1
José Wammes - Toledo, Paraná, 2012
© José Wammes
Coordenação Editorial: Osmar Antonio Conte
Editoração: José Wammes
Ficha Catalográfica: Rute Teresinha Schio - CRB 1095
Direitos desta edição reservados à: José Wammes
Av. Ministro Cirne Lima, 2565
CEP 85903-590 – Toledo – Paraná
Tel. (45) 3277-4000 - e-mail: [email protected]
É proibida a reprodução parcial ou total desta obra, sem autorização prévia do autor.
Impresso no Brasil – 2012
2
José Wammes - Toledo, Paraná, 2012
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
É uma sucessão de números reais não nulos em que o quociente
(divisão) de cada um deles, a partir do segundo, pelo seu antecessor é
sempre o mesmo. Esse quociente constante é chamado de razão (q)
d) (9, 3, 1, 3-1, 3-2, 3-3)
q= -1/3
e) 1, x, x2, . . . xn-1 . . . )
q= x
f) x/q2, x/q, x, x.q, x.q2)
q= “q”
3
6
12
24
48
96
192
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a3 ÷ a2
12 ÷ 6
2
a4 ÷ a3
24 ÷ 12
2
GERAL
a4 a5 a6
24 48 96
482 = 24(96)
2304 = 2304
UMA
PROGRESSÃO
an+1 = an .q.
a5 ÷ a4
48 ÷ 24
2
a6 ÷ a5
96 ÷ 48
2
EXPRESSÃO GERAL DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA
Nota-se que, ao tomarmos o termo do meio, entre três consecutivos, o do
meio é tal que elevado ao quadrado fica igual ao produto dos outros dois.
a1 a2 a3
3 6 12
62 = 12(3)
36 = 36
DE
A representação matemática de uma progressão geométrica (P.G.) é dada
por (a1, a2, a3, . . . an-1, an, an+1, ...). Logo,
Observe o seguinte exemplo:
Razão r
q= 2
REPRESENTAÇÃO
GEOMÉTRICA
da progressão geométrica, PG.
a2 ÷ a1
6÷3
2
c) (1/8, ¼, ½, 1, 2, 4, 8)
an = a1 .qn-1
A fórmula acima nos permite calcular qualquer termo de uma progressão
geométrica sem necessidade de escrevê-la por inteiro.
a5 a6 a7
48 96 192
962 = 48(192)
9216 = 9216
Identificando cada termo da fórmula:
an = é o enésimo termo (termo geral);
Observe, abaixo, alguns exemplos de progressão geométrica.
a) (1, 4, 16, 64, 256)
q= 4
b) (1/2, 1/4, . . . (1/2)n . . . )
q= -0,5
a1 = é o primeiro termo;
n = é o número de termos;
q = é a razão.
3
José Wammes - Toledo, Paraná, 2012
Exercitando alguns modelos
a) Calcular o 5º termo da progressão geométrica (1, 3, 9, 27...)
n-1
an = a1. q
a7 = 1 . 2
a7 = 1 . 2
7-1
6
a7= 64
Resolução:
a1
a5
1
?
q
A3 ÷ a2)
9÷3
3
n-1
an = a1 . q
a5 = 1 . 3
n
5-1
Todavia, podemos simplificar o cálculo utilizando a fórmula geral de uma
progressão geométrica. Observe o modelo a seguir:
5
a2 = a1 . q
n-1
a3 = a2 . q
a3= a1 . q
a5 = 1.34
a4 = a3 . q
a4= a1 . q
a5 = 81
a5 = a4 . q
a5= a1 . q
a10 = a9 . q
a10= a1 . q
a100 = a99 . q
a100= a1 . q
1
3
9
27
81
a1
a2
a3
a4
a5
2
a3= a1 . q
n-1
3
a4= a1 . q
n-1
4
a5= a1 . q
n-1
9
a10= a1 . q
n-1
99
a100= a1 . q
n-1
an = a1 . q
Alguns modelos para fixação do conteúdo
b) Qual a razão das progressões geométricas abaixo?
(2, 4, 8, 16, 32)
(3, 9, 27, 81)
(12, 6, 3, 1,5)
q = an ÷ an-1
q = an ÷ an-1
q = an ÷ an-1
q = a4 ÷ a4-1
q = a2 ÷ a2-1
q = a3 ÷ a3-1
a) Numa progressão geométrica tem-se a1 = 3, a2 = 12 e an = 768.
q= 16 ÷8
q= 9 ÷3
q= 3 ÷ 6
q= 2
q= 3
q= 0,5
c) Qual o 7º termo da progressão geométrica (1, 2, 4...)?
a1
1
a7
?
n
7
Determinar o número de termos.
