Física II – Oscilador amortecido
João Francisco Fuzile Rodrigues Garcia -- 8549323
Maiara Fernanda Moreno -- 8549344
Otávio Massola Sumi -- 8549452
Ex. 14.77 •• Mostre que a razão entre as amplitudes de duas
oscilações sucessivas é constante para um oscilador linearmente
amortecido.
• Introdução
Um oscilador harmônico, em física, é qualquer sistema que apresenta
movimento harmônico de oscilação. É dito oscilador pelo fato de alguma
entidade física oscilar, isto é, mover-se de algum modo, num movimento
de vai-vem, em torno de uma posição central. Chama-se harmônico por
ser o seu movimento caracterizado e descrito por uma função harmônica
do tempo.
Um oscilador harmônico corresponde a um sistema que quando tirado da
posição de equilíbrio apresenta uma força restauradora F, proporcional ao
deslocamento x de acordo com a Lei de Hooke:
F = -k x
onde k é uma constante positiva, dita constante elástica.
Se houver uma força de atrito que contraria o movimento (como, por
exemplo, a força de resistência do ar) temos um oscilador harmônico
amortecido. Nessa situação a frequência de oscilação é menor que no
oscilador sem amortecimento, a amplitude da oscilação diminui conforme
o tempo passa e a energia mecânica é dissipada.
A amplitude de um oscilador amortecido num tempo t qualquer é:
𝑥 = 𝐴𝑒 −(𝑏/2𝑚)𝑡 cos⁡(𝜔𝑡 + ⁡𝛿)
Onde:
A = amplitude máxima;
b = constante de amortecimento;
m = massa do oscilador;
t = tempo do movimento;
ω = frequência do oscilador;
δ = fase;
τ = m/b -> é o tempo de decaimento.
Abaixo, um gráfico posição x tempo que ilustra esse comportamento dos
osciladores:
• Resolução
Para resolver a questão, podemos expressar primeiramente as
amplitudes, separadas por um período T, e então mostrar a razão entre as
duas.
Para que a amplitude seja máxima em x, cos(𝜔𝑡 + ⁡𝛿) deve ser igual a 1,
maior valor possível para cos(𝜔𝑡 + ⁡𝛿), e que, portanto, proporcionará a
maior amplitude.
Lembrando ainda que τ = m/b, simplifica-se a equação do operador
amortecido para outra que retorna o valor da amplitude em função do
tempo t:
𝑥 = 𝐴𝑒 −(𝑏/2𝑚)𝑡 cos⁡(𝜔𝑡 + ⁡𝛿)
𝑥 = 𝐴𝑒 −(𝑏/2𝑚)𝑡 ∗ 1
𝑥 = 𝐴𝑒 −(1/2𝜏)𝑡
𝐴(𝑡) = 𝐴𝑒 −𝑡/2𝜏
Considerando um tempo t qualquer, a equação é a mesma:
𝐴(𝑡) = 𝐴𝑒 −𝑡/2𝜏
O intervalo de tempo necessário para o corpo completar uma oscilação
em torno da posição de equilíbrio, o período, é dado por
T = (2/ksendo k um número inteiro qualquer . Ou seja, o próximo
máximo de amplitude será observado um período T após o tempo t inicial
escolhido. Logo, este acontecerá no tempo t’ = (t + T). Portanto:
𝐴(𝑡 ′ ) = 𝐴(𝑡 + 𝑇) ⁡ = 𝐴𝑒 −(𝑡+𝑇)/2𝜏
Com isso, é possível medir a razão entre as duas amplitudes sucessivas:
𝐴(𝑡 + 𝑇) 𝐴𝑒 −(𝑡+𝑇)/2𝜏
=
𝐴(𝑡)
𝐴𝑒 −(𝑡)/2𝜏
𝑡+𝑇
𝑡
𝐴(𝑡 + 𝑇)
(−⁡
)−(−⁡ )
2𝜏
= 𝑒 2𝜏
𝐴(𝑡)
−𝑇
𝐴(𝑡 + 𝑇)
= 𝑒 2𝜏
𝐴(𝑡)
que é uma constante, uma vez que T e τ = m/b são constantes.
• Bibliografia
Paul A.Tipler - Física para cientistas e engenheiros – Quarta edição; V1.