ANÁLISE DAS PRÁTICAS DOCENTES EM
TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO
Prof. Dr. Saddo Ag
Almouloud
Profa. Dra. Cileda de
Queiroz e Silva
Coutinho
A NOÇÃO DE ORGANIZAÇÃO
PRAXEOLÓGICA
Porque antropológico?
 A teoria Antropológica do Didático situa a
atividade matemática dentro do conjunto de
atividades humanas e das instituições sociais.
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A NOÇÃO DE PRAXEOLOGIA
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- Tarefa (t) e Tipos de Tarefas (T)
Na noção de praxeologia encontram-se as noções de tarefa
(t), e de tipo de tarefas (T).
Na maioria dos casos, uma tarefa (e o tipo de tarefa) é
definida por um verbo.
Ex.: varrer a peça, desenvolver a expressão literária dada,
etc.
Bater na face, sorrir para alguém são tarefas. Trata-se de
colocar em prática alguma coisa.
Tarefa
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A noção de tarefa supõe um objetivo relativamente preciso.
Ex.: Subir uma escada é um tipo de tarefa, mas subir
somente, não é.
Calcular o valor de uma função em um ponto é um tipo de
tarefa, mas calcular somente é uma tarefa.
Enfim, tarefas, tipos de tarefas, gêneros de tarefas não são
dados da natureza: são “artefatos”, “obras”, construções
institucionais, cuja reconstrução nessas instituições, e por
exemplo, em sala de aula, é um problema a resolver, isto é,
uma questão Didática.
Técnicas ()
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Seja portanto T um tipo de tarefa dada. Uma
praxeologia relativa a T precisa de uma maneira
de executar, de realizar as tarefas (t), a essa
maneira de fazer dá-se o nome de Técnica.
Uma “maneira de fazer” – resulta sobre uma
parte p(t) de tarefas do tipo T à qual ela está
relacionada, parte que nomeamos portadora da
técnica.
Ex.: A técnica usada para calcular em N pode
fracassar em outro conjunto numérico.
Técnicas ()(cont.)
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Em uma instituição I dada, a propósito de um tipo
de tarefa T, existe em geral uma só técnica, ou ao
menos um número limitado de técnicas
institucionalmente reconhecidas, excluindo técnicas
alternativas
possíveis
que
podem
existir
efetivamente, mas em outras instituições.
Ao realizar um tipo de tarefa utilizando técnicas
alternativas que os sujeitos da instituição ignoram,
estas serão a princípio contestadas ou não aceitas.
Técnicas ()(cont.)
As técnicas são institucionalizadas – uma instituição I
propõe um tipo de tarefa e para resolvê-la existe uma só
técnica (ou um mínimo de técnicas) , excluindo técnicas
alternativas possíveis que podem existir em outras
instituições.
Exemplo: O binômio ax + b pode ser escrito da forma







b
a x    a  , o que permite concluir: 2x – 3 = 3 x  2  é
3




2 . Esta forma de estudar o
negativo se x>2 , positivo se x<
3
3
sinal do binômio é incomum no ensino secundário francês
hoje, recebendo sem dúvida, muitas críticas.
Um outro exemplo é a forma canônica do polinômio do 2º
grau, que é pouco utilizada nos Ensino Fundamental e
Médio brasileiro.
Tecnologias ()
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Entende-se por tecnologia um discurso racional que tem
como primeira função justificar a técnica, assegurando que
ela permita executar as tarefas do tipo T.
Em uma instituição, qualquer que seja a tarefa, a técnica é
sempre acompanhada de no mínimo um vestígio de
tecnologia.
Na aritmética elementar, o mesmo discurso tem dupla
função, técnica e tecnologia, ele permite ao mesmo tempo
achar o resultado pedido (função técnica) e justificar que o
resultado pedido está certo (função tecnologia)
Exemplos
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Ex.: Se 8 chupetas custam 10 reais, 24 chupetas, ou seja 3
vezes mais chupetas, custarão 3 vezes mais, ou seja 3 vezes 10
reais .
Uma segunda função da tecnologia é explicar, esclarecer a
técnica.
Se a primeira função – justificar a técnica – consiste em
assegurar que a técnica dá bem o que é pretendido, esta
segunda função consiste em expor o porque é assim.
Ex.: Sabe-se que a equação ax²+bx+c=0 (onde a0) tem duas
raízes quando b²-4ac0, não tem raízes (em R) se b²-4ac<0 etc.
pode-se explicar tal resultado com o auxilio de tecnologia dos
números complexos.
A terceira função da tecnologia é a
função de produção de técnicas.
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Ex.: A tecnologia dos números fracionários permite
produzir uma técnica mais sofisticada que a técnica
anterior.
Se a chupetas custam b reais então x chupetas
custam x.(b/a) ou seja (x/a). b
- Teoria ()
A teoria está para a tecnologia, o que a tecnologia
está para técnica.
Teoria - Tecnologia
Teoria
=
Tecnologia
tecnologia
técnica
Ex.: Em  , a seqüência do termo
geral
1 tende a 0, quando n
n
tende a ; é um resultado
tecnológico muito concreto. Sua
justificação teórica está no
axioma de Eudoxe-Arquimedes.
Se a e  são números
reais
estritamente
positivos, então existe
um número n, tal que
n•  > a.

