2.(Uerj 2012) A tabela abaixo apresenta os critérios
adotados por dois países para a formação de
Colégio Nossa Senhora de Lourdes
placas de automóveis. Em ambos os casos, podem
Matemática - Professor: Leonardo Maciel
ser utilizados quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9
PROF. LEONARDO MACIEL
APOSTILA 10 - ANALISE COMBINATÓRIA
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
1)( . (Uerj 2013) Na ilustração abaixo, as 52 cartas
e das 26 letras do alfabeto romano.
País
Descrição
Exemplo de placa
3 letras e 3
X
algarismos, em
qualquer ordem
de um baralho estão agrupadas em linhas com 13
um bloco de 3
cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de
letras, em qualquer
mesmo valor.
ordem,
Y
à esquerda de
outro bloco de 4
algarismos,
também em
qualquer ordem
Considere o número máximo de placas distintas
Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de
que podem ser confeccionadas no país X
mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco
igual a n e no país Y igual a p. A
cartas, um exemplo de quadra:
n
p
razão
corresponde a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6
3. (Enem )
A escrita Braile para cegos é um
sistema de símbolos no qual cada caractere é um
conjunto
O número total de conjuntos distintos de cinco
de
6
pontos
em
forma
retangular, dos quais pelo menos um se destaca
cartas desse baralho que contêm uma quadra é
em relação aos demais.
igual a:
Por exemplo, a letra
a) 624 b) 676 c) 715 d) 720
dispostos
A
é representada por
abaixo.
O número total de caracteres que podem ser
representados no sistema Braile é
a) 12.
b) 31.
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B
c) 36.
sobre os lados dos triângulos, percorrendo X
d) 63.
caminhos distintos, cujos comprimentos totais são
e) 720.
todos iguais a d.
Sabendo que d corresponde ao menor valor
4. (Enem 2011) O setor de recursos humanos de
possível para os comprimentos desses caminhos, X
uma empresa vai realizar uma entrevista com 120
equivale a:
candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio,
a) 20
eles pretendem atribuir a cada candidato um
b) 15
número, colocar a lista de números em ordem
c) 12
numérica crescente e usá-la para convocar os
d) 10
interessados. Acontece que, por um defeito do
6. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
computador,
5
Uma máquina contém pequenas bolas de borracha
deles,
de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cada cor.
algarismos
foram
distintos
gerados
e,
em
números
nenhum
com
apareceram dígitos pares.
Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato
expelida ao acaso.Observe a ilustração:
que tiver recebido o número 75.913 é
a) 24.
b) 31.
c) 32.
d) 88.
e) 89.
5. . (Uerj 2011) Uma rede é formada de triângulos
equiláteros congruentes, conforme a representação
(Uerj 2011) Para garantir a retirada de 4 bolas de
uma mesma cor, o menor número de moedas a
serem inseridas na máquina corresponde a:
a) 5
MAM — São Paulo
Prado — Madri
b) 13
Ipiranga — São Paulo
British Museum — Londres
c) 31
Imperial — Petrópolis
Metropolitan — Nova York
d) 40
De acordo com os recursos obtidos, de quantas
7. (Uerj 2010)
maneiras diferentes esse professor pode escolher
os 5 museus para visitar?
a) 6
b) 8
c) 20
d) 24
Considere como um único conjunto as 8 crianças –
e) 36
4 meninos e 4 meninas – personagens da tirinha. A
9. (Enem 2009) Doze times se inscreveram em um
partir desse conjunto, podem-se formar n grupos,
torneio de futebol amador. O jogo de abertura do
não vazios, que apresentam um número igual de
torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro
meninos e de meninas.
foram sorteados 4 times para compor o Grupo A.
O maior valor de n é equivalente a:
Em seguida, entre os times do Grupo A, foram
sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura
a) 45
do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em
b) 56
seu próprio campo, e o segundo seria o time
c) 69
visitante.
d) 81
A quantidade total de escolhas possíveis para o
Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times
8. (Enem 2ª aplicação 2010)
Considere que um
professor de arqueologia tenha obtido recursos
do jogo de abertura podem ser calculadas através
de
para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
museus nacionais e internacionais relacionados na
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
tabela a seguir.
d) duas combinações.
e) dois arranjos.
Museus nacionais
Museus internacionais
Masp — São Paulo
Louvre — Paris
10. (Uerj)
Sete diferentes figuras foram criadas
para ilustrar, em grupos de quatro, o Manual do
Total
209
T & C Amazônia, ano 1, n.º 3, dez./2003.
Candidato do Vestibular Estadual 2007.
Um desses grupos está apresentado a seguir.
Deseja-se realizar um estudo comparativo entre
três dessas espécies de mamíferos - uma do grupo
Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do
grupo Roedores.
