foi criada pelo homem para servi-lo de ferramenta para resoluções impostas
em seu cotidiano, essa foi à linguagem simbólica para a expressão do desenvolvimento
intelectual do homem pré-histórico (IFRAH, 1997).
No decorrer do tempo, com os símbolos cada vez mais sofisticados, o homem
começou a ter noção de quantidade, e posteriormente um senso numérico (que é a
percepção de identificar, sem precisar contar, qual coleção limitada e pequena de objetos é
maior que outra). Contudo, se o homem inventou os números, o qual não foi uma
característica inata a ele, precisou-se contar, mas como ele aprendeu a contar?
Há registros arqueológicos que evidenciam que o homem pré-histórico começou a
desenvolver um procedimento para a contagem na transição da era Paleolítica para a era
Neolítica, empregando um mecanismo de equivalência, a qual relacionava biunivocamente
diferentes aparatos para o processo da contagem, fazendo relações com o concreto através
de: dedos da mão e do pé; pedras; ossos; gravetos de galhos, etc (BOYER, 1996). Nesse
sentido Rodrigues:
[...] podemos dizer que a correspondência biunívoca transforma-se em contagem
a partir do momento em que um “conjunto padrão”, cuja ordem dos elementos é
pré-estabelecida, passa a ser sempre utilizado para efetuar a correspondência.
Esse conjunto padrão pode ser um conjunto de símbolos gráficos, de palavras, de
nós em cordas etc. (2013, p. 17).
O passo seguinte foi representar através de riscos em cavernas, posteriormente em
papiros e tabletes de barro o que seriam números em simbologia. Com o surgimento dos
primeiros
algarismos,
o
homem
desenvolveu
os
sistemas
de
numeração,
e
consequentemente a escrita (fenícios).
É verdade que os números figuram entre os conceitos mais complexos e abstratos
que a espécie humana encontrou a seu dispor. Essa invenção é, sem qualquer
dúvida, uma das maiores conquistas da humanidade, para não dizer a maior.
Assim, entre a linguagem, a escrita e aritmética, foi esta última que exigiu tempo
e esforço da humanidade para ser assimilada. (IFRAH, 1998, p. 24).
Formaram-se a partir da contagem os números naturais: 1, 2, 3, 4, 5,... Entretanto o
número zero não surgiu desse mecanismo, pois não havia a necessidade de relacionar com
o nada/vazio (o zero não se encaixa nessa analogia de equivalência), que por sinal, foi esta
o entrave para que o zero fosse aceito por diversas civilizações, o medo do abstrato.
Aceitar o número zero, seria como representar o vazio por meio de algo concreto
(numeral). De acordo com Caraça (1951, p. 06) “A criação de um símbolo para representar
o nada constitui um dos actos mais audazes do pensamento, uma das maiores aventuras da
razão”. Sendo que o mesmo não considera o número zero como natural, pautado de que o
zero não se encaixa no procedimento da contagem.
Grandes civilizações resistiram à adoção do número zero em seus sistemas de
numerações, devido à resistência do pensamento de concretização do não existente, e isso
fez com que o zero, por séculos, não fosse aceito como elemento integrante na matemática
(PADRÃO, 2008, p.18) por muitas civilizações antigas. A seguir, veremos os diferentes
sistemas de numerações desenvolvidas, de forma sintética, pelas civilizações: romana,
egípcia, grega, babilônia, chinesa, maia e hindu. E a diferença entre os sistemas de
numerações até se adotar, quasemente, por todos os países o sistema de numeração hindu
arábico.
3.1 Sistemas de numeração das civilizações
3.1.1 Egito
Segundo Boyer (1996) com a descoberta do papiro de Rhind, escrito por volta de
1650 a.C., e do Papiro de Moscou (aproximadamente dois séculos antes), o campo da
história da matemática estava concentrado no Egito. Portanto, o sistema de numeração
mais antigo que se tem noticia é hieroglífico egípcio, baseado no sistema da base 10, sendo
que podiam escrever esses símbolos em qualquer ordem, pois sua posição não alterava seu
valor, portanto sistema de numeração não posicional.
