MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ
UNIDADE SUDOESTE – CAMPUS PATO BRANCO
COORDENAÇÃO DE ENSINO MÉDIO
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 – RAZÃO
03
CAPÍTULO 2 – PROPORÇÃO E GRANDEZAS PROPORCIONAIS
09
CAPÍTULO 3 – REGRA DE TRÊS
16
CAPÍTULO 4 – PORCENTAGEM
28
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
2
1. RAZÃO:
1.1. Definição: A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0 , é o quociente (divisão)
a
ou a : b .
b
Nota: Nesta expressão, a chama-se antecedente e b, conseqüente.
1.2. Exemplos:
1) Na cidade de Pato Branco, situada no sudoeste do Paraná, há uma população de aproximadamente
63.000 habitantes (62.234 – CENSO DEMOGRÁFICO 2.000). Nessa cidade, segundo dados da
prefeitura municipal, há aproximadamente 21.000 veículos. Determine a razão entre o número de
veículos e o número de habitantes da mesma.
Solução:
21.000 21 1
=
= , ou seja, 1 carro para cada 3 habitantes.
63.000 63 3
2) A população mundial é de aproximadamente 6 bilhões de habitantes. Por outro lado, a população
da China (país mais populoso do mundo) é de aproximadamente 1,2 bilhões de habitantes, isto
devido ao controle da natalidade (nascimento) imposta por parte do governo desse país nas últimas
décadas. Baseando-se nesses dados, determine a razão entre o número de chineses e a população
mundial.
Solução:
1,2 bilhões 1,2 : 1,2 1
=
= , ou seja, de cada 5 habitantes do globo terrestre 1 é chinês.
6 bilhoes
6 : 1,2
5
3) Sabendo que o Brasil tem uma população de aproximadamente 170 milhões de habitantes
(169.872.856 - CENSO 2.000), um Produto Interno Bruto (PIB) de aproximadamente 1,3 trilhões
de reais (R$ 1,321 trilhões) e uma extensão territorial de 8,5 milhões de km2 (8.514.876,60 km 2 ),
determine a sua renda per capit e a sua densidade demográfica.
Solução:
A renda per capit é a razão entre o produto interno bruto (PIB) e a população,
1,3 × 1.000.000.000.000 1,3 × 1.000.000 1.300.000 130.000
=
=
=
≅ 7.647,06 R$ / hab
170.000.000
170
170
17
A densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes e a extensão territorial, geralmente
medida em km2 ,
170.000.000
= 20 hab / km 2
8.500.000
4) Na planta de um apartamento em construção, cuja escala utilizada é 1 / 50 , as dimensões de uma
sala são representadas por (20 cm x 8 cm). Qual a área real, em m2 , da sala?
Solução:
A escala é a razão entre a medida de um comprimento no desenho e a medida real, assim, a área é 50
vezes maior que o desenho, logo:
• Comprimento = 50 x 20 = 1.000 cm = 10 m
• Largura = 50 x 8 = 400 cm = 4 m
• Área = Comprimento x Largura = 10 m x 4 m = 40 m2
Notas: (i) 1 m corresponde a 100 cm. (ii) Revise o conceito de área, se julgar necessário.
3
A tabela a seguir, apresenta as cidades da região sudoeste juntamente com parte da região centro sul do
Paraná, totalizando 42 municípios. Nesta é apresentada a população, percentual de homens e mulheres,
percentual da população urbana e rural, obtidos a partir dos dados do Censo Demográfico de 2.000,
realizado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), além da taxa de alfabetização,
considerando a população residente com 10 anos ou mais de idade. A mesma apresenta também a
extensão territorial (área em km2) e o Produto Interno Bruto (PIB), mensurados em dólares (US$).
População
TOTAL
15.623
1 Ampére
9.271
2 Barracão
4.503
3 Bela Vista da Caroba
3.107
4 Boa Esperança do Iguaçu
4.154
5 Bom Jesus do Sul
3.392
6 Bom Sucesso do Sul
18.239
7 Capanema
20.543
8 Chopinzinho
18.338
9 Clevelândia
7.004
10 Coronel Domingos Soares
23.306
11 Coronel Vivida
4.394
12 Cruzeiro do Iguaçu
31.986
13 Dois Vizinhos
6.382
14 Enéas Marques
5.059
15 Flor da Serra do Sul
67.132
16 Francisco Beltrão
6.896
17 Honório Serpa
9.162
18 Itapejara d'Oeste
3.802
19 Manfrinópolis
17.760
20 Mangueirinha
6.017
21 Mariópolis
13.665
22 Marmeleiro
5.258
23 Nova Esperança do Sudoeste
10.397
24 Nova Prata do Iguaçu
34.819
25 Palmas
62.234
26 Pato Branco
7.354
27 Pérola d'Oeste
2.562
28 Pinhal de São Bento
14.122
29 Planalto
6.260
30 Pranchita
16.023
31 Realeza
6.959
32 Renascença
5.338
33 Salgado Filho
12.757
34 Salto do Lontra
11.711
35 Santa Izabel do Oeste
17.870
36 Santo Antônio do Sudoeste
11.207
37 São João
9.307
38 São Jorge d'Oeste
4.608
39 Saudade do Iguaçu
3.918
40 Sulina
8.721
41 Verê
6.285
42 Vitorino
557.445
Sudoeste + parte Centro Sul
9.563.458
Paraná
169.872.856
Brasil
Município
Homens
(%)
49,68%
49,15%
52,81%
52,11%
51,61%
49,73%
50,30%
50,30%
49,01%
51,88%
49,70%
50,82%
49,56%
51,72%
50,82%
49,03%
52,74%
50,33%
53,39%
50,41%
49,06%
50,27%
52,26%
50,58%
49,21%
48,32%
51,09%
51,64%
50,99%
50,26%
49,63%
50,55%
52,23%
50,50%
50,17%
49,97%
50,13%
50,17%
51,32%
51,30%
50,99%
49,83%
49,86%
49,54%
49.22%
Mulheres
(%)
50,32%
50,85%
47,19%
47,89%
48,39%
50,27%
49,70%
49,70%
50,99%
48,12%
50,30%
49,18%
50,44%
48,28%
49,18%
50,97%
47,26%
49,67%
46,61%
49,59%
50,94%
49,73%
47,74%
49,42%
50,79%
51,68%
48,91%
48,36%
49,01%
49,74%
50,37%
49,45%
47,77%
49,50%
49,83%
50,03%
49,87%
49,83%
48,68%
48,70%
49,01%
50,17%
50,14%
50,46%
50,79%
Urbana
(%)
66,59%
62,83%
16,81%
18,15%
9,20%
38,53%
51,05%
51,25%
80,78%
11,38%
63,21%
50,39%
69,97%
19,59%
11,66%
81,68%
20,93%
54,15%
11,78%
36,32%
62,67%
52,46%
23,28%
51,08%
90,21%
91,28%
36,99%
28,79%
34,09%
50,48%
62,10%
42,08%
40,43%
43,91%
48,63%
60,51%
51,65%
48,47%
43,12%
30,50%
34,76%
50,76%
61,89%
81,41%
81,19%
Rural
(%)
33,41%
37,17%
83,19%
81,85%
90,80%
61,47%
48,95%
48,75%
19,22%
88,62%
36,79%
49,61%
30,03%
80,41%
88,34%
18,32%
79,07%
45,85%
88,22%
63,68%
37,33%
47,54%
76,72%
48,92%
9,79%
8,72%
63,01%
71,21%
65,91%
49,52%
37,90%
57,92%
59,57%
56,09%
51,37%
39,49%
48,35%
51,53%
56,88%
69,50%
65,24%
49,24%
38,11%
18,59%
18,81%
Alfabetizado
Área
PIB
(%)
(km2)
(US$)
90,60%
300,01
26.843..361,30
88,93%
164,10
14.805.733,25
87,59%
142,09
87,57%
97,49
5.895.550,25
84,43%
173,94
88,02%
150,47
10.377.751,01
90,98%
419,49
38.493.301,33
90,02%
956,46
51.735.452,14
88,51%
701,52
48.793.966,98
87,36%
1.544,64
89,41%
683,40
43.062.438,18
87,90%
160,35
8.986.714,82
91,23%
419,71
130.784.192,69
89,30%
193,37
11.670.986,35
85,89%
254,23
6.084.114,11
92,56%
733,35
205.290.478,65
86,90%
503,46
11.478.631,04
90,28%
253,44
23.554.019,03
84,39%
17,55
87,64%
1.033,66
153.505.047,10
91,72%
231,21
18.745.311,67
89,46%
387,94
22.387.520,46
87,65%
207,25
6.366.872,46
86,66%
352,26
25.743.421,73
88,18%
1.553,80
74.006.500,08
93,89%
540,10
147.392.470,89
90,00%
212,16
15.380.312,41
82,45%
97,27
3.221.598,46
90,27%
387,94
6.100.590,52
89,84%
217,08
17.529.718,46
90,07%
356,14
38.758.640,90
89,21%
424,79
18.750.135,26
88,39%
182,17
13.409.924,43
86,05%
312,46
30.410.930,24
87,01%
321,04
26.483.004,98
86,71%
325,30
33.086.383,49
89,00%
390,13
36.945.476,49
89,16%
379,33
21.589.099,44
88,00%
151,05
6.644.968,90
90,01%
169,90
7.071.554,46
87,66%
312,58
21.161.377,44
88,77%
361,13
14.800.789,26
89,76%
16.775,76
91,43%
199.314,85 R$ 73,2 bilhões
87,20%
8.514.876,60 R$ 1,3 trilhões
Fonte: – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) – Censo Demográfico 2.000,
IPARDES e PARANACIDADE
Plugando-se na rede: Para saber mais sobre os aspectos apresentados na tabela anterior, acesse os sites:
• http://www.ipardes.gov.br
• http://www.paranacidade.org.br
• http://www.ibge.gov.br
• http://[email protected]
• http://www.ibge.gov.br/ibgeteen/
4
Mapa dos municípios do Sudoeste + parte Centro Sul do Paraná
Nota: Municípios que fazem parte da região Centro Sul: Clevelândia, Honório Serpa, Mangueirinha,
Coronel Domingos Soares e Palmas.
