Problema 8
Os fabricantes de fios às vezes usam um laser para monitorar continuamente a espessura do
produto. O fio intercepta a luz do laser, produzindo uma figura de difração parecida com a
de uma fenda com a mesma largura que o diâmetro do fio. Suponha que o fio é iluminado
com um laser de He-Ne, com um comprimento de onda de 632,8nm e que a figura de
difração aprece em uma tela situada a uma distância L=2,6m do fio. Se o diâmetro do fio é
1,37mm, qual é a distância observada entre dois mínimos de décima ordem, um de cada
lado do máximo central?
Fio de
tecido
Posição dos mínimos (equivalente a uma fenda):
sin θ =
a sin θ = mλ
mλ
a
sin θ = tgθ =
y mλ
=
L
a
y
L
y=
a
laser
L
mλ
L
a
10 ⋅ 632,8 × 10 − 9
−3
y=
2
,
6
=
12
×
10
m
−3
1,37 × 10
2 y = 2,4cm
y
Difração de uma fenda simples
Difração de
um fio
Problema 11
Uma luz monocromática com um comprimento de onda de 538nm incide em uma fenda com
0,025mm de largura. A distância entre a fenda e a tela é de 3,5m. Considere um ponto da
tela situado a 1,1cm de distância do máximo central. Calcule:
(a)o valor de θ nesse ponto,
 y
θ
=
arctan
 
(b)o valor de α e
 D
(c) a razão entre a intensidade
 1,1 × 10− 2 

neste ponto e a intensidade θ = arctan 
3
,
5


no máximo central.
y
θ = 3,14 × 10− 3 ≈ 0.18°
D
2π
φ =
538 × 10 − 9
α =
2π
a sin θ
λ
0,025 × 10 − 3 sin ( 0,18° ) = 0,9168rad
φ =
φ
= 0,46rad ≈ 26,3°
2
I (θ )  sin α 
= 
 = 0,93
Im  α 
2
Problema 23
(a) A que distância máxima de uma pilha de grãos de areia vermelha deve estar um
observador para poder ver os grãos como objetos separados? Suponha que os grãos são
objetos esféricos, com 50µm de raio, que a luz refletida pelos grãos tem um
comprimento de onda de 650nm e que a pupila do observador tem 1,5mm de diâmetro.
(b) Se os grãos fossem azuis e a luz refletida tivesse um comprimento de onda de
400nm, a distância seria maior ou menor que a do item anterior?
Critério de Rayleigh: o máximo central de difração de uma figura coincide
com o primeiro mínimo de difração da outra mínimo para resolução
(a) θ = 1,22 λ
R
d
λ
D
1,22 =
2r L
 D θ ≈ D
θ
=
arctan
 
Difração no anteparo:
L
 L
Dd
L=
1,22λ
1,5 × 10 − 3 2 ⋅ 50 × 10 − 6
L=
= 0,19m
−9
1,22 ⋅ 650 × 10
(b)
1
L∝
λ
1,5 × 10− 3 2 ⋅ 50 × 10− 6
Dist. =
= 0,31m
−9
1,22 ⋅ 400 × 10
Problema
resolvido 36.3
D=2r
Problema 33
(a) Quantas franjas claras aparecem entre os primeiros mínimos da envoltória de difração à
direita e à esquerda do máximo central em uma figura de difração de dupla fenda se
λ=550nm, d=0,150mm e a=30,0µm? (b) Qual é a razão entre as intensidades da terceira
franja clara e da franja central?
Mínimos de difração:
a sin θ = mD λ
mD=1
MI=5
mD=1,2,3,...
Máximos de interferência:
d sin θ = M I λ
MI=0,1,2,3,...
Primeiros mínimos de difração
 mD=1
a sin θ = λ
λ
550 × 10 − 9
sin θ = =
= 0,0183
−6
a 30,0 × 10
Máximos de interferência MI=?
d sin θ
= MI
λ
MI = - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4  9 franjas!!
0,150 × 10 − 3 ⋅ 0,0183
MI =
= 5
−9
550 × 10
Coincide com o mínimo de difração!!
Problema 33
(a) Quantas franjas claras aparecem entre os primeiros mínimos da envoltória de difração à
direita e à esquerda do máximo central em uma figura de difração de dupla fenda se
λ=550nm, d=0,150mm e a=30,0µm? (b) Qual é a razão entre as intensidades da terceira
franja clara e da franja central?
I (θ )
 sin α 
= cos 2 β 

Im
 α 
Interferência
β =
φi π d
=
sin θ
2
λ
Mi=3, θ=?
α =
2
Difração
φd π a
=
sin θ
2
λ
d sin θ 3 = 3λ
sin θ 3 = 3λ d
π a 3λ 3π a 3π ⋅ 30 × 10 − 6
α =
=
=
= 1,88
−3
λ d
d
0,150 × 10
I (θ )
 sin 1,88 
 sin α 
= cos 2 β 
=
1

 = 0,255

Im
 α 
 1,88 
2
2
β =
πd
π d 3λ
sin θ 3 =
= 3π
λ
λ d
cos 2 3π = 1
Problema 42
Uma rede de difração é feita de fendas com 300nm de largura, separadas por uma distância
de 900nm. A rede é iluminada com luz monocromática de comprimento de onda 600nm e a
incidência é normal. (a) Quantos máximos são observados na figura de difração? (b) Qual
é a largura da linha observada na primeira ordem se a rede possui 1000 fendas?
(a) máximos: d sin θ = mλ ;
sin θ ≤ 1 m =
d
λ
m≤
;
d
d
sin θ
λ
m≤
a
900nm
= 1,5
600nm
L
m = -1, 0, 1  3 franjas claras
(b)
m=1
∆θ =
λ
∆θ =
Nd cos θ
d sin θ = mλ
λ 
θ = arcsin 
 d
600nm
= 0,000894 rad = 0,051°

 600nm  
1000 ⋅ 900nm cos arcsin 

900
nm



∆θ =
λ

 λ 
Nd cos arcsin   
 d

Problema 84
Qual é o menor ângulo de Bragg para que raios X com um comprimento de onda de 30 pm
sejam refletidos por planos com uma distância interplanar de 0,30 nm em um cristal de
calcita?
Lei de Bragg:
2d sin θ = mλ
Raios X
θ - ângulo entre os raios incidentes e o
plano cristalino
mλ
sin θ =
2d
m.30.10− 12
−3
sin θ =
=
m
.
50
.
10
2.0,3.10− 9
Menor ângulo, menor m = 1
θ = 2,866o
θ
θ
d
Problema 113
Duas linhas de emissão têm comprimentos de onda λ e λ+∆λ, respectivamente, com ∆λ << λ.
Mostre que a separação angular ∆θ destas linhas em um espectrômetro de rede de difração é
dada aproximadamente por:
∆λ
∆θ =
2
 d
2
  −λ
 m
onde d é a distância entre as fendas e m é a ordem de difração na qual as linhas são observadas.
Observe que a separação angular aumenta quando o valor de m aumenta.
λ λ+∆λ
Dispersão da rede de difração:
D=
∆θ =
∆θ
m
=
∆λ
d cos θ
∆ λ .m
d cos θ
Máximos de intensidade:
d sin θ = mλ
cos θ =
1 − ( sin θ ) =
∆θ =
2
 mλ 
1− 

 d 
2
λ
∆λ
2
 d
2
  −λ
 m
θ
θ+∆θ
ordem m
θ