Saber-fazer e Saber
Em torno de um tipo de tarefa (T), encontra-se um trio formado
de uma técnica ( ), de uma tecnologia 
( ) e uma teoria 
( ).
Esse bloco [T, ,  ,  ] constitui uma praxeologia. Esta é
constituída por dois blocos:
tecnológico-teórico [ ,  ] e é indicado como saber.
prático-técnico [T, ] que constitui um saber-fazer.
Pode-se analisar esta praxeologia em:
- praxeologia pontual [T,  ,  ,  ]
- praxeologia local
- praxeologia regional
- praxeologia global
Exemplo de organização praxeológica
Por exemplo, no Ensino Médio, pode-se falar:
 de uma organização praxeológica pontual no que diz respeito à
resolução de um dado tipo de problema de proporcionalidade organização que responderia à seguinte questão “como resolver
um problema desse tipo?”;
 de uma organização local no que diz respeito à resolução de
diferentes tipos de problemas de proporcionalidade;
 enfim, de uma organização regional, no que diz respeito, por
exemplo, à noção de função numérica (que envolve todo um
campo da Matemática ensinada no Ensino Médio).
Saber e saber fazer(cont.)
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As passagens de uma a outra fazem a anterior progredir, avançar.
À medida que se tem algo mais complexo, o bloco de saberes
aumenta em detrimento daquele do saber-fazer.
Por exemplo, no ensino de Matemática, um tema de estudo
(“Pitágoras”, “Tales”, etc) é freqüentemente identificado a uma
tecnologia  determinada (teorema de Pitágoras, teorema de
Tales), ou ainda ao bloco de saber [ /] correspondente, esta
tecnologia permite explicar e justificar técnicas relativas à
diversos tipos de tarefas.
Nota-se, entretanto que outros temas de estudo (fatoração,
resolução de equações, etc) se exprimem, mais classicamente,
em termos de tipos de tarefas.
problemática das Praxeologias
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As praxeologias envelhecem, seus componentes teóricos
e tecnológicos perdem seu crédito.
Constantemente, em uma instituição I dada, novas
praxeologias são olhadas.
Essas praxeologias deverão ser produzidas ou
reproduzidas na medida em que elas existem em alguma
instituição I’.
A passagem da praxeologia de I para I’ é chamada de
Transposição .
No que diz respeito à escola, à classe, etc. dá-se o nome
de Transposição Didática.
Análise das Práticas de Ensino
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Sendo dado um objeto relativo às práticas de ensino,
deve-se em primeiro lugar, observar o objeto,
depois descrever e analisar o objeto, em seguida
avaliar, enfim, desenvolver atividades relativas ao
ensino-aprendizagem desse objeto.
Os tipos de objetos a serem considerados são:
a realidade matemática(Organização matemática –
OM)
a maneira que se pode construir essa realidade
(Organização Didática - OD)
Análise de uma Organização Matemática
Para que seja feita uma análise de uma OM é necessário que se
conheça a teoria que sustenta o tema a ser estudado.
As praxeologias didáticas ou organizações didáticas são
respostas às questões do tipo:
 “Como estudar a questão?”
 ou “Como estudar a atividade A?”
A organização didática relativa ao tema de estudo refere-se ao
como estudar a organização matemática deste tema de
estudo.
A questão que se coloca é saber quais são os tipos de tarefas
relevantes de uma praxeologia didática; ou seja, quais as
ações que podem ser olhadas como didáticas.
OS MOMENTOS DIDÁTICOS
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Como toda organização praxeológica, uma
organização didática se articula em torno de tipos
de tarefas (geralmente cooperativas), em técnicas,
em tecnologias, em teorias.
Mas como descrever tal organização? Quais são,
por exemplo, os principais tipos de tarefas?
A noção de momento só remete, em aparência, à
estrutura temporal do processo de estudo.
Os momentos(Cont.)
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A palavra “momento” é usada no sentido de chamar
a atenção sobre a dimensão multidimensional, um
fator no processo multifatorial, do processo ensinoaprendizagem
Os momentos didáticos, são primeiramente uma
realidade funcional do estudo, antes de ser uma
realidade cronológica.
OS MOMENTOS DIDÁTICOS
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O primeiro momento de estudo é aquele do primeiro encontro com a
organização. O início do estudo, mais precisamente um encontro com
as tarefas T, constitutivas de Organização
O segundo momento é aquele de exploração do tipo de tarefas T e a
elaboração de uma técnica  relativa a este tipo de tarefa.
O estudo e a resolução de um tipo de problema iniciam-se sempre a
partir de, ao menos, um embrião de técnica, a partir da qual uma
técnica mais desenvolvida poderá eventualmente emergir:
o estudo de um problema particular, espécie do tipo estudado, aparece
assim, não como um fim em si, mas como um meio para que tal
técnica de resolução se constitui.
Assim se amarra uma dialética fundamental: estudar os problemas é
um meio permanente para criar e colocar em prática uma técnica
relativa aos problemas de mesmo tipo.
Terceiro e quarto momentos
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O terceiro momento de estudo é o momento da
constituição do ambiente tecnológico-teórico, relativo a
técnica.
Em geral, esse momento está em estreita inter-relação com
cada um dos outros momentos.
Assim, desde o primeiro encontro com um tipo de tarefa,
tem-se inter-relações e/ou conexões com um ambiente
tecnológico-teórico anteriormente elaborado.
O quarto momento é o de trabalhar a técnica, tornar
eficaz a técnica. É o momento em que se coloca em xeque
a técnica, em um conjunto de tarefas adequadas
qualitativamente e quantitativamente.
O quinto momento