Os egípcios representavam os múltiplos de dez com símbolos especiais (figuras).
Os algarismos de 1 à 9 por um bastão (I), tendo assim 9 algarismos em sua notação. Para a
representação de números grandes os egípcios tinham dificuldade para desenvolver, pois
precisava-se da utilização de muitos de seus algarismos, sendo assim esse sistema não
seria o mais adequado visto em comparação ao atual (hindu-arábico).
Percebendo assim uma de suas desvantagens, pois além de utilizar muitos
algarismos na composição de um número, é necessário utilizar o principio da adição para
obter o resultado. Além de não possuir uma representação para o número zero.
GUIMARÃES (2008, p. 35) destaca que “o sistema numérico dos egípcios não necessitava
do zero porque os algarismos egípcios tinham valores fixos não importando a posição que
se encontrassem”.
3.2.2 Gregos
De tantos sistemas de numeração que os gregos utilizavam os mais importantes são:
o sistema ático e o herodiânico. Os gregos apesar de estarem muito evoluídos na geometria
e na lógica, não representavam o nada numericamente, por conseguência, os gregos
possuíam apenas só tinham 9 algarismos.
Por volta de 400 e 200 a.C., os gregos utilizavam 27 letras para representar os
números, era o sistema jônico aditivo. Mais precisamente era usado um sistema que
consistia na separação dos números em grupos de nove elementos, que eram simbolizados
por letras: as nove letras iniciais representavam os números de 1 a 9; as nove letras
seguintes representavam as dezenas de 10 a 90 e os nove últimos símbolos representavam
as centenas de 100 a 900.
Nesse sistema de numeração, pela forma de suas representações, permite que
números grandes sejam representados de forma compacta, por exemplo, 62: ξ β ou β ξ, já
que esse sistema não é posicional, permite que a ordem dos algarismos não altere o valor
que ele representa (Gundlach 1994, p. 11). Porém, não há possibilidades de cálculos
aritméticos nesse sistema de numeração, sendo uma desvantagem do seu uso.
3.1..3 Romano
Os romanos foram uma civilização de relevância da antiguidade, do seu apogeu a
sua decadência os romanos tiveram respaldo em seu tempo. Sua fundação foi proveniente
do período 753 a.C. (data atribuída à sua fundação) e 1453 (data atribuída à queda do
Império Romano do Oriente).
O sistema de numeração dos romanos era é o sistema decimal, onde representavam
seu sistema de numeração através de letras de seu alfabeto, utilizados até os dias atuais por
diversas culturas, inclusive no Brasil para leitura numérica de cronologia de tempo
(relógio, data), nomes de Reis Papas e outros tipos de representações oficiais em
documentos.
Para Guimarães “as concepções da civilização grego-romana para o nada são de
significados heterogêneos. Os gregos utilizavam-se da palavra oudén para expressarem o
vazio e os romanos utilizavam as palavras vacuus (vazio), vacare (estar vazio) e vacuitas
(vacuidade) e outras palavras como absens, absentia e mesmo nihil (nada), nullus e
nullitas. Logo, para esses povos o conceito do nada ainda não estava definido e produzia,
dependendo do contexto, diferentes conceitos ou sentidos”. (GUIMARÃES, 2008, p.05).
Os grego-romanos tiveram grande influência da religião cristã, principalmente da
católica. Nessa ótica, para Guimarães esse aspecto teve uma ponderação em aceitar o zero,
pois o que havia antes da formação do mundo? Mas, como Deus é o criador de todas as
coisas, portanto Ele já existia antes da existência do universo, logo Deus é o nada/vazio?
Em conseguencia desse pressuposto a aceitação do número zero como uma concretização
do nada era abstrata e insultante para tais civilizações.
3.1..4 Maia
Bem distante da Índia, nas Américas, de origem remota, por volta dos séculos IV e
III a.C., os maias também deduziram uma representação para a falta de uma notação no
sistema a qual adotavam. A numeração maia foi descoberta nas expedições espanholas a
Yacatán no início do século XVI.