1.3. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Qual o percentual da população do (Sudoeste + parte Centro Sul) em relação ao estado do Paraná?
E do Paraná em relação ao Brasil? Resposta: 5,83%; 5,63%
2) Escolha uma cidade da região (Sudoeste + parte Centro Sul) e determine o percentual da população
da mesma em relação à região. Resposta: Pato Branco: 11,16%
3) Determine a cidade com:
a) O maior percentual da população alfabetizada. Resposta: 93,89%
b) O menor percentual da população alfabetizada. Resposta: Pinhal de São Bento: 82,45%
c) A maior densidade demográfica. Resposta: Manfrinópolis: 216,64 hab/km2
d) A menor densidade demográfica. Resposta: Coronel Domingos Soares: 4,53 hab/km2
e) A maior renda per capit. Resposta: Mangueirinha: 8.643,30 U$/ano (para os dados disponíveis)
f) A menor renda per capit. Resposta: Planalto: 431,99 U$/ano (para os dados disponíveis)
5
4) A região (Sudoeste + parte Centro Sul) do Paraná, composta por 42 municípios, tem uma extensão
territorial de 16.779,51 km2 , uma população de 557.737 habitantes e o seu PIB é de ???????
Baseando-se nesses dados, determine a renda per capit e a densidade demográfica da região.
Resposta: Densidade demográfica: 33,24 hab/km2. A renda per capit não dá para calcular
5) Utilizando os dados da tabela anterior determine a densidade demográfica de três cidades da região
(Sudoeste + parte Centro Sul).
6) Determine a razão entre o número de habitantes do Brasil (170 milhões de pessoas) e o número de
habitantes do globo terrestre (6 bilhões de pessoas).
Resposta: 17 / 600 , ou seja, de cada 600 habitantes 17 são brasileiros.
7) Determine a densidade demográfica do município de Pato Branco, sabendo que sua extensão
territorial é de 540,1 km2 e a sua população é de 62.234 habitantes. Resposta: 115,23 hab / km 2
8) Uma cozinheira utiliza uma medida de arroz para cada 3 pessoas. Dizemos que a razão existente é:
Resposta: 1 / 3
9) Na planta de uma casa a escala utilizada é 1 / 100 . Isto quer dizer que: Resposta: A cada um
centímetro (1 cm) do desenho corresponde na realidade a 100 cm (1 metro).
10) Um pintor gastou 6 latas de tinta para pintar uma área de 90 m2 . Qual a razão do rendimento desta
tinta. Resposta: 1 / 15 , ou seja, uma lata é suficiente para pintar 15 m2 .
11) Numa sala de aula tem 20 rapazes e 30 moças. Entende-se que a razão entre o número de rapazes
para o de moças é: Resposta: 2 / 3
6
12) Num treinamento durante a Copa do Mundo, Ronaldo bateu 20 pênaltis e acertou 18. Rivaldo
bateu 30 e acertou 24. Quem apresentou melhor desempenho?
Resposta: Ronaldo => 9 / 10 e Rivaldo => 8 / 10 , logo, Ronaldinho teve o melhor desempenho.
13) Num supermercado há 2 opções na compra de uma marca de refrigerante: 2 litros por R$ 1,90 ou
600 ml por R$ 0,84. Qual a melhor opção? Nota: Utilizando-se do conceito de razão.
Resposta: 2 litros => 0,95 R$ / litro e 600 ml => 1,40 R$ / litro , logo, a opção 2 litros é a melhor.
14) Um lote de terreno tem 8.000 m2 de área. Sabendo que a área construída é de 1.200 m2 , determine
a razão da área livre para a área do terreno. Resposta: 17 / 20
15) Num teste com 20 questões uma pessoa acertou 12 questões. Determine:
a) A razão do número de questões erradas para o número total de questões.
Resposta: 2 / 5
b) A razão do número de questões certas para o número de questões erradas.
Resposta: 3 / 2
16) Qual é a escala utilizada num desenho em que os 50 m de comprimento de um lote está
representado no desenho por 5 cm? Resposta: 1 / 1.000
17) O censo de uma cidade mostrou que 1.300 pessoas tinham idade acima de 40 anos, 26.000 estavam
entre 20 e 40 anos de idade, e 30.000 eram menores de 20 anos. Estabeleça as razões entre:
a) Os habitantes com mais de 40 anos e os de 20 a 40 anos.
Resposta: 1 / 20
b) Os habitantes com mais de 40 anos e todos os habitantes da cidade.
Resposta: 13 / 573
c) Os menores de 20 anos e todos os habitantes da cidade.
Resposta: 100 / 191
18) O aluno do CEFET-PR Fernando, submeteu-se a duas provas, uma de Português e uma de
Matemática. A primeira composta de 45 questões das quais acertou 30 e a segunda, de 30 questões
acertou 20. Em qual das provas apresentou maior rendimento? Resposta: Mesmo rendimento
7
19) Faça a sua avaliação física através do Índice de Massa Corpórea – IMC Î Razão entre a massa e o
quadrado da altura.
Sendo: m = massa e h = altura , temos:
IMC (m, h) =
m
h2
⎧Subnutrido, Se IMC ≤ 20
⎪ Normal , Se 20 < IMC ≤ 25
⎪⎪
Classificação: IMC = ⎨Sobrepeso, Se 25 < IMC ≤ 30
⎪Obeso, Se 30 < IMC ≤ 35
⎪
⎪⎩Obesidade morbida, Se IMC > 35
Nota: A massa deve ser dada em quilogramas (kg) e a altura em metros (m)
20) A densidade é a razão entre a massa e o volume de um corpo, ou seja:
densidade =
massa
volume
Nota: A densidade da água é: 1 g / cm 3 ou 1 kg / L
21) Determine a densidade de uma marca de maionese, que possui em uma de suas embalagens: um
peso líquido (massa) = 250 g e o volume (conteúdo) = 265 ml. Resposta: 0,94 g/cm3
22) Sabemos da geometria básica que o significado geométrico do número irracional pi, representado
pela letra grega (π = 3,1415927...) é a razão entre o comprimento e o diâmetro de uma
circunferência, isto é:
π=
comprimento de uma circunferência C
=
diâmetro da mesma
D
onde: D = 2r , com r : raio da circunferência. C: comprimento ou perímetro.
C
C
=π ⇒
= π ⇒ C = 2πr
2r
D
23) Encontre outras aplicações para razão, usando as leis da física, química, etc.
24) Encontre outras aplicações cotidianas para razão.
8
2. PROPORÇÃO E GRANDEZAS PROPORCIONAIS
2.1. Definição: Dados duas razões:
c
a c
a
e
, com b ≠ 0 e d ≠ 0 , teremos uma proporção se: = .
b
d
b d
Nota: Na expressão acima a e d são chamados de extremos e b e c são chamados de meios.
Exemplo:
1) Os números 4, 6, 8 e 12, nesta ordem, determinam uma proporção, pois:
4 2 8 2
4 8
= e
= , logo,
=
6 3 12 3
6 12
Nota: Os números 4 e 12 são chamados de extremos e 6 e 8 de meios.
2.2. Propriedade fundamental das proporções:
Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, ou seja:
a c
= ⇒ ad = bc
b d
Exemplos:
1) Encontre “x” nas proporções:
x 15
20 x + 3
a) =
b)
=
2 3
8
2
d)
−2
x+2
=
( x ≠ 3)
x−3
2
Resposta: a) x = 10
e)
c)
x
4
=
( x ≠ −1)
x +1 6
x−2 2+ x
=
( x ≠ 0 e x ≠ 4)
x
x−4
b) x = 2
c) x = 2
d) x = -1 ou x = 2
e) x = 1
2) Em uma equipe de atletismo, a razão entre o número de rapazes e de moças é 5/3. Qual é o número
de moças, sabendo que o número de rapazes é 25? Resposta: 15 moças
3) Paula tem um retrato com as dimensões de 10 cm de largura por 12 cm de altura. Se ela fizer uma
ampliação proporcional para 25 cm de largura, qual será a altura? Resposta: 30 cm
9
2.3. Adição (ou subtração) dos antecedentes e conseqüentes
Se
a c
a+c a c
= ⇒
= =
b d
b+d b d
e
a c
a−c a c
= ⇒
= =
b d
b−d b d
2.4. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Num colégio o número de alunos é de 760. Sabendo-se que o número de meninos está para 7 assim
como o número de meninas está para 12. Qual o número de meninas e meninos.
Resposta: 280 alunos e 480 alunas
2) A água e a tinta estão misturados em um volume total de 28 litros, na razão de 9 para 5. Achar o
volume de cada substância. Resposta: 18 litros de água e 10 litros de tinta
3) Duas pessoas ganharam comissões sobre vendas, sendo que uma delas recebeu R$ 450,00 a mais
que a outra. Descubra qual é a comissão de cada uma delas, sabendo que elas estão na razão de 4
para 9. Resposta: R$ 810,00 e R$ 360,00
4) Uma determinada substância é composta de ouro e prata, na proporção de 5 partes de prata para
cada 1 de ouro. Para fabricar 54 gramas desta substância, quantos gramas de ouro e de prata são
necessário. Resposta: 45 gramas de prata e 9 gramas de ouro
5) Na final do campeonato Rio-São Paulo (1999), as torcidas do Vasco e Santos, compareceram ao
estádio numa razão de 3 para 4. Dado que a lotação foi de 77.000 torcedores, quantos eram os
santistas e vascaínos. Resposta: 33.000 vascaínos e 44.000 santistas
6) Em dois tanques de combustível estão 2.200 litros de gasolina. Calcular o volume dos dois tanques,
sabendo que a capacidade estão na proporção de 4 / 7. Resposta: 800 litros e 1.400 litros
7) Uma pessoa divide o capital de R$ 13.000,00 proporcionais às idades de seus filhos: 4 e 6 anos.
Quanto recebeu cada um? Resposta: R$ 5.200,00 e R$ 7.800,00
8) A importância de R$ 21,70 foi dividida entre três pessoas. Sabendo se que a parte do primeiro está
para a parte do segundo como 7 para 9 e que a do segundo está para a do terceiro como 3 para 5.
Quanto recebeu cada um? Resposta: R$ 4,90; R$ 6,30 e R$ 10,50
10
9) Num colégio há 210 alunos. A metade do número de meninas é igual a 1/5 do número de meninos.
