Parabéns aos alunos do CPV,
o curso que mais aprova na GV.
Em junho/2002, 75 das 200 vagas da
GV ficaram para os alunos do CPV.
b) Resolva a inequação:
2
x − 7x + 12
.
2 + 3x
≥ 4.
1– x
Resolução:
a) O domínio da função f(x) pode ser expresso na forma:
x –1
2
x – 7x + 12
≥ 0 com x2 – 7x + 12 ≠ 0.
Assim, estudamos os sinais das duas funções no quadro abaixo:
3
1
4
x–1
–
+
+
+
x2 – 7x + 12
+
+
–
+
–
+
x–1
2
x – 7x + 12
∃
03. a) Represente os pontos do plano cartesiano que satisfazem
simultaneamente as relações x – y ≥ 0 e x + y ≤ 0.
b) Uma empresa fabrica uma peça de precisão em dois
modelos A e B. O custo de produção de uma unidade de A
é R$ 200,00 e o de B é R$ 150,00. Por restrições de
orçamento, a empresa pode gastar por mês no máximo R$
45.000,00. A mão-de-obra disponível permite fabricar por
mês no máximo 250 peças. Seja x a quantidade produzida
por mês de A e y a de B. Represente graficamente os
possíveis valores de x e y. Admita, para simplificar, que x
e y assumam valores reais não negativos.
Resolução:
y
a)
x+y≤0
– ∃ +
x–y≥0
45º(
(
x −1
01. a) Dê o domínio da função f(x) =
45º
x
Logo, D = {x ∈ IR / 1 ≤ x < 3 ou x > 4}
b)
2 + 3x
2 + 3x
2 + 3x − 4 + 4x
≥0
1– x ≥4 ⇒ 1– x –4≥0 ⇒
1– x
– 2 + 7x
2
1– x ≥0
1
7
–2 + 7x
–
+
+
1–x
+
+
–
–2 + 7x
1–x
–
+ ∃ –
Logo, S = {x ∈ IR / 2/7 ≤ x < 1}
02. O Sr. Oliveira aplicou R$ 20.000,00 numa caderneta de poupança e
R$ 30.000,00 num fundo de ações por 1 ano. Neste período, a
caderneta de poupança rendeu 8% e o fundo de ações, apenas 2%.
a) Qual a taxa de rendimento global do Sr. Oliveira, no período ?
b) Quanto ele deveria ter aplicado no fundo de ações (mantida a
aplicação de R$ 20.000,00 na caderneta de poupança) para que
sua taxa global fosse de 6% ao ano ?
Resolução:
a) c1 = 20 000
j1 = 1600
i1 = 8%
c2 = 30 000
i2 = 2%
j2 = 600
j
c = c1 + c2 = 50 000
= 0,044 ⇒ i = 4,4% a.a.
c
j = j1 + j2 = 2200
Resposta: A taxa global foi de 4,4% a.a..
b) c1 = 20 000
j1 = 1600
i1 = 8%
c2 = ?
i2 = 2%
c = c2 + 20 000
j = 1600 + 0,02c2
j2 = 0,02 . c2
1600 + 0,02c 2
c 2 + 20000 = 6% ⇒
⇒ 0,06c2 + 1200 = 1600 + 0,02c2
0,04c2 = 400 ⇒ c2 = 10 000
Resposta: Deve aplicar R$ 10 000,00.
b) Custo de produção:
y
C = 200 x + 150 y ≤ 45.000 (1)
Quantidade produzida:
300
Q = x + y ≤ 250 (2)
250
As relações (1) e (2) formam
4x + 3y ≤ 900
o sistema 
 x + y ≤ 250
(150, 100)
250
225
x
com x ≥ 0 e y ≥ 0.
A região hachurada representa os possíveis valores de x e y.
04. Uma locadora A de automóveis cobra R$ 90,00 por dia de
aluguel de um certo carro. Uma outra locadora B cobra, pelo
mesmo modelo de carro, um valor fixo de R$ 210,00 mais R$
80,00 por dia de aluguel. Seja n o número de dias que um
cliente pretende alugar este carro.
a) Para que valores de n é preferível a empresa A?
b) Qual deveria ser o valor fixo cobrado pela locadora B, para
que B fosse preferível para n > 27 dias?
Resolução:
Indicando por y o valor a ser pago em cada locadora, temos:
yA = 90 . n + 0 e yB = 80 . n + 210
a) A empresa A é preferível quando yA < yB:
90 . n < 80 . n + 210 ⇒ n < 21 ⇒ n = 20
∴ até um aluguel de 20 dias, a empresa A é preferível.
b) Sendo F parcela fixa, temos
yA = 90n
yB = 80n + F
Temos yB < yA ⇒ 80n + F < 90n ⇒ n <
F
= 27 e F = 270
10
Resposta: R$ 270,00
Assim,
F
10
05. Resolva, no campo real, as equações:
a)
b)
5 . (1 + x)5 = 20
3x + 4 − x = − 8
Resolução:
a) 5(1 + x)5 = 20 ⇒ (1 + x)5 = 4 ⇒ 1 + x = 5 4 ⇒ x = 5 4 − 1
{
}
Resposta: S = 5 4 − 1
 3x + 4 = x − 8
b) De 3x + 4 – x = –8 vem 
(x ≥ 8 e 3x + 4 ≥ 0
2
e então 3x + 4 = (x – 8) , isto é, x2 – 19x + 60 = 0
As raízes são x = 15 ou x = 4, mas apenas a raiz x = 15 satisfaz às
condições.
Resposta: S = {15}
06. Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z:
x + y + m . z = 3