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
O quinto momento é o momento da
institucionalização, que tem por objetivo definir o
que é “exatamente” a organização matemática
elaborada, distinguindo, notadamente,
de um lado, os elementos, que tendo concorrido
para sua construção, não serão por ela integrados,
e por outra lado, os elementos que entrarão de
maneira definitiva na organização matemática
visada.
Sexto momento
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
O sexto momento é aquele da avaliação que se
articula ao momento da institucionalização.
O que está sendo avaliado é a praxeologia e não as
pessoas.
Observação
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

O modelo dos momentos do estudo tem, para o professor,
dois grandes tipos de emprego.
De início, ele constitui uma grade para a análise dos
processos didáticos.
Em seguida, ele permite pôr claramente o problema da
realização de diferentes momentos do estudo. Como por
exemplo realizar concretamente o primeiro encontro com
tal organização matemática? Com qual tipo de tarefas?
Como conduzir o estudo exploratório de um tipo de tarefas
dado? Como conduzir bem a instituição? Como realizar o
momento da avaliação?
Avaliar, desenvolver: algumas observações



Avaliar: um esquema universal, um gesto fundamental
Em inúmeras situações, somos levados a operar segundo o
esquema de quatro tempos .
Começamos em geral por observar e analisar a maneira de
fazer de alguns outros e depois avaliamos o que esta
observação e análise terão assim revelado, só para depois
desenvolver nossa própria “solução”.
Avaliar os tipos de tarefas