Quantos meninos há no colégio? Resposta: 60 meninas e 150 meninos, colégio militar?
10) Sabendo que a diferença entre dois números é igual a 28 e que a razão entre o dobro do maior e o
triplo do menor é 1. Calcule esses números. Resposta: 56 e 84
11) Em certa empresa, os funcionários são associados a um plano de saúde cujas mensalidades são
pagas parcialmente pela empresa. Ela dá uma contribuição diretamente proporcional ao número de
anos que o funcionário trabalha na firma e inversamente proporcional ao salário do funcionário.
Com essas informações, complete a tabela. Todos os cálculos podem ser feitos mentalmente:
Anos de firma
5
10
10
10
10
20
2
4
8
Resposta: a) R$ 60,00
e) R$ 160,00
Salários
R$ 1.000,00
R$ 1.000,00
R$ 500,00
R$ 1.500,00
R$ 750,00
R$ 750,00
R$ 750,00
R$ 1.500,00
R$ 3.000,00
b) R$ 120,00
f) R$ 16,00
Contribuição da empresa
R$ 30,00
c) R$ 40,00
g) R$ 16,00
d) R$ 80,00
h) R$ 16,00
12) DESAFIO: Duas pessoas viajando, sendo que a primeira pessoa leva consigo 3 pães enquanto a
segunda pessoa leva 5 pães. Essas pessoas encontraram um andante, e decidem comer juntas os
pães que levam. Todos comeram a mesma quantidade, ao final o andante como recompensa
distribuiu 8 moedas de ouro. Quanto cada um deve ganhar de forma que a divisão seja
proporcional a contribuição de cada um para acabar com a fome do andante?
11
2.5. Proporção direta:
Grandezas como trabalho produzido e remuneração obtida são, quase sempre, diretamente
proporcionais. De fato, se você receber R$ 0,70 para cada folha que digitar, sabe que deverá receber
R$ 14,00 por 20 folhas digitadas.
Outros exemplos de grandezas diretamente proporcionais:
a) Velocidade média e distância percorrida, pois dobrando a velocidade dobra a distância percorrida.
b) Área e preço de terrenos.
c) Altura de um objeto e comprimento da sombra projetada por ele.
2.5.1. Definição: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando aumentando (ou diminuindo)
uma delas numa determinada razão, a outra aumenta (ou diminui) nesta mesma razão.
2.6. Proporção inversa:
Grandezas como tempo de trabalho e o número de operários para a mesma tarefa são, em geral,
inversamente proporcionais. De fato, para uma tarefa que 10 operários executa em 20 dias, espera –se
que 5 operários realize em 40 dias.
Outros exemplos de grandezas inversamente proporcionais:
a) Velocidade média e o tempo de viagem, pois se você dobra a velocidade com que anda, mantendo
fixa a distância a ser percorrida, reduzirá o tempo do percurso pela metade.
b) Número de torneiras de mesma vazão e o tempo para encher um tanque, pois quanto mais
torneiras estiverem abertas, menor o tempo para completar o tanque.
2.6.1. Definição: Duas grandeza são inversamente proporcionais quando, aumentando(ou diminuindo)
uma delas numa determinada razão a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão
Exemplos:
1) Um automóvel desenvolvendo velocidade constante, parte do CEFET – Medianeira com destino ao
CEFET – Pato Branco, sabendo que a distância entre as duas unidades é de aproximadamente 300
km, analise a natureza da proporção entre as grandezas velocidade e tempo de viagem.
2) Mariana compra botões a preço de R$ 0,25 cada. Analise a natureza entre as grandezas número de
botões e preço de compra.
3) Francisca comprou 60 botões e deverá pregá-los em camisas com certo número de botões cada.
Analise a natureza das proporções entre o número de botões por camisa e o número de camisas.
4) Para alimentar cavalos durante 13 dias é necessário um certo número de sacas de milho. Analise a
natureza da proporção número de cavalos e o número de sacas de milho.
12
2.7. Divisão em partes proporcionais e regra de sociedade:
2.7.1. Diretamente proporcional:
2.7.1.1. Definição: Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números é
encontrar partes deste número que sejam diretamente proporcionais aos números dados e cuja soma
reproduza o próprio número.
Exemplo:
1) Duas pessoas A e B trabalharam na fabricação de um mesmo objeto, sendo que A o fez em 6 horas
e B durante 5 horas. Na venda deste objeto obtiveram um lucro de R$ 132,00 e querem dividi-lo
com justiça. Qual a parte do lucro que cabe a cada um? Resposta: R$ 72,00 e R$ 60,00
2.7.2. Inversamente proporcional:
Definição: Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números é encontrar
partes desse número que sejam diretamente proporcionais ao inverso dos números dados e cuja soma
reproduza o próprio número.
Exemplo:
1) Numa gincana, um prêmio de R$ 5.600,00 deve ser dividido entre Marcos e Fábio, de modo que, a
parte correspondente a cada um seja inversamente proporcional ao número de erros cometidos nas
provas. Sabendo que Marcos cometeu 6 erros e Fábio 8 erros. Determine quanto recebe cada um.
Resposta: Marcos: R$ 3.200,00 e Fábio: R$ 2.400,00
2.7.3. Regra de sociedade:
É uma aplicação da divisão em partes proporcionais que acontece em sociedade comercial constituída,
a fim de dividir de forma justa os lucros, prejuízos e prêmios que ocorrem no transcorrer da mesma.
Exemplo:
1) Antônio, João e Pedro juntaram-se numa sociedade com idêntica participação no capital inicial.
Antônio deixou seu capital no negocio durante 4 meses, João por 6 meses e Pedro por 3,5 meses.
Dividir, com justiça, o lucro aferido de R$ 16.200,00.
Resposta: Antônio: R$ 4.800,00; João: R$ 7.200,00 e Pedro: R$ 4.200,00
2.8. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Dividir 100 balas entre Paulo (4 anos) e Lúcia (6 anos), em partes proporcionais às idades deles.
Quantas balas ganhará cada criança? Resposta: Paulo: 40 e Lúcia 60
13
2) Dividir 100 balas entre Paulo (4 anos) e Lúcia (6 anos), sendo as partes inversamente
proporcionais aos números de faltas de cada um à escola no 1° semestre. Sabendo que Paulo teve 2
faltas e Lúcia 6 faltas, quantas balas ganhará cada criança? Resposta: Paulo: 75 e Lúcia 25
3) O Senhor Antônio vai dar um prêmio a seus 3 empregados: Jorge, Manuel e Pedro. Ele irá
distribuir R$ 2.100,00 inversamente proporcional ao salário mensal de cada um a saber que: Jorge
ganha o salário de R$ 1.000,00; Manuel R$ 2.000,00 e Pedro R$ 4.000,00. Quanto receberá cada
um? Resposta: Jorge: R$ 1.200,00; Manuel: R$ 600,00 e Pedro: R$ 300,00
4) Uma herança de R$ 10.150,00 deve ser dividida entre três irmãos, de modo que o primeiro ganhe
corresponde aos 2/5 da parte do segundo e aos 3/4 da parte do terceiro. Quanto receberá cada um?
Resposta: R$ 2.100,00; R$ 5.250,00 e R$ 2.800,00
5) A Federação Paulista de Futebol resolveu distribuir prêmios para os times num total de
R$ 63.200,00, escolhendo os quatro que tiveram o ataque mais positivo, ou seja que fizeram o
maior número de gols na razão direta destes gols. Os times premiados fizeram 45, 40, 38 e 35 gols.
Determine quanto recebeu cada time.
Resposta: R$ 18.000,00; R$ 16.000,00; R$ 15.200,00 e R$ 14.000,00
6) Duas pessoas devem dividir R$ 1.800,00 em quantias que devem ser inversamente proporcionais
ao número de erros que cada um cometeu durante uma prova. Se a primeira cometeu 4 erros e a
segunda 2 erros. Quanto deve receber cada um? Resposta: R$ 600,00 e R$ 1.200,00
7) Duas pessoas ganharam R$ 2.400,00 para realizar um certo serviço. A primeira trabalhou durante
14 dias e a segunda durante 11 dias. Sendo pagamento proporcional ao número de dias trabalhados
quanto recebeu cada uma? Resposta: R$ 1.344,00 e R$ 1.056,00
8) Três municípios mandaram construir uma ponte cuja despesa seria dividida entre os três na razão
inversa das distâncias. O primeiro dista da ponte 4 km, o segundo 8 km e o terceiro 10 km.
Sabendo que a construção da ponte custou R$ 950.000,00, quanto gastou cada município.
Resposta: R$ 500.000,00; R$ 250.000,00 e R$ 200.000,00
14
9) Rubens, Lacerda e Mário trabalham na mesma firma há 4, 6 e 10 anos respectivamente. Como
gratificação, a firma distribuirá entre eles, proporcionalmente ao tempo de serviço, a quantia de
R$ 8.000,00. Que importância caberá a Lacerda? Resposta: R$ 2.400,00
a) R$ 2 600,00
b) R$ 2.200,00
c) R$ 2.400,00
d) R$ 3. 000,00
e) R$ 2 800,00
10) Repartiram-se R$ 7.488,00 entre 3 pessoas, de modo que a parte da primeira fosse o triplo da
segunda. E a parte do segundo seja o dobro da terceira. Qual foi o valor da menor parte?
a) R$ 4.992,00
b) R$ 1.832,00
c) R$ 832,00
d) R$ 492,00
e) R$ 624,00
Resposta: R$ 832,00
11) Um fazendeiro repartiu 240 reses entre seus três filhos da seguinte forma: O primeiro recebeu 2/3
do segundo, e o terceiro tanto quanto o primeiro e o segundo juntos. Quanto recebeu o primeiro
herdeiro? Resposta: 48
12) Três pessoas A, B, C associaram-se, entrando cada qual com o capital de R$ 15.000,00 e tiveram
prejuízo de R$ 7 500,00. “A” ficou na sociedade 8 meses, “B” ficou 7 meses e “C” 10 meses. Qual
foi o prejuízo de cada um? Resposta: R$ 2.400,00; R$ 2.100,00 e R$ 3.000,00
13) (Concurso banco do Brasil) Certa sociedade, constituída por 3 sócios, com um capital de
R$ 18.000,00 , teve um lucro de R$ 2.520,00. Sabendo que o sócio “A” entrou com 1/3 do capital,
que o sócio “B” entrou com 2/5 e que o sócio “C” entrou com o restante, determinar o lucro de
cada sócio: Resposta: R$ 840,00; R$ 1.008,00 e R$ 672,00
14) Um revendedor de automóveis negociou 3 veículos, recebendo ao todo R$ 15.500,00. Sabendo que
vendeu os automóveis inversamente proporcional aos anos de uso: 2, 3 e 5 anos, determine por
quanto vendeu cada um?