2x + 3y − 5z = − 7
3x − y + z = 4

a) Para que valores de m o sistema é determinado?
b) Resolva o sistema para m = 0.
P(A | X) =
Resolução:
a) O sistema será determinado caso a matriz completa do sistema resulte
num determinante diferente de zero.
1
Logo: 2
3
1
3
−1
m
−5 ≠ 0
1
⇒
57
Logo: z =
⇒z=3
19
x = –5(–3) + 16 ∴ x = 1
j =1


x x2
b) Obtenha o 20o termo da progressão geométrica  1, – ,
, ...  .
2 4




Resolução:
j =1
60
Assim:
x + y = 3

− x − 5z = − 16
−19z = − 57

e
j= 2
j = 60
j=3
a1 = 1

Obtemos a PA (1; 3; 5; ... ; 119) com n = 60
a = 119
 60
y=3–1 ∴
Resolução:
a) Como ∆ ABC é isósceles, a distância
pedida é igual à medida d da altura
desse triângulo.
Pelo Teorema de Pitágoras:
19
y=2
6
d
4
B
j =1
(a1 + a n ) . n (1 + 119) . 60
=
= 3600
2
2
 –x 
an = a1 . qn–1 ⇒ a20 = a1 . q20–1 = 1 . 

 2 
6
r
4
8
⇒ a 20 =
19
–x
219
10. a) Um polinômio P, de coeficientes reais, apresenta 2 + 3i e
–2 – 3i, como suas raízes (i é a unidade imaginária). Qual o menor grau
possível para P ? Justifique.
b) A equação polinomial x3 – x2 – 7x + 15 = 0 apresenta uma raiz igual
a 2 + i. Obtenha as outras raízes.
Resolução:
a) De acordo com o Teorema das Raízes Complexas, um polinômio com
coeficientes reais que admita z = a + bi como raiz deve admitir também
seu conjugado z = a – bi, como outra raiz. Assim, no caso de:
A
d2 = 62 – 42, logo d = 2 5
∑ (2 j – 1) =
a2
–x
b) Cálculo de q: q = a ⇒ q =
. Do termo geral da PG, vem:
2
1
07. a) Os pontos A, B e C são não-colineares. A distância de A até B é 6,
a de B até C é 8 e a de A até C é 6. Qual a distância de A até a reta
que passa por B e C ?
b) Qual o período e o conjunto imagem da função f(x) = 4 . sen 2x ?
C
2π
=π
2
Conjunto imagem: como – 1 ≤ sen 2x ≤ 1 ⇒ – 4 ≤ 4 sen 2x ≤ 4 e assim
o conjunto imagem é o intervalo [– 4; 4].
CPV — O cursinho que
∑ (2 j – 1) .
60
S = {(1, 2, 3)}
b) Período =
60
09. a) Calcule
∑ (2 j – 1) = (2 {
. 1 – 1) + (2 . 2 – 1) + (2 . 3 – 1) + ... + (2 . 60 – 1)
{
{
{
j =1
x (1) x ( − 3)
x + y = 3

+
2x + 3y − 5z = − 7

b)
⇒
+
3x − y + z = 4

x (4)
+
0,030
P(A ∩ X)
=
≅ 0,194 = 19,4%
0,155
P(X)
a) Desenvolvendo:
–2m – 15 + 3 – 9m – 5 – 2 ≠ 0
–11m – 19 ≠ 0
−19
m≠
11
x + y = 3

− x − 5z = − 16
4x + z = 7

08. Uma Escola comprou computadores de 3 fabricantes: A, B e C. Trinta por
cento foram comprados de A, trinta por cento de B, e o restante de C. A
probabilidade de um computador fabricado por A apresentar algum tipo de
problema, nos próximos 30 meses, é 0,1. As mesmas probabilidades dos
fabricantes B e C são respectivamente 0,15 e 0,2.
a) Qual a probabilidade de que um computador, escolhido ao acaso, seja
fabricado por A e apresente algum problema nos próximos 30 meses?
b) Se um computador apresentar algum problema nos próximos 30 meses,
qual a probabilidade de que tenha sido fabricado por A ?
Resolução:
Sejam os eventos:
A: “fabricado por A”
B: “fabricado por B”
C: “fabricado por C”
X: “dar problema nos próximos 30 meses”
Temos:
P(A∩X) = P(A) . P(X | A) = 0,30 . 0,10 = 0,030
P(B∩X) = P(B) . P(X | B) = 0,30 . 0,15 = 0,045
P(C∩X) = P(C) . P(X | C) = 0,40 . 0,20 = 0,080
P(X) = P(A∩X) + P(B∩X) + P(C∩X) = 0,155
a) Esta pergunta pede P(A∩X) = 0,030 = 3%
b) Esta pergunta pede P(A | X). Temos:
 x1 = 2 + 3i ⇒ x 3 = 2 – 3i
P=0 
 x 2 = – 2 – 3i ⇒ x 4 = – 2 + 3i
Há no mínimo 4 raízes com relação ao polinômio P, que deve ser,
portanto, de grau no mínimo 4.
b) De acordo com o Teorema das Raízes Complexas, temos:
x1 = 2 + i ⇒ x2 = 2 – i
Das relações de Girard:
−b
⇒ (2 + i) + (2 – i) + x3 = 1 ⇒
a
⇒ x3 = –3 ∴ S = {2 + i , 2 – i, –3}
x1 + x2 + x3 =
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