Referimo-nos aqui a uma organização seja ela pontual ou
local.
Em todos os casos, o tema de estudo imposto – se identifica
com certo tipo de tarefas matemáticas T (organização
pontual), ou reenvia ao ‘núcleo gerador” de um bloco
tecnológico-teórico (organização local), a avaliação se
apoiará sobre critérios explícitos, cujo primeira análise
deverá permitir dizer em qual medida eles são satisfatórios
para a organização matemática a avaliar.
Critérios
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

Critério de identificação: verifica se os tipos de tarefas estão postos
de forma clara e bem identificados;
Critério das razões de ser: verifica se as razões de ser dos tipos de
tarefas estão explicitados ou ao contrário, estes tipos de tarefas
aparecem sem motivo;
Critério de pertinência: verifica se os tipos de tarefas considerados
fornecem um bom recorte em relação as situações matemáticas mais
freqüentemente encontradas e se são pertinentes em relação às
necessidades matemáticas dos alunos para hoje ou para amanhã.
Para ilustrar o terceiro critério, consideraremos um tipo de tarefas –
verificar um cálculo cujo a pertinência pareça genericamente evidente,
mas a concretização sob a forma de tipos de tarefas determinados é em
geral mal escolhida.
Exemplo
Exemplo 1: Verificar se está correto o cálculo da seguinte
igualdade de frações:
7  4  13
4 6 9
7
 
4    9.6 .13 

 9 .6 
.


 9
 9
6  

Exemplo



2:



9
 .6 . 7   9.6
 . 4   9
 .6 .13  42  36  78
9

6

9

Verificar
x  3. 2x 1  2x 2  5x  3
se
resultado
do
cálculo
algébrico
Atribuir valores simples para x substituindo nos dois membros
da igualdade;
Exemplo 3: Verificar o resultado do cálculo com radical




3  5 

3 5
2
18  8 5
5 por x
Substituir
e resolver a equação obtendo como resultado
para x os valores  5 .
Avaliar técnicas

A avaliação de técnicas supõe os mesmos critérios,
dos quais alguns somente serão evocados aqui.
Assim, as técnicas propostas são efetivamente
elaboradas, ou somente esboçadas? São fáceis de
utilizar? Sua importância é satisfatória? Sua
confiabilidade é aceitável sendo dadas suas
condições de emprego? São suficientemente
inteligíveis?
Cont.
No futuro poderão evoluir de maneira conveniente?
Uma técnica pode ser insuficientemente confiável, como por
exemplo, no cálculo tradicional na França, não sobre grandezas (
como 5km, 32cm2, 18m/s2, 12g/dm 3, etc ), mas sobre as medidas
destas grandezas 5, 32, 18, 12 , excluindo as unidades de cálculos
para só introduzir no final.
Exemplo: Calcular a massa M, em g/cm, de uma barra de aço de
seção constante, de 4dm de comprimento, de massa 2,85kg.


2,85103g 
M  2,85kg       285g  285g / cm  71,25g / cm
4dm
410cm  4cm 4
Avaliar tecnologias





Observações análogas as precedentes podem ser feitas a propósito do
bloco tecnológico-teórico.
Assim, sendo dado um enunciado, o problema de sua justificação é
somente posto ou este enunciado é considerado tacitamente como
altivo de si, evidente, natural ou ainda bem conhecido?
As formas de justificação utilizadas são próximas das formas
canônicas em matemática?
Elas são adaptadas a suas condições de utilização? As justificações
explicativas são favorecidas?
O resultado tecnológico evocado neste que precede a existência e a
unicidade de certa escrita canônica não tem como única função
justificar práticas existentes. Pode ser explorado em vista de produzir
novas técnicas.
exemplo
Pode-se assim considerar determinada escrita de uma
expressão da forma a  b e pela técnica colocada em
cd e
prática




3 5




2
 x  y 5  3 5








2
 3 5 . x  y 5  14  6 5  3x  3y 5  x


3 5
14  6 5  3x  5y .3y  x . 5

 3x  5y 14  x  3 e y  1
3y  x  6





Avaliar uma organização didática?

A questão da avaliação de uma organização didática
OD constitui um ponto de convergência do conjunto
de estudos em didática da matemática, ao mesmo
tempo em que é, de maneira explícita ou implícita,
um dos motores mais importantes do progresso das
pesquisas didáticas