Resposta: 2 anos: R$ 7.500,00; 3 anos: R$ 5.000,00 e 5 anos: R$ 3.000,00
15) Uma empresa de transportes irá distribuir uma gratificação de R$ 1.100,00 entre seus três
motoristas, inversamente proporcional ao número de pontos que cada um tem em sua Carteira
Nacional de Habilitação (CNH). Se o primeiro tem 9 pontos, o segundo tem 6 pontos e o terceiro
tem 3 pontos em sua CNH, quanto cada um receberá de gratificação?
Resposta: 1o: R$ 200,00; 2o: R$ 300,00 e 3o: R$ 600,00
15
3. REGRA DE TRÊS
Breve histórico: Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicálas na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a "Regra de Três". No
século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu Liber Abaci (o livro
do ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos.
3.1. Regra de três simples e direta
Uma regra de três simples e direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.
Exemplo:
1) Na extremidade de uma mola colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de 10
Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54 cm. Se colocarmos
um corpo com 15 Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no
comprimento da mola? (Kg = quilograma e cm = centímetro)
Solução:
De acordo com os dados do problema, tem-se:
Massa do corpo (Kg)
10
15
Deslocamento da mola (cm)
54
x
Observe que quanto maior for a massa maior será o deslocamento, ou seja, as grandezas consideradas
são diretamente proporcionais. Assim,
54 10
=
⇒ 810 = 10 x ⇒ x = 81
x 15
Portanto, o deslocamento será de 81 centímetros.
3.2. Regra de três simples e inversa
Uma regra de três simples e inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais
para obter uma proporção.
Exemplo:
1) Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de
180 Km/h fez um certo percurso em 20 s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria
o tempo gasto no mesmo percurso? (Km/h = quilômetro por hora, s = segundo).
Solução:
De acordo com os dados do problema, tem-se:
Velocidade (Km/h)
180
200
Tempo (s)
20
x
Observe que quanto maior for a velocidade menor será o tempo necessário, ou seja, as grandezas
consideradas são inversamente proporcionais. Assim,
20 200
=
⇒ 3.600 = 200 x ⇒ x = 18
x 180
Portanto, o tempo gasto seria de 18 segundos.
16
3.3. REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais,
inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações. Usaremos um tratamento mais prático,
ao invés do tratamento mais técnico para a regra de três composta. Entretanto, esse método resolve
qualquer problema de regra de três composta que possamos encontrar em nossas vidas.
O método:
O método prático consiste em:
• Escrever em coluna as variáveis do mesmo tipo, ou seja, aquelas expressas na mesma unidade de
medida.
• Identificar aquelas que variam num mesmo sentido (grandezas diretamente proporcionais) e
aquelas que variam em sentidos opostos (grandezas inversamente proporcionais), marcando-as
com setas no mesmo sentido ou sentidos opostos, conforme o caso.
• A incógnita x será obtida da forma sugerida no esquema abaixo, dada como exemplo de caráter
geral.
Sejam as grandezas A, B, C, D e E, que assumem os valores indicados a seguir, e supondo-se, por
exemplo, que a grandeza A seja diretamente proporcional às grandezas C e E e, inversamente
proporcional às grandeza B e D. Podemos montar o esquema a seguir:
Grandeza A
a
x
Grandeza B
b
p
Grandeza C
c
q
Grandeza D
d
r
Grandeza E
e
s
Nesse caso, o valor da incógnita x será dado pela resolução da proporção:
a p c r e
a×b×q×d ×s
b q d s
= × × × ⇒ x=a× × × ×
⇒ x=
x b q d s
p c r e
p×c×r×e
Notas: (i) Esse processo pode ser estendido para n grandezas. (ii) Sugere-se usar o esquema em
destaque, ao invés do processo final, pois cada exercício terá uma montagem diferente da apresentada.
A mesma é apenas para uma ilustração do processo geral. Isso ficará mais claro nos exemplos que se
seguem.
Exemplos:
1) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo
produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele mesmo
tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias?
a) 6
b) 8
c) 15
d) 10,5
e) 13,5
Solução:
Máquinas
Horas/dia
Dias
Toneladas
4
4
4
4
6
6
6
x
Observe que a produção (em toneladas) é diretamente proporcional ao número de máquinas, ao
número de dias e ao número de horas/dia. Assim,
4 4 4 4
4 64 ⇒
864 = 64x ⇒ x = 13,5
= × × ⇒ =
x 6 6 6
x 216
Portanto, seriam produzidas 13,5 toneladas do produto, sendo “e” a alternativa correta.
17
2) Um grupo de 25 teares trabalhando 8 horas por dia, durante 10 dias, fizeram 1.200 metros de certo
tecido. Quantos metros do mesmo tecido produzirão um grupo de 20 teares, trabalhando 9 horas
por dia durante 18 dias.
Nota: Tear: máquina destinada a tecer fios, transformando-os em pano ou tecido. Plural: teares.
Solução:
Número de teares
Dias
Horas/dia
Metros de tecidos
25
10
8
1.200
20
18
9
x
Observe que o comprimento do tecido é diretamente proporcional ao número de teares, ao número de
dias e ao número de horas/dia. Assim,
1.200 25 10 8
1.200 2.000
⇒ 3.888.000 = 2.000x ⇒ x = 1.944
=
× × ⇒
=
x
20 18 9
x
3.240
Portanto, serão produzidos 1.944 metros de tecido.
3) Certo trabalho é executado por 15 máquinas iguais, em 12 dias de 10 horas. Havendo defeito em
três máquinas, quantos dias de 8 horas deverão trabalhar as demais, para realizar o dobro do
trabalho anterior?
a) 18,75
b) 37,5
c) 9,375
d) 2
e) 40
Solução:
Máquinas
Horas/dia
Dias
Trabalho
15
10
12
1T
12
8
x
2T
Observe que aumentando o número de dias, diminui o número de horas/dia necessários e diminui o
número de máquinas necessárias. Podemos também afirmar que para realizar o dobro de trabalho, o
número de dias deve aumentar. Assim,
12 96
12 12 8 1T
⇒
⇒ 3.600 = 96x ⇒ x = 37,5
= × ×
=
x 300
x 15 10 2T
Portanto, deverão trabalhar 37,5 dias, sendo “b” a alternativa correta.
4) Em uma fábrica, 25 máquinas produzem 15.000 peças de automóvel em 12 dias, trabalhando 10
horas por dia. Quantas horas por dia, deverão trabalhar 30 máquinas, para produzirem 18.000 peças
em 15 dias?
Solução:
Máquinas
Horas/dia
Dias
Número de Peças
25
10
12
15.000
30
x
15
18.000
Observe que aumentando o número de horas/dia, aumenta a número de peças, diminui o número de
dias necessários e diminui o número de máquinas necessárias. Assim,
10 30 15 15.000
10 6.750
⇒
⇒ 54.000 = 6.750x ⇒ x = 8
=
× ×
=
x 25 12 18.000
x 5.400
Portanto, deverão trabalhar 8 horas/dia.
18
5) Em uma residência, no mês de fevereiro de um ano não bissexto, ficaram acesas, em média, 16
lâmpadas elétricas durante 5 horas por dia e houve uma despesa de R$ 14,00. Qual foi a despesa
em março, quando 20 lâmpadas iguais às anteriores ficaram acesas durante 4 horas por dia,
supondo-se que a tarifa de energia não teve aumento?
a) R$ 14,50
b) R$ 14,75
c) R$ 15,00
d) R$ 15,25
e) R$ 15,50
Solução:
Número de dias
Lâmpadas
Horas/dia
Gasto (em R$)
28
16
5
14
31
20
4
x
Observe que o gasto é diretamente proporcional ao número de dias, ao número de horas por dia e ao
número de lâmpadas. Assim,
14 28 16 5
14 2.240
⇒ 34.720 = 2.240x ⇒ x = 15,5
=
×
× ⇒
=
x 31 20 4
x 2.480
Portanto, serão gastos R$ 15,50, sendo “e” a alternativa correta.
6) Um livro está impresso em 285 páginas de 34 linhas cada uma com 56 letras (caracteres) em cada
linha. Quantas páginas seriam necessárias para reimprimir esse livro com 38 linhas por página,
cada uma com 60 letras?
Solução:
Número de páginas
Linhas
Letras
285
34
56
x
38
60
Observe que aumentando o número de páginas, diminui o número de linhas e o número de letras.
285 38 60 ⇒ 285 2.280 ⇒ 542.640 = 2.280x ⇒ x = 238
=
×
=
x
1.904
x
34 56
Portanto, serão necessárias 238 páginas.
3.4. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças
dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas
funcionarem durante 9 dias?
Solução:
Vamos representar o número de peças pela letra x. De acordo com os dados do problema, vamos
organizar a tabela:
Máquinas
5
7
Dias
6
9
Peças
400
x
400 5 6
400 30
= × ⇒
=
⇒ 25.200 = 30 x ⇒ x = 840
x
x
7 9
63
Portanto, serão produzidas 840 peças.
19
2) Um motociclista, rodando 4 horas por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias
esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? Obs.: Km: quilômetro
Solução:
Vamos representar o número de dias procurado pela letra x. De acordo com os dados do problema,
vamos organizar a tabela:
Quilômetros
Horas/dia
Dias
200
4
2
500
5
x
2 200 5
2 1.000
=
× ⇒ =
⇒ 4.000 = 1.000 x ⇒ x = 4
x 500 4
x 2.000
Portanto, serão necessários 4 dias.
3) Uma máquina produz 40 peças em 50 minutos. Quantas peças produzirá em 1 hora e 10 minutos?