O número de conjuntos distintos que podem ser
formados com essas espécies para esse estudo é
igual a
Considere que cada grupo de quatro figuras que
a) 1.320.
poderia ser formado é distinto de outro somente
e) 7.245.
b) 2.090. c) 5.845. d) 6.600.
quando pelo menos uma de suas figuras for
diferente.Nesse caso, o número total de grupos
12 Uff) Hoje em dia, é possível realizar diversas
distintos entre si que poderiam ser formados para
operações bancárias a partir de um computador
ilustrar o Manual é igual a:
pessoal ligado à Internet. Para esse acesso, o
a) 24 b) 35 c) 70 d) 140
cliente de determinado banco, após digitar o
11. (Enem )
Estima-se que haja, no Acre, 209
número de sua agência e conta corrente, deverá
espécies de mamíferos, distribuídas conforme a
introduzir uma senha de quatro dígitos a partir de
tabela a seguir.
um teclado virtual como o da figura.
grupos taxonômicos
número de espécies
Artiodáctilos
4
Carnívoros
18
Cetáceos
2
Quirópteros
103
Lagomorfos
1
Marsupiais
16
Para inserir um dígito da senha da sua conta
1
corrente, o cliente deste banco deve clicar em um
Primatas
20
dos quatro botões indicados pela inscrição "clique
Roedores
33
aqui"; isto é, para inserir o dígito 4, por exemplo,
1
pode-se clicar no botão "clique aqui" situado abaixo
Perissodáctilos
Sirênios
Edentados
10
dos dígitos "0, 4 ou 7" ou naquele situado abaixo
dos dígitos "2, 4 ou 8".
Pode-se afirmar que o número total de senhas
compostas por quatro dígitos distintos que estão
associadas à sequência de "cliques", primeiro, no
botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou 8; depois,
no botão correspondente aos dígitos 0, 4 ou 7;
novamente no botão correspondente aos dígitos 1,
5 ou 8 e, por último, no botão correspondente aos
dígitos 0, 4 ou 7, é igual a:
a) 12 b) 24 c) 36 d) 54 e) 81
13. (Uff) Niterói é uma excelente opção para quem
gosta de fazer turismo ecológico. Segundo dados
da prefeitura, a cidade possui oito pontos turísticos
dessa natureza.
Um certo hotel da região oferece de brinde a cada
hóspede a possibilidade de escolher três dos oito
pontos turísticos ecológicos para visitar durante a
sua estada. O número de modos diferentes com
que um hóspede pode escolher, aleatoriamente,
três destes locais, independentemente da ordem
escolhida, é:
a) 8 b) 24 c) 56 d) 112 e) 336
14. (Ufrrj ) Maria determinou o número de
triângulos que pode se formar com os vértices
de um polígono de 7 lados. Esse número
encontrado por Maria é
a) 7.
b) 21.
c) 28.
d) 35.
e) 70.
15. (Unirio) O bufê de saladas de um
restaurante apresenta alface, tomate, agrião,
cebola, pepino, beterraba e cenoura.
Quantos tipos de saladas diferentes podem ser
preparados com cinco desses ingredientes, de
modo que todas as saladas contenham alface,
tomate e cebola?
a) 4
b) 12
c) 8
d) 3
e) 6
16. (Uerj) Numa cidade, os números
telefônicos não podem começar por zero e têm
oito algarismos, dos quais os quatro primeiros
constituem o prefixo.
Considere que os quatro últimos dígitos de
todas as farmácias são 0000 e que o prefixo
da farmácia Vivavida é formado pelos dígitos
2, 4, 5 e 6, não repetidos e não
necessariamente nesta ordem.
O número máximo de tentativas a serem feitas
para identificar o número telefônico completo
dessa farmácia equivale a:
a) 6
b) 24
c) 64
d) 168
17. (Puc-rio) O produto n (n - 1) pode ser
escrito, em termos de fatoriais, como:
a) n! - (n - 2)!
b) n!/(n - 2)!
c) n! - (n - 1)!
d) n!/[2(n - 1)!]
e) (2n)!/[n!(n - 1)!]
18. (Uff) O estudo da genética estabelece que,
com as bases adenina (A), timina (T), citosina
(C) e guanina (G), podem-se formar, apenas,
quatro tipos de pares: A-T, T-A, C-G e GC.Certo cientista deseja sintetizar um
fragmento de DNA com dez desses pares, de
modo que:
- dois pares consecutivos não sejam iguais;
- um par A-T não seja seguido por um par T-A
e vice-versa;
- um par C-G não seja seguido por um par G-C
e vice-versa.
GABARITO
Resposta da questão 1:
[A]
Resposta da questão 2:
[B]
Resposta da questão 3:
. [D]
Resposta da questão 4:
[E]
Resposta da questão 5:
[B]
Resposta da questão 6: [C]
Sabe-se que dois fragmentos de DNA são
idênticos se constituídos por pares iguais
dispostos na mesma ordem Logo, o número de
maneiras distintas que o cientista pode formar
esse fragmento de DNA é:
a) 2¢¢
b) 2£¡
c) 2 × 10
d) 2¢¡
e) 2£ × 10
Resposta da questão 7: [C]
Resposta da questão 8:[D]
Resposta da questão 9:[A]
Resposta da questão 10:[B]
Resposta da questão 11: [A]
Resposta da questão 12:[C]
Resposta da questão 13: [C]
Resposta da questão 14: [D]
15. E
16. [B]
17. [B]
18. [A]