O sistema de numeração dos maias era (vigesimal) composto por pontos e traços
(devido provavelmente pelo fato de esses contarem com os pés e mãos). Os maias
representavam os números até 19 utilizando pontos (unidades de um) e traços (unidades de
cinco). Quanto a números superiores a vinte, segundo Padrão:
“Os números superiores a vinte eram escritos verticalmente e as
ordens eram somadas. Nos números compostos por duas ordens,
o algarismo da primeira ordem ficava no patamar inferior e o da
segunda ordem no patamar superior e era multiplicado por vinte.”
(2008, p.48).
Quanto ao zero os maias tinham duas notações para o mesmo: a primeira era uma
elipse fechada que lembrava um olho, servia para compor os números cardinais (utilizado
para contar durações no calendário), e a segunda notação consistia no número cardinal
(remetido para escrita de datas).
O conceito do vazio era tão significativo entre eles que havia uma divindade
específica para o zero: era o deus Zero, o deus da Morte. Os maias foram os inventores do
número zero no continente americano, e esse feito foi sem conexão com o “velho mundo”,
ou seja, assim como os babilônios e hindus, os maias desenvolveram a percepção de uma
representatividade para preenchimento de lacunas em seu sistema de numeração. Contudo,
é atribuída a criação do número zero aos hindus, pois o zero maia foi utilizado como um
algarismo, não como um número de valor operatório.
Os maias elaboraram uma numeração de posição e inventaram o
zero. Mas, pelo fato de seu sistema não ser estritamente
vigesimal, na questão do registro escrito, acabou por gerar
irregularidades, privando-os de qualquer possibilidade operatória.
(Ifrah, 1997a, p. 643).
3.1..5 Babilônia
A Babilônia está localizada na Mesopotâmia a 80 km ao sul de Bagdá, fundada por
volta de 2 000 a.C. pelo povo amorita, que veio do deserto da Arábia, chegou à
Mesopotâmia e desenvolveu na cidade da babilônia a civilização babilônica. Os babilônios
utilizavam em seu sistema de numeração a base sessenta, e de posição (a qual cada
algarismo corresponde a um valor, a depender de sua posição). O sistema de numeração
babilônio é frequente usado por nós no nosso sistema horário, fazendo uma equivalência
de 60 segundos para 1 minuto, de 60 minutos para 1 hora.
Os babilônios careciam de papiros e pedras para registrar sua escrita, recorrendo ao
barro, sendo este, de muita abundância na região. Suas inscrições eram na forma de cunha
prensadas em tábuas de argila úmidas com estiletes, sendo posteriormente cozidas. Esse
tipo de escrita é chamado de escrita cuneiforme, devido sua forma assemelhada a cunhas.
Esse material é de alta durabilidade, possibilitando assim a documentos estarem
preservados até os dias atuais.
Segundo Boyer As fontes de informações sobre essa região estão em constantes
descobertas, pois arqueólogos trabalham constantemente após o século XIX em busca de
novas tábuas de argila contendo escritas cuneiformes sobre a matemática da época. Hoje
de meio milhão de tábuas que foram desenterradas, em sua maioria encontrada em Nipur,
boa parte é de conteúdo matemático. Dentre essas tabuas uma das mais conhecidas é a de
Plimpton 322 (escrita aproximadamente entre 1.900 e 1.600 a.C.).
Como na mesopotâmia houve uma evolução gradativa em inúmeros aspectos,
como: geológico; agrícola; mercantil; navegação, etc. A necessidade de uma matemática
mais elaborada ficou cada vez mais indispensável, pois o crescimento notório do mercado
viabilizou a essa tendência.
A acumulação de riquezas, e o crescimento da mesma, despertaram o homem a
sofisticar seus métodos de “cálculo”, por exemplo, para a avaliação patrimonial agrícola.