Resposta: 56 peças
4) Um trem percorre a distância entre duas cidades em 2 horas com a velocidade de 60 km/h. Quanto
tempo levaria para fazer o mesmo percurso se andasse a uma velocidade de 80 km/h?
Resposta: 1,5 horas ou 1 hora e 30 minutos
5) Numa fábrica, 15 operários trabalhando 5 horas por dia conseguem fazer a montagem de 200
placas eletrônicas. Quantas placas eletrônicas, idênticas as primeiras, seriam montadas por 18
operários trabalhando 3 horas por dia? Resposta: 144 placas
6) Uma obra levará 96 dias para ser concluída com 8 operários trabalhando. Aumentando de 4 o
número de operário, quanto tempo levará para a conclusão da obra? Resposta: 64 dias
7) (Concurso banco do Brasil) A produção diária de uma indústria é de 12.000 peças para
automóveis. Foram admitidos mais 200 operários e a produção diária passou para 20.000 peças.
Qual era o número de operários que trabalhavam na produção da empresa antes dessa admissão?
Resposta: 300 operários
8) Para produzir 2.080 livros de 360 páginas, uma editora consome 240 kg de papel. Quantos livros
de 320 páginas é possível fazer com 720 kg de papel? Resposta: 7.020 livros
20
9) Numa obra, 15 pintores trabalhando 8 horas por dia, fazem a pintura de um edifício em 50 dias.
Em quantos dias 20 pintores farão o mesmo serviço, num edifício similar, se trabalharem 12 horas
por dia? Resposta: 25 dias
10) Num destacamento militar com 400 homens há estoque de gênero alimentícios suficiente para 30
dias. Se chegar o reforço de 350 homens, quantos dias durará esse estoque ? Resposta: 16 dias
11) Para fazer o assoalho de uma sala, utiliza-se 63 tábuas de 2,8 m de comprimento por 0,25 m de
largura. Se usarmos tacos de 21 cm de comprimento por 7 cm de largura quantos tacos serão
necessários? Resposta: 3.000 tacos
12) (MAUÁ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por dia.
20 homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia gastarão?
Resposta: 24 dias
13) Sabendo que 14 trabalhadores, trabalhando 10 dias de 8 horas, conseguem fazer 56.000 metros de
certo tecido. Quantos dias de 6 horas serão necessários a 9 trabalhadores para fazerem 32.400
metros do mesmo tecido? Resposta: 12 dias
14) Sabendo que 20 trabalhadores, em 10 dias de 8 horas, conseguem fazer 16.000 metros de certo
tecido. Quantos dias de 10 horas seriam necessários para 10 trabalhadores, fazerem 32.000 metros
do mesmo tecido? Resposta: 32 dias
21
3.5. Cuidado com a regra de três:
Exemplos:
1) Um trabalhador recebeu a incumbência de fazer a capinação de um terreno circular de 3 metros de
raio, cobrando pelo trabalho o valor R$ 10,00. Qual seria o preço justo a ser cobrado para capinar
um terreno semelhante, porém com 6 metros de raio?
a) R$ 20,00
b) R$ 30,00
c) R$ 35,00
d) R$ 40,00
e) R$ 45,00
Nota: Capinação: ação de capinar; retirar do solo, a planta gramínea conhecida como capim.
Solução:
Alguns mais apressados, seriam levados a afirmar imediatamente e equivocadamente, que deveria ser
cobrado R$ R$ 20,00, uma vez que 6 metros é o dobro de 3 metros. A pressa é inimiga da perfeição.
Observe que a área a ser capinada é igual a A = π × r 2 , onde r é o raio do círculo a ser capinado.
Assim, sendo r = 3 m ⇒ A1 = π × 3 2 = 9π m 2 (metros quadrados). Por outro lado, na capinação de
uma área circular de 6 metros de raio, ele teria capinado uma área A2 = π × 6 2 = 36π m 2 .
Formamos agora, a seguinte regra de três simples e direta:
2
Preço (em R$)
Área (em m )
9π
10
x
36π
Como o preço a ser cobrado, deve ser diretamente proporcional ao trabalho realizado, vem
imediatamente que:
10 9π
10 9
=
⇒
=
⇒ 360 = 9 x ⇒ x = 40
x 36π
x 36
Portanto, o valor justo a ser cobrado é de R$ 40,00.
1) Se 2 gatos comem 2 ratos em 2 minutos, 3 gatos comerão 3 ratos em quantos minutos?
Solução:
1a forma) Usando a regra de três composta:
Gatos
Ratos
Tempo (minutos)
2
2
2
3
3
x
2 2 3
2 6
2
= × ⇒ = ⇒ =1⇒ x = 2
x 3 2
x 6
x
a
2 forma) Usando lógica:
Como cada gato come um rato em 2 minutos e, cada gato irá comer 1 rato, gastarão 2 minutos.
2) Admitindo que os gatos têm apetite insaciável e que um gato come um rato em dois minutos,
complete os espaços vazios, para que a sentença seja verdadeira.
a) Um gato come dois ratos em ...... minutos.
b) Dois gatos comem ...... ratos em dois minutos.
c) ...... gatos comem seis ratos em seis minutos.
d) Quatro gatos comem quatro ratos em ...... minutos.
Resposta: a) 4
b) 2
c) 2
d) 2
22
3.6. CÂMBIO & INDICADORES ECONÔMICOS: UMA APLICAÇÃO DA REGRA DE TRÊS
Definição: É a conversão (troca) entre moedas de dois países. Se a cotação do dólar americano estiver
por exemplo, R$ 2,85, já sabemos de antemão que na compra de um dólar gastaremos R$ 2,85, na
compra de dois R$ 5,70, na compra de três R$ 8,55 e assim por diante, percebe-se então que as
operações de câmbio têm exatamente a estrutura de uma regra de três simples e direta.
A seguir, tem-se uma tabela com as principais moedas mundiais, seus símbolos e respectivos países.
MOEDA
Marco alemão
Peso
Dólar
Euro
Franco francês
Libra-esterlina
Lira italiana
Iene
Escudo
Real
•
Símbolo (exemplo)
US$ 100,00
E$ 100,00
R$ 100,00
DÓLAR: (data de referência: 07 julho de 2.005)
Tipos de dólares
Comercial
Paralelo
Turismo
Comercial (BC)
•
Compra
R$ 2,3940
R$ 2,6230
R$ 2,3100
R$ 2,3660
Venda
R$ 2,3960
R$ 2,7000
R$ 2,4700
R$ 2,3668
Usando em ...
Exportações
Extra oficial
Viagens
Banco Central
Venda
R$ 2,9270
Usando em ...
Viagens
EURO: (data de referência: 07 julhode 2.005)
Euro
Turismo
•
PAÍS
Alemanha
Argentina
Estados Unidos da América (E.U.A.)
Europa
França
Grã-Bretanha
Itália
Japão
Portugal
Brasil
Compra
R$ 2,7230
Principais bolsas de valores (do ponto de vista do Brasil):
BOLSAS DE VALORES
Paulista
Ibovespa (-0,64%)
Americana
Dow Jones (-0,98%)
Informática
Nasdaq (-0,49%)
Cotação do trigo
Chicago
Fonte: www.estadao.com.br
Exemplos:
1) Uma pessoa queria viajar para os Estados Unidos levando R$ 12.000,00 para a viagem. Quantos
dólares conseguirá comprar sabendo que a cotação do dólar é de R$ 2,85? Resposta: US$ 4.210,53
2) No último carnaval um turista Francês dispunha de 2.000 EUROS (moeda do mercado comum
europeu) para o seu lazer. Chegando ao Brasil, naturalmente fez a troca de moedas. Sabendo que
na época um EURO estava cotado a US$ 1,16 e um dólar a R$ 2,85 reais. Quantos reais conseguiu
adquirir? Resposta: R$ 6.612,00
23
3.6.2. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Um turista americano deseja passar o carnaval no Rio de Janeiro, para isto dispõe de US$ 5.000.
Quantos reais ele conseguirá comprar, sabendo que com 1 dólar posso comprar 2,85 reais?
Resposta: R$ 14.250,00
2) Adquiri uma passagem para os Estados Unidos com pagamento para 60 dias no valor de
US$ 500,00. Na data de aquisição o dólar estava cotado a 2,25 reais. Com a variação cambial
flutuante implantada no país, o dólar passou a ser cotado a 2,85 reais, na época do pagamento.
Quanto paguei a mais por comprar a prazo a passagem? Resposta: R$ 300,00
3) Pesquise o valor atual das moedas apresentadas anteriormente, bem como o símbolo usado para
representar as mesmas. Pesquise, ainda, outras moedas não listadas na tabela anterior. Livre
•
Outros indicadores
-
Salário Mínimo => R$ 260,00
TR – Taxa Referencial => 0,1299% ao mês => Atualmente a TR equivale a 65% da Taxa Básica
Financeira (TBF). Em cima dessa taxa, o Banco Central ainda aplica um redutor, com o objetivo de
“descontar” a inflação. Nota: Cada dia possui um valor.
Poupança => 0,6889% ao mês
CPMF (Contribuição Provisória, PERMANENTE, sobre a Movimentação Financeira) => 0,38%
IOF (Imposto sobre Operação Financeira) => 6% ao ano
Ouro => R$ 35,60 por grama
TBF (Taxa Básica Financeira) => 1,2213% ao mês.
TJLP (Taxa de Juros de Longo Prazo) => 9,75% ao ano com capitalização trimestral, ou seja, taxa
anual com corrigida trimestralmente. Na realidade: 10,11% ao ano.
Taxa de juros SELIC (Sistema Especial de Liquidação e Custódia) => A taxa de juros relativa ao
mês de janeiro de 2004, aplicável na cobrança, restituição ou compensação dos tributos e
contribuições federais, a desde o mês de maio de 2004 é de 18,25% ao ano. Os bancos quando vão
captar recursos pagam essa taxa. Ela é utilizada em operações entre bancos. A divida pública do
Brasil é corrigida por essa taxa. Os recursos externos aplicados no Brasil recebem como
remuneração a SELIC. Quem empresta para o governo recebe como remuneração a taxa SELIC
que é determinado todo mês pelo Banco Central do Brasil.
-
• Caderneta de poupança: Quais são os juros das cadernetas de poupança?
