Álgebra II – Prof. Ms. Robson Rodrigues
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1ª Lista de Exercícios – Lei de Composição Interna
Definição. Seja E um conjunto não vazio. Toda aplicação (função) f : E x E  E recebe o nome de
operação sobre E ou lei de composição interna sobre E. Em geral uma operação será indicada pelo
símbolo “”.
Exemplo 1. A potenciação é uma operação ou lei de composição interna (L.C.I.) sobre o conjunto dos
números naturais não nulos, pois  x, y  N* temos que xy  N*.
Exemplo 2. A potenciação não é uma operação sobre o conjunto dos números inteiros, pois existem
x, y  Z tal que xy  Z. Considere por exemplo, x = 2 e y = -3. Nesse caso dizemos que a potenciação é
uma lei de composição externa (L.C.E.).
Exercícios para fixação – Grupo 1
Exercício 1. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F).
a) f : * x *  * tal que f(x, y) = xy é uma operação em *. ( )
b) A potenciação não é considerada uma operação em , pois f(2 ,-1) = 2-1 =
c) Seja E =
n(
1
 .( )
2
) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n sobre . A aplicação f : E x E  E tal
que f é a multiplicação de matrizes é uma operação em
n(
). ( )
d) Seja E = V3 o conjunto formado pelos vetores do espaço. A aplicação f : E x E  E onde f é a adição
de vetores é uma lei de composição externa. ( )
e) O produto escalar entre dois vetores não é uma lei de composição interna, pois sendo
(2, 3, 1) e
DATA : ___/____/_00
(-1, 4, 2) temos que
= 12  V3. ( )
________PROFESSOR : Robson _____
f) O produto escalar entre dois vetores é uma lei de composição externa sobre V3. ( )
g) A aplicação f : E x E  E onde E = V3 e f é o produto vetorial é uma lei de composição interna, ou
operação em V3. ( )
h) Sendo x e y números naturais então mdc(x, y) é uma operação sobre N. ( )
Exercício 2. Seja E = Z munido da operação  definida por x  y = 2xy – y.
a) Calcule 53 e 35.
b) Em E =
= {0,1,2,3, ...},  seria uma operação? Justifique sua resposta.
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Exercício 3. Seja E =
o conjunto das funções de
em
munido da operação de composição de
funções definida por: fog(x) = f(g(x)) . Sendo f(x) = 2x – 4, g(x) = 3x + 2 e h(x) = x – 8, determine:
a) fog
b) gof
c) goh
d) (fog)oh
e) fo(goh)
Exercício 4. Considere E =
2(
) o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 sobre R munido da
1  2
3 2
  1 2
operação usual de multiplicação de matrizes. Sendo A = 
, B = 
 e C = 
,
3  1 
1 1 
 3 1 
determine:
a) A.B
b) B.A
c) B.C
d) (A.B).C
e) A.(B.C)
Propriedades das operações
Abaixo segue algumas propriedades que uma operação pode apresentar.
P1. Associativa – Uma operação  é associativa se (x  y)  z = x  (y  z), para todo x, y, z  E.
P2. Comutativa – A operação  é comutativa se x  y = y  x, para todo x, y  E.
P3. Existência do elemento neutro - Dizemos que a operação  possui elemento neutro, se existe e  E
tal que, e  x = x e = x, para todo x  E.
P4. Existência do elemento simetrizável - Dizemos que x  E é simetrizável em relação a operação , se
existir x’  E : x  x’ = x’  x = e.
Exercícios para fixação – Grupo 2
Exercício 5. (Enade 2003) Defina no conjunto dos inteiros positivos, a operação  dada por
xy = mdc(x, y). Assinale, a respeito de , a afirmativa FALSA.
a)  é comutativa
b)  é associativa
c) 1 é elemento neutro de 
d) xx = x, para todo x.
e) Para cada x, existe y tal que xy = 1.
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Exercício 6. Em cada caso a seguir, verifique se a operação “” satisfaz as propriedades comutativa,
elemento neutro, associativa e determine seus elementos simetrizáveis.
a) E =
e xy = x.y
b) E =
Exercício 7. Seja E =
2(
e xy = x + y – 5
) munido da operação usual de multiplicação de matrizes. Verifique se os
elementos abaixo são simetrizáveis em relação a essa operação. Em caso afirmativo determine seu
inverso.
3 
 1

a) A = 
  2  5
1 5 

b) A = 
1 5 
Exercício 8. Seja ”” uma operação em E que é associativa e tem elemento neutro “e”. Prove que:
a) se um elemento x  E é simetrizável, então o simétrico de x é único.
b) se x, y  E são simetrizáveis, então xy é simetrizável e (xy)’ = y’x’.
Gabarito
Grupo 1.
2. a) 53 = 27 e 35 = 25.
b) Em
“” não é uma operação, pois verifique que 03 = -3  .
3. a) 6x
b) 6x – 10
c) 3x – 22
1 0

4. a) 
8 5
 9  8

b) 
 4  3
  9 8

c) 
  4 3
d) 6x – 48
 1 2 

d) 
  23 21
e) 6x – 48.
 1 2 

e) 
  23 21
Grupo 2.
5. c
6. a) “” é comutativa, associativa, possui elemento neutro e = 1 e os elementos simetrizáveis são os
números reais não nulos, pois se x x’ =1 então x’ =
1
e assim x ≠ 0.
x
b) “” é comutativa, associativa, possui elemento neutro e = 5 (verifique!) e todos os elementos são
simetrizáveis, pois se x x’ =5 então x’ = 10 – x e assim x  R.
7. a) Como detA  0, temos que A é simetrizável em M2(R) em relação a multiplicação de matrizes e a
  5  3
.
inversa da matriz A é dada por A-1 = 
1 
 2
b) Como detA = 0 segue que A não é simetrizável em relação a multiplicação de matrizes.