“Assim podemos dizer que a matemática primitiva originou-se como uma ciência prática
para assistir a atividades ligadas a agricultura e engenharia” (Eves, 2004, p.57). Desta
forma, a expansão financeira e patrimonial humano culminou na evolução da matemática
da civilização babilônica, tornando-a uma ferramenta indispensável à vida do homem no
cotidiano. Os babilônios utilizavam dois símbolos no seu sistema de numeração
sexagesimal: o um como um “cravo” vertical e o dez com uma “asna”.
Após o número 60 (sua base), os números passavam a ter seu valor de acordo com
sua posição. Contudo, havia muitas ambiguidades na sua interpretação, necessitou um
símbolo para ocupar um espaço vazio, que veio a ser entendido como um zero parcial, haja
vista que os babilônios só a utilizava nas posições intermediárias entre os algarismos que
compunha um número. Logo, o zero não foi compreendido pelos babilônios como um
número, e sim como um símbolo para preencher um espaço fazia na composição de
algarismos para formar um número.
Sendo que o zero só foi interpretado como número na civilização indiana, pois, eles
procediam com o ábaco, quando a coluna não apresentava nenhum valor, designou-se a
palavras shûnya (nada, nulidade), que posteriormente veio a culminar na criação de uma
representação para um número o nada, o número zero assim foi criado, e não apenas como
um algarismo, mas, a utilizaram nas operações aritméticas (sendo assim, como número). O
que fez com que essa civilização obtivesse o título de criador do número zero.
4. DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA
A pesquisa está na fase inicial, onde os estudantes (possíveis concluintes) serão
convidados a participarem da pesquisa. Esta será realizada no semestre 2014.2, com
prováveis 10 alunos do curso de licenciatura em matemática de diferentes turmas do
campus. Para a coleta de dados utilizarei dos seguintes métodos de pesquisa: observações,
entrevistas semiestruturadas, se caracterizando assim de âmbito qualitativo, onde as
análises dos dados serão para elaboração do meu Trabalho Conclusão de Curso (TCC) de
Licenciado em Matemática.
5. ALGUMAS CONSIDERAÇÕES E EXPECTATIVAS ESPERADAS
Penso que os estudantes do ensino superior do curso de matemática não se
encontram aptos a explorarem todos os sentidos que o número zero exerce em diferentes
contextos, muito menos a compreensão do “porque” utilizamos o sistema de numeração
posicional decimal (SNPD) hindu-arábico, visto que a adoção desse sistema, além de ser
posicional e decimal, foi devido a introdução do número zero como elemento integrante do
sistema numérico. Desde modo a história da matemática dará uma compreensão do
conceito do número zero, focando nos percalços epistemológicos que esse conceito gerou
ao longo do tempo, através de uma abordagem significativa para o estudante, construindo
com os mesmos, ideias que são utilizadas no cotidiano de forma a estimularem um
pensamento crítico-reflexivo em sala.
6. REFERÊNCIAS
ARAÚJO, Társsio de O. A origem do zero e suas abordagens nos livros didáticos. X ENEM, Bahia. Salvador, 2010.
BOYER, Carl B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: Blucher, 1996.
EVES, Howard, Introdução à história da matemática. 1. ed. São Paulo: Editora da
UNICAMP, 1995.
IFRAH, Georges, História universal dos algoritmos: tomo I. 1. ed. Rio de Janeiro: Nova
Fronteira, 1997.
GUIMARÃES, Fabiane. Reflexões Sobre o Zero. In. X – EBRAPEM, Minas gerais. Belo
Horizonte, 2006. Disponível em: http://www.fae.ufmg.br/ebrapem completos/07-02.pdf.
Acesso 09 de jan. 2014.
GUNDLACH, B. H. Tópicos de história da matemática – para uso em sala de aula –
Números e numerais e Computação. Atual editora, 199, v. I.
MOLINA, Olga. Quem engana quem: professor x livro didático. 2. ed. Campinas: Papirus,
1988.
PADRÃO, Darice L. A Origem do Zero. Dissertação de Mestrado em Ensino de
Matemática – São Paulo PUCSP – 2008.
SALVADOR, C. M. A.; NACARATO, A. M.. Sentidos atribuídos ao zero por alunos da
6ª série.