Atualmente está em vigor para a caderneta de poupança a taxa mensal referencial TR de juros
acrescida de taxa efetiva de 0,5% ao mês com aniversário das contas nos dias de suas aberturas, ou
seja:
Remuneração da poupança => 6%/12 + TR = 0,5% + TR
•
Arrendamento mercantil (leasing)
Arrendamento mercantil (leasing, em inglês) é a locação de um bem (com todas as vantagens
resultantes de se considerar uma locação como despesa contábil visando diminuição do imposto de
renda), acrescido do direito da compra do bem no final da locação por valor convencionado no
contrato de arrendamento.
24
Conforme os valores considerados e as taxas de juros, pode haver preferência pela compra, pela
locação ou pelo arrendamento mercantil.
• PARA ONDE VAI O SEU DINHEIRO
Tributo
CPMF
Alíquota
0,38%
FGTS
ICMS
8% ao empregado
0,5% ao governo
De 0% até 25%
IPVA
De 0% até 6%
IPTU
IR
De 0% até 1,5%
De 0% até 27,5%
INSS Autônomos
e Empresários
INSS
Empregados
INSS Patronal
20%
•
Destino da arrecadação
Os recursos da arrecadação devem ser destinados integralmente ao Fundo
Nacional de Saúde, para financiamento das ações e serviços de saúde.
Os valores recolhidos irão Integrar o Fundo de Garantia por Tempo de Serviço
de cada empregado.
O produto da arrecadação será repartido, cabendo 25% aos Municípios e o
restante ao próprio Estado.
Haverá repartição da arrecadação cabendo aos Municípios 50% do produto
arrecadado dos veículos automotores licenciados em seu território.
Competência Privativa do Município.
A união entregará 21,50% da arrecadação ao Fundo de Participação dos
Estados e Distrito Federal, 22,50% ao Fundo de Participação dos Municípios e
3% para aplicação em Programas de financiamento ao setor Produtivo das
Regiões Norte, Nordeste e Centro-Oeste.
De 7,65% até 11% Custeio da Seguridade Social.
20%
Fonte: Adaptado de Azevedo Sette Advogados
IMPOSTOS => Conheça o imposto contido em alguns produtos
Produtos
Sabão em pó
Detergente
Carne bovina
Peixe
Feijão
Leite
Macarrão
Óleo
Água mineral
Cerveja (lata)
Cachaça
Sabonete
Shampoo
Pasta de dentes
Cigarro
Brinquedo
Fogão 4 bocas
Gasolina
Telefone celular
TV
Roupas
Sapato
Conta de água
Conta de energia
Telefonia
Automóvel 1.0
Automóvel (acima de 1.0)
Parcela de impostos
embutidos (%)
42,27%
40,50%
18,67%
18,02%
18,00%
19,24%
35,20%
57,18%
45,11%
56,00%
83,07%
42,00%
52,33%
42,00%
81,68%
41,98%
39,50%
53,03%
57,18%
38,00%
37,84%
37,37%
29,83%
45,81%
46,65%
39,29%
43,63%
25
Média desses produtos
43,01%
Fonte: Instituto Brasileiro de Planejamento Tributário (IBPT)
No Brasil, a carga tributária é bastante alta, aproximadamente 40% do Produto Interno Bruto (PIB).
Segundo o IBTP, 75% do imposto arrecadado no Brasil tem origem nos salários e no faturamento das
indústrias, e 25% vem do patrimônio e do capital financeiro.
•
•
•
•
•
•
ICMS => Imposto sobre Circulação de Mercadorias e Serviços (alíquotas definida por cada estado)
IPI => Imposto sobre Produtos Industrializados
COFINS => Contribuição para o Financiamento da Seguridade Social
II => Imposto sobre Importação
CSLL => Contribuição Social sobre Lucro Líquido
ISS => Impostos Sobre Serviços
Nota: A maioria dos impostos estão embutidos no preço dos produtos e o consumidor desconhece o
fato.
•
RENDIMENTOS 2003/2004
Poupança
SELIC
TBF
TR
CDI
12 meses (2003)
11,10%
23,35%
22,25%
4,65%
23,25%
12 meses (2004)
8,10%
16,25%
15,61%
1,82%
16,17%
Fonte: Banco Central
•
INFLAÇÃO 2003/2004
12 meses (2003)
8,71%
10,38%
9,30%
8,17%
IGP-M (FGV)
INPC (IBGE)
IPCA (IBGE)
IPC (FIPE)
12 meses (2004)
12,42%
6,13%
7,60%
6,57%
Fonte: Banco Central
A inflação medida pelo IGP-M (FGV), em 2003, foi de 8,71%.
Considerando os ganhos com a poupança em 2003, temos:
Rentabilidade Real = Ganho Nominal – Inflação
Assim, 11,10% - 8,71% = 2,39%.
Por outro lado, a inflação medida pelo IGP-M (FGV), em 2004, foi de 12,42%.
Considerando os ganhos com a poupança em 2004, temos:
Rentabilidade Real = Ganho Nominal – Inflação
Assim, 8,10% - 12,42% = - 4,32%.
26
AGRONEGÓCIO
Definição: Como o próprio nome diz, são todas as atividades econômicas e financeiras que envolvem
os produtos agropecuários, desde o plantio de grãos, lavouras, até o extrativismo vegetal, bem como a
criação de gado e a comercialização e distribuição de todos esses produtos, incluindo importação e
exportação.
Em números, o Brasil:
•
•
•
•
•
•
É o primeiro produtor mundial de café, açúcar e suco de laranja.
Hoje, ainda somos por pouco tempo, o segundo produtor mundial de soja, milho, frango e carne
bovina.
Temos hoje cerca de 45 milhões a 50 milhões de hectares cultivados e temos capacidade de
duplicar isso, elevar em mais de 90 milhões de hectares áreas cultiváveis, sem derrubar florestas.
Nos últimos 10 anos, a produção quase dobrou saiu de 70 milhões de toneladas para 120 milhões
praticamente mantendo a mesma área de terra.
A produtividade da soja brasileira hoje é da média de 49 sacas por hectare, enquanto que os
Estados Unidos, que algum tempo atrás eram a referência, não passam de 40 sacas por hectare.
O setor de agronegócios responde por 29% do Produto Interno Bruto (PIB), 37% dos empregos e
41% das exportações.
No Paraná, o agronegócio representa 30% PIB e o setor que mais vem crescendo dentro do
agronegócio é o de grãos, que responde pela maior fatia, bem como no sudoeste, principalmente soja,
milho e trigo.
A região sudoeste é que concentra o maior número de mini e pequenos produtores do estado. O
produtor pratica o agronegócio através do plantio, colheita e comercialização do grão.
27
4. PORCENTAGEM
4.1. Definição:
Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas
relacionadas com porcentagem. O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer
por cem. Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou
simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.
Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos
do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações
mercantis.
Nota: Em matemática, a preposição “de” indica multiplicação.
Exemplos:
1) A jogadora Hortência acertou 75% de seus arremessos, numa partida de basquete. (i) Se ela
efetuou 100 arremessos, quantos ela acertou? E se tivesse arremessado: (ii) 200 vezes? (iii) 4
vezes? (iv) 28 vezes? Resposta: (i) 75; (ii) 150; (iii) 3; (iv) 21
2) Quanto vale:
a) 35% de R$ 90,00
b) 28% de R$ 425,00
Resposta: a) R$ 31,50 b) R$ 119,00
c) 128% de R$ 5,00
c) R$ 6,40
d) 4,5% de R$ 43,50
d) R$ 1,96
3) Numa excursão para a Europa, a Seleção Brasileira de Futebol realizou 12 partidas, das quais
venceu 9. Qual a porcentagem de vitórias? Resposta: 75%
4) Uma mercadoria que custava R$ 54,00 teve um acréscimo de 25%. Quanto passou a custar?
Resposta: R$ 67,50
5) O preço de uma camisa a prazo está R$ 32,00, a vista tem 15% de desconto. Qual o preço à vista?
Resposta: R$ 27,20
6) Os dados publicados na revista Veja de 12/04/2.000 mostram que, de cada 100 pessoas com o
ensino médio, apenas 54 conseguem emprego. Se num determinado grupo de 3.000 pessoas, 25%
têm ensino médio, o número provável de pessoas do grupo, com ensino médio, que, de acordo com
os dados da pesquisa irão conseguir emprego, é: Resposta: b
a) 375
b) 405
c) 450
d) 750
e) 1.620
Solução:
25 54
= 405
31
.2
000
% × 54
% = 3.000 ×
×
{
{
3 × 25
100 100
ensino médio
emprego
pessoas
28
4.2. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Calcular:
a) 25% de R$ 800,00
b) 10% de R$ 70,00
c) 30% de R$ 520,00
d) 2,3% de R$ 230,00
e) 0,5% de R$ 120,00
f) 12% de R$ 24,00
Resposta: a) R$ 200,00
d) R$ 5,29
b) R$ 7,00
e) R$ 0,60
c) R$ 156,00
f) R$ 2,88
2) Um artigo que custava R$ 360,00 está sendo vendido com desconto de 12%. Por quanto está sendo
vendido? Resposta: R$ 316,80
3) Após um aumento de 10% nosso colégio tem hoje 682 alunos. Quantos alunos havia antes desse
aumento? Resposta: 620 alunos
4) A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantas pessoas serão aprovadas num
concurso público com 6.500 inscritos? Resposta: 1.170 pessoas
5) Numa cidade 45% da população são do sexo masculino. Qual é a população desta cidade, se nela
reside 60.500 do sexo feminino? Resposta: A população é de 110.000 habitantes
6) Um vendedor ganha 3% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido R$ 300,00 de
comissão, quanto vendeu? Resposta: R$ 10.000,00
7) Sabendo que certa mistura foi feita com 12 litros de água e 8 litros de álcool, determinar a
porcentagem de álcool na mistura? Resposta: 40%
8) Numa turma, 80% dos alunos foram aprovado, 15% reprovados e os 6 alunos restantes desistiram
do curso. Qual a quantidade de alunos da turma? Resposta: 120 alunos
9) Uma prova de concurso tem 50 questões. Um candidato acertou 35. Qual a taxa percentual
correspondente aos acertos? Resposta: 70%
10) Em uma fábrica trabalha 1.140 homens. Sabendo que as mulheres constitui 43% dos empregados,
quantos trabalham nesta fábrica? Resposta: 2.000 pessoas
29
11) Fiz uma compra e obtive um desconto de 8% correspondendo a R$ 15,00. Quanto paguei por esta
mercadoria? Resposta: R$ 172,50
12) Numa industria 18% dos empregados são estrangeiros. Sabendo que a industria tem 950
empregados, quantos são brasileiros? Resposta: 779 brasileiros
13) Do que eu recebo 5% vão para a poupança, 15% com despesas médicas e odontológicas, 30% para
alimentação, 10% para o lazer, 25% para o aluguel. Com os R$150,00 que sobram eu me visto.
Qual o meu salário? Resposta: R$ 1.000,00
14) Poderei obter abatimento de 15% para pagamento á vista na compra de uma geladeira que custa
R$ 480,00. Quanto pagarei pela geladeira nestas condições? Resposta: R$ 408,00
15) (FGV) Se o comprimento de um retângulo for aumentado em 10% e a largura em 40%, qual o
aumento da área do retângulo? Resposta: 54%
a) 4%
b) 15,4%
c) 50%
d) 54%
e) 400%
16) Se o lado de um quadrado for aumentado em 20% o outro diminuído em 20% a sua área:
a) Aumenta 4%
b) diminui 4%
c) fica a mesma
d) depende
e) n.d.a.
Resposta: diminui 4%
17) Foi autorizado um aumento de 40% no preço de um artigo, mas a indústria resolveu aumentar
apenas 80% da taxa autorizada. Qual a taxa de aumento dada? Resposta: 32%
18) Qual a taxa equivalente a dois aumentos consecutivos de 20% mais 20%? Resposta: 44%
19) Uma loja aumentou seus preços em 25%. Numa liquidação, que desconto ela deve oferecer para
vender pelos preços anteriores ao reajuste? Resposta: 20%
20) (UNICAMP-SP) Uma pessoa investiu R$ 3.000,00 em ações. No primeiro mês ela perdeu 40% do
total investido e no segundo mês ela recuperou 30% do que havia perdido.
a) Com quantos reais ela ficou após os dois meses? Resposta: R$ 2.160,00
b) Qual foi seu prejuízo após os dois meses, em porcentagem sobre o valor do investimento inicial?
Resposta: 28%
30
4.3. APLICAÇÕES
4.3.1. FGTS - FUNDO DE GARANTIA DO TEMPO DE SERVIÇO
Alíquota única de 8% sobre os vencimentos, antes do desconto do INSS, pago pela empresa
O FGTS é uma poupança aberta pela empresa em nome do trabalhador, onde todo mês ela deve
depositar o relativo a 8% do valor do salário que ele recebe. Essa conta rende Juros e Atualização
Monetária (JAM). No final do período de um ano, a soma de todos os depósitos eqüivale a mais de um
salário bruto mensal. Para um funcionário que ganha R$ 1.000,00 no mês, por exemplo, temos:
12 depósitos de R$ 80,00
1 depósito de R$ 80,00 (13o salário)
1 depósito de R$ 26,66 (1/3 férias)
Subtotal
+ Juros Anuais + Correção Monetária
R$ 960,00
R$ 80,00
R$ 26,66
R$ 1.066,00
R$ ?????
Nota: A empresa é obrigada, também, a pagar uma taxa de 0,5% ao governo federal (INSS).
Os tipos de conta do o FGTS está dividido em dois tipos de contas, ativas e inativas:
Conta ativa: é a que mensalmente está recebendo depósitos pela empresa, durante o período em que
você está trabalhando. Esta conta rende Juros e Atualização Monetária.
Conta inativa: é a que deixa de receber depósitos, pois o trabalhador saiu da empresa e não sacou a
conta. Esta conta continua rendendo Juros e Atualização Monetária (JAM) até o trabalhador sacá-la.
As situações em que se pode sacar o FGTS
•
•
•
•
•
•
•
Demissão sem justa causa (a empresa deverá pagar uma multa de 50% do valor do FGTS, sendo
40% para o empregado e 10% para o governo federal, INSS);
Extinção (fechamento) da empresa;
Aquisição de casa própria;
Falecimento do trabalhador (dependentes);
Tratamento de doenças como CÂNCER ou AIDS;
Aposentadoria;
Contas inativas (paradas, sem depósitos ou saques) a mais de 3 anos, e outras.
Juros e Atualização Monetária (JAM)
Juros: As contas abertas a partir de 23/09/1971 sempre rendem 3% ao ano.
Atualização Monetária: corresponde à taxa de inflação do período, que tem por objetivo manter o
poder aquisitivo do FGTS. Atualmente, o FGTS é corrigido pela variação da TR (Taxa Referencial), a
mesma que corrige as Cadernetas de Poupança.
Nota: Em geral, o servidor público não tem FGTS.
31
4.3.2. INSS - INSTITUTO NACIONAL DE SEGURIDADE SOCIAL
A Constituição Federal de 1.988 criou o Sistema de Seguridade Social destinado a assegurar o direito
de todos os trabalhadores à saúde, à assistência e à previdência. A seguir, tem-se uma tabela com os
salários de contribuição, bem como as alíquotas para fins de recolhimento ao INSS (Instituto Nacional
de Seguridade Social).
Tabelas de contribuição mensal, para pagamento de remuneração a partir de agosto de 2004
•
Segurados empregados, inclusive domésticos e trabalhadores avulsos
Salário de contribuição
até R$ 752,62
de R$ 752,63 até R$ 780,00
de R$ 780,01 até R$ 1.254,36
de R$ 1.254,37 até R$ 2.508,72
acima de R$ 2.508,72
Alíquota
7,65%
8,65%
9,00%
11%
R$ 275,95
Variação de contribuição: Mínimo ⇒ 7,65% , ou seja, R$ 260,00 x 7,65% = R$ 19,89
Máximo ⇒ 11%, ou seja, R$ 2.508,72 x 11% = R$ 275,95
AS EMPRESAS QUANTO PAGAM DE INSS? 20% do salário bruto de cada empregado, mais 1%
de seguro patronal.
Nota: No caso de empregados domésticos, a alíquota é de 7,65%, 8,65%, 9% ou 11%, dependendo da
remuneração, e mais a parte do empregador que é de 12%.
•
Segurados contribuinte individual e facultativo
Salário de contribuição
de R$ 260,00 (valor mínimo) até
R$ 2.508,72 (valor máximo)
Alíquota
20,00%
Variação de contribuição: Mínimo => 20%, ou seja, R$ 260,00 x 20% = R$ 52,00
Máximo => 20%, ou seja, R$ 2.508,72 x 20% = R$ 501,74
Nota: O teto máximo de aposentadoria (desde a reforma da previdência) passou a ser de R$ 2.400,00.
⎧
⎧65 anos de idade, e
⎪ Homens ⇒ ⎨
⎩35 anos de contribuição
⎪
APOSENTADORIA - CRITÉRIO: ⎨
⎪Mulheres ⇒ ⎧60 anos de idade, e
⎨
⎪
⎩30 anos de contribuição
⎩
REFLETINDO: O servidor público contribui com a íntegra de seu salário para a Previdência Social e
devido a isso, tem direito à aposentadoria integral. O Estado, patrão do servidor público, não contribui
com a sua parte. Além disso, é importante salientar que a cota paga pelo patrão do trabalhador privado
é repassada para os custos bens e serviços, sendo paga, na prática, pelo consumidor final, incluindo
assim toda a sociedade, inclusive o servidor público.
32
4.3.2. IRPF - IMPOSTO DE RENDA DA PESSOA FÍSICA
A tabela a seguir mostra as várias faixas para desconto do Imposto de Renda da Pessoa Física (IRPF)
na fonte de pagamento, para janeiro de 2.004.
Base de cálculo
até R$ 1.164,00
de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00
acima de R$ 2.326,00
Dedução por dependente
Alíquota
Dedução
isento
15%
R$ 174,60
27,5%
R$ 465,35
R$ 117,00
Nota: A dedução por dependente hoje é de R$ 117,00, aplicada após o pagamento do INSS.
Exemplos:
1) Mostre como se determinam os valores da dedução;
a) R$ 174,60
b) R$ 465,35
Solução:
Solução:
R$ 1.164,00 x 15% = R$ 174,60
1a Parte) R$ 1.164,00 x 27,5% = R$ 320,10
2a Parte) (R$ 2.326,00 – R$ 1.164,00) x (27,5% –15%) =
R$ 1.062,00 x 12,5% = R$ 145,25
A dedução é a soma desses dois valores, ou seja,
R$ 320,10 + R$ 145,25 = R$ 465,35
2) Apresente, de forma resumida, a forma de cálculo do FGTS, INSS, Base de Cálculo, IRPF, Salário
Líquido, Desconto e Percentual de Desconto.
Solução:
Denominado de Salário Bruto (SB) o Salário de Contribuição (SC), temos:
•
FGTS => Salário Bruto × Alíquota (alíquota única de 8%).
•
INSS => Salário Bruto × Alíquota (para salários até R$ 2.508,72, as alíquotas são: 7,65% ou 9%
ou 11%, dependo da faixa onde se encontra o salário analisado); acima deste valor o INSS é fixo
em R$ 275,95, ou seja, 11% de R$ 2.508,72.
Nota: Para calcular o IRPF, faz-se necessário primeiramente determinar a base de cálculo.
•
Base de Cálculo => Salário Bruto – INSS - No de Dependentes × Dedução por Dependente
(atualmente R$ 117,00 por dependente)
•
IRPF => Base de Cálculo × Alíquota (as alíquotas são: isento = 0% ou 15% ou 27,5%,
dependendo da Base de Cálculo) – Dedução ( R$ 0,00 ou R$ 174,60 ou R$ 465,35, dependo da
Base de Cálculo)
•
Salário Líquido = Salário Bruto – INSS – IRPF
•
Desconto = Salário Bruto – Salário Líquido
•
Sugestão para determinação do percentual de desconto:
R$
Faça uma regra de três simples e direta => Salário Bruto
Desconto
%
100
x
33
3) Considerando um trabalhador com salário de contribuição de R$ 1.708,39 e possuindo dois
dependentes, calcule:
a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a
alíquota única é de 8%.
b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir:
Salário de contribuição
até R$ 752,62
de R$ 752,63 até R$ 780,00
de R$ 780,01 até R$ 1.254,36
de R$ 1.254,37 até de R$ 2.508,72
acima de R$ 2.508,72
Alíquota
7,65%
8,65%
9,00%
11%
R$ 275,95
c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:
Alíquota
Dedução
Base de cálculo
isento
até R$ 1.164,00
15%
R$ 174,60
de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00
27,5%
R$ 465,35
acima de R$ 2.326,00
R$ 117,00
Dedução por dependente
d) O salário líquido.
e) Qual o percentual de desconto total?
Solução:
a) FGTS => 8% de R$ 1.708,39 = R$ 136,67
b) INSS => 11% de R$ 1.708,39 = R$ 187,92
c) IRPF => Base de Cálculo => Salário Bruto – INSS - No de Dependentes × Dedução por Dependente
Base de Cálculo = R$ 1.708,39 – R$ 187,92 – 2 × R$ 117,00 = R$ 1.286,47
IRPF => 15% de R$ 1.286,47 – dedução = R$ 192,97 – R$ 174,60 = R$ 18,37
d) Salário Líquido => Salário de Contribuição – INSS – IRPF
Salário Líquido => R$ 1.708,39 – R$ 187,92 – R$ 18,37 = R$ 1.502,10
e) 1a forma) Desconto = Salário Bruto – Salário Líquido
R$ 1.708,39 – R$ 1.502,10 = R$ 206,29
Faça uma regra de três simples e direta =>
R$
Salário Bruto
%
R$
100 ⇒ 1.708,39
Desconto
x
206,29
%
20.629
100 ⇒ x =
≅ 12,08
1.708,39
x
Portanto, o percentual de desconto é de 12,08%.
e) 2a forma) O percentual é de: 1 −
1.502,10
≅ 12,08%
1.708,39
34
4.4. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Considerando, os salários listados a seguir e o número de dependentes igual a 2, calcule:
a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a
alíquota única é de 8%.
b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir:
Salário de contribuição
Alíquota
7,65%
até R$ 752,62
8,65%
de R$ 752,63 até R$ 780,00
9,00%
de R$ 780,01 até R$ 1.254,36
11%
de R$ 1.254,37 até de R$ 2.508,72
R$ 275,95
acima de R$ 2.508,72
c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:
Alíquota
Dedução
Base de cálculo
isento
até R$ 1.164,00
15%
R$ 174,60
de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00
27,5%
R$ 465,35
acima de R$ 2.326,00
R$ 117,00
Dedução por dependente
d) O salário líquido.
e) Qual o percentual de desconto total?
Salários a serem considerados:
i) R$ 1.000,00
ii) R$ 1.500,00
Respostas:
i) a) R$ 80,00
ii) a) R$ 120,00
iii) a) R$ 160,00
iv) a) R$ 200,00
v) a) R$ 240,00
b) R$ 90,00
b) R$ 165,00
b) R$ 220,00
b) R$ 275,00
b) R$ 275,95
iii) R$ 2.000,00
c) R$ 0,00
c) R$ 0,00
c) R$ 57,30
c) R$ 124,05
c) R$ 219,41
iv) R$ 2.500,00
d) R$ 910,00
d) R$ 1.335,00
d) R$ 1.722,70
d) R$ 2.100,95
d) R$ 2.504,64
v) R$ 3.000,00
e) 9%
e) 11%
e) 13,87%
e) 15,96%
e) 16,51%
2)
a)
b)
c)
Determine o valor do IRPF a ser descontado na fonte de pagamento se a base de cálculo for:
R$ 600,00 Resposta: R$ 0,00
R$ 1.200,00 Resposta: R$ 5,40
R$ 2.400,00 Resposta: R$ 194,65
3)
a)
b)
c)
d)
Tomando como base a tabela do IRPF, determine:
O IRPF para uma base de cálculo de R$ 1.500,00. Resposta: R$ 50,40
O IRPF para uma base de cálculo de R$ 2.000,00. Resposta: R$ 125,40
O IRPF para uma base de cálculo de R$ 2.500,00. Resposta: R$ 222,15
O IRPF para uma base de cálculo de R$ 3.000,00. Resposta: R$ 359,65
4) No Brasil, até dezembro de 2.003, um empregado doméstico contribuía com 8% de seu salário
bruto para o INSS, enquanto a contribuição do seu empregador era de 12% do salário bruto do
empregado. Dona Márcia era empregada doméstica com um salário de R$ 300,00.
a) Qual foi o seu salário líquido? Resposta: R$ 276,00
b) Qual foi o valor da contribuição de seu empregador para o INSS? Resposta: R$ 36,00
c) Quanto recebeu o INSS pelo salário de Márcia? Resposta: R$ 60,00
5) E, se o salário de Márcia fosse de R$ 400,00. Resposta: a) R$ 368,00 b) R$ 48,00 c) R$ 80,00
6) E ainda, se o salário de Márcia fosse de R$ 500,00 Resposta: a)R$ 460,00 b)R$ 60,00 c)R$ 100,00
35
7) Considerando um trabalhador com salário de R$ 1.800,00 e possuindo 2 dependentes, calcule:
a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a
alíquota única é de 8%.
b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir:
Salário de contribuição
até R$ 752,62
de R$ 752,63 até R$ 780,00
de R$ 780,01 até R$ 1.254,36
Alíquota
7,65%
8,65%
9,00%
11%
R$ 275,95
de R$ 1.254,37 até de R$ 2.508,72
acima de R$ 2.508,72
c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:
Base de cálculo
até R$ 1.164,00
de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00
acima de R$ 2.326,00
Dedução por dependente
Alíquota
Dedução
isento
15%
R$ 174,60
27,5%
R$ 465,35
R$ 117,00
d) O salário líquido.
e) Qual o percentual de desconto total?
Solução: a) FGTS => 8% de R$ 1.800,00 = R$ 144,00
b) INSS => 11% de R$ 1.800,00 = R$ 198,00
c) IRPF => Salário de contribuição = R$ 1.800,00 – R$ 198,00 – 2 * R$ 117,00 = R$ 1.368,00
IRPF => (15% de R$ 1.368,00) – dedução = R$ 205,52 – R$ 174,60 = R$ 30,60
d) Salário líquido => R$ 1.800,00 – INSS – IRPF
Salário líquido => R$ 1.800,00 – R$ 198,00 – R$ 30,60 = R$ 1.571,40
1.571,40
e) O percentual é de: 1 −
≅ 12,70%
1.800,00
8) Considerando um trabalhador com salário de R$ 1.900,00 e possuindo 2 dependentes, calcule:
a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a
alíquota única é de 8%.
b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir:
Salário de contribuição
até R$ 752,62
de R$ 752,63 até R$ 780,00
de R$ 780,01 até R$ 1.254,36
Alíquota
7,65%
8,65%
9,00%
11%
R$ 275,95
de R$ 1.254,37 até de R$ 2.508,72
acima de R$ 2.508,72
c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:
Base de cálculo
até R$ 1.164,00
de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00
acima de R$ 2.326,00
Dedução por dependente
Alíquota
Dedução
isento
15%
R$ 174,60
27,5%
R$ 465,35
R$ 117,00
d) O salário líquido.
e) Qual o percentual de desconto total?
Solução: a) FGTS => 8% de R$ 1.900,00 = R$ 152,00
b) INSS => 11% de R$ 1.900,00 = R$ 209,00
c) IRPF => Salário de contribuição = R$ 1.900,00 – R$ 209,00 – 2 * R$ 117,00 = R$ 1.457,00
IRPF => (15% de R$ 1.457,00) – dedução = R$ 218,55 – R$ 174,60 = R$ 43,95
d) Salário líquido => R$ 1.900,00 – INSS – IRPF
Salário líquido => R$ 1.900,00 – R$ 209,00 – R$ 43,95 = R$ 1.647,05
1.647,05
e) O percentual é de: 1 −
≅ 13,31%
1.900,00
36
9) Considerando um trabalhador com salário de R$ 1.950,00 e possuindo 3 dependentes, calcule:
a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a
alíquota única é de 8%.
b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir:
Salário de contribuição
Alíquota
7,65%
até R$ 752,62
8,65%
de R$ 752,63 até R$ 780,00
9,00%
de R$ 780,01 até R$ 1.254,36
11%
de R$ 1.254,37 até de R$ 2.508,72
R$ 275,95
acima de R$ 2.508,72
c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:
Alíquota
Dedução
Base de cálculo
isento
até R$ 1.164,00
15%
R$ 174,60
de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00
27,5%
R$ 465,35
acima de R$ 2.326,00
R$ 117,00
Dedução por dependente
d) O salário líquido.
e) Qual o percentual de desconto total?
Resposta: a) R$ 156,00
b) R$ 214,50
c) R$ 33,08
d) R$ 1.702,43
e) 12,70%
10) Considerando um trabalhador com salário de R$ 1.850,00 e possuindo 3 dependentes, calcule:
a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a
alíquota única é de 8%.
b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir:
Salário de contribuição
Alíquota
7,65%
até R$ 752,62
8,65%
de R$ 752,63 até R$ 780,00
9,00%
de R$ 780,01 até R$ 1.254,36
11%
de R$ 1.254,37 até de R$ 2.508,72
R$ 275,95
acima de R$ 2.508,72
c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:
Alíquota
Dedução
Base de cálculo
isento
até R$ 1.164,00
15%
R$ 174,60
de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00
27,5%
R$ 465,35
acima de R$ 2.326,00
R$ 117,00
Dedução por dependente
d) O salário líquido
e) Qual o percentual de desconto total?
Resposta: a) R$ 148,00
b) R$ 203,50
c) R$ 19,73
d) R$ 1.626,78
e) 12,07%
11) Faça os cálculos anteriores, usando para isto o seu salário ou o salário dos seus sonhos.
37
4.5. TELAS ESCRITAS NA PLANILHA ELETRÔNICA MICROSOFT EXCEL® PARA
OTIMIZAÇÃO DOS CÁLCULOS DOS TRIBUTOS ESTUDADOS
•
Tela para os Servidores do Setor Privado
•
Tela para os Servidores do Setor Público
•
Breve comparativo: Servidor Privado x Público
38