Resolução:
a1
a2
3
12
4
q
n
(12 ÷ 3)
?
q
2
(4 ÷ 2)
4
José Wammes - Toledo, Paraná, 2012
n-1
4
an = a1 . q
768 = 3(4)
n-1
768 ÷ 3 = 4
256 = 4
a1(1 + q2 + q4) = 182
a1(1 + 32 + 34) = 182
a1(1 + 9 + 81) = 182
n-1
4 =4
n - 1 =4
n-1
n = 4+1
n-1
n=5
Se a1= 2 e q = 3, temos:
b) Numa progressão geométrica de 6 termos, a soma dos termos de
ordem impar é 182 e a soma dos termos de ordem par é 546.
Determine a progressão geométrica.
2
6
18
54
162
486
a1
a2
a3
a4
a5
a6
Comprovando o enunciado:
Resolução:
a1
a1 +
a2 +
a2
a3
a4
a3
a4
+
+
a1 + a3 + a5 = 182
a1 + a1.q2 + a1.q4 = 182
a1(1 + q2 + q4) = 182
a5
a5 +
a6 +
a1 + a3 + a5 = 182
a2 + a4 + a6 = 546
a6
=
=
182
546
a2 + a4 + a6 = 546
a1 .q + a1.q3 + a1.q5 = 546
a1 .q(1 + q2 + q4) = 546
Sistema de equação (simplificar, por divisão, a 2ª pela 1ª)
a1 .q(1 + q2 + q4) = 546
2+
a1(91) = 182
a1= 182 ÷ 91
a1= 2
2 + 18 + 162 = 182
6 + 54 + 486 = 546
182 = 182
546 = 546
c) Determine a progressão geométrica crescente (a1, a2, a3, . . .) em
que a5 + a7 = 80 e a8 + a10 = 640.
Resolução:
a5 + a7 = 80
a1.q4 + a1.q6 = 80
a1.q4(1 + q2) = 80
a8 + a10 = 640
a1.q7+ a1.q9 = 640
a1.q7(1 + q2) = 640
Sistema de equação (simplificar, por divisão, a 2ª pela 1ª)
4
a1 (1 + q q ) = 182
1.q=3
Logo, na 1ª equação teremos:
q=3
a1.q7(1 + q2) = 640
a1.q4(1 + q2) = 80
1 q3
=8
q3 = 8
5
José Wammes - Toledo, Paraná, 2012
q = 3√8
q= 3√23
n-1
q=2
an= a1 . q
81 = 1/9 . q
Logo, na 1ª equação teremos:
81 = 1/9 . q
4
2
a1.q (1 + q ) = 80
a1.24(1 + 22) = 80
a1.16(1 + 4) = 80
a1.16(5) = 80
a1.80 = 80
a1 = 80 ÷ 80
7-1
= 6
729 q
6
81 ÷ 1/9 = q
6
6
Fatoramos o 729.
6
3 =q
6
q=3
Logo, temos:
a1 = 1
a1 = 1/9
Se a1= 1 e q = 2 então, temos:
a2 = a1 . q
2
a3 = a1 . q
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
Comprovando o enunciado:
a5 + a7 = 80
a8 + a10 = 640
81 . 9/1 = q
16 + 64 = 80
128 + 512 = 640
80 = 80
640 = 640
a3 = (1/9).3
5
a6 = a1 . q
a6 = (1/9).3
2
5
a2 = (1/9).3
a2 = 3/9
a2 = 1/3
a3 = (1/9).9
a3 =9/9
a3 = 1
a6 = (1/9).243
a6 =243/9
a6 = 27
1/9
1/3
1
3
9
27
81
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
e) Calcular a razão de uma progressão geométrica em que o a4 = 192
e o a1 = 3.
d) Insira 5 meios geométricos entre 1/9 e 81.
Resolução:
Resolução:
1/9
a1
?
a2
a1
3
81
...
a6
a7
n-1
an= a1 . q
a1
1/9
a7
81
n
7
q
?
192 = 3 . q
4-1
192 ÷ 3 = q
a4
192
n
4
q
?
3
64 = q
q= 3√43
3
3
64 = q
q=4
6
José Wammes - Toledo, Paraná, 2012
h) Calcular o 10º termo da progressão geométrica (1, 3, 9...)
f) Numa progressão geométrica o a1 é igual a 5 e a razão é igual a 3.
Qual o termo (n) que vale 405?
Resolução:
Resolução:
a1
5
an
405
q
3
a1
1
n
?
a10
?
n-1
n-1
4
405 = 5 . 3
n-1
405 ÷ 5 = 3
81 = 3
n-1
3 =3
4=n-1
n-1
a10 = 1 . 3
a10 = 1 . 3
n=5
i)
Resolução:
3
?
a2
a1
3
n-1
48 = 3 . q
48
...
a4
5-1
48 ÷ 3 = q
4
9
a10 = 19683
n
5
.
Determinar o 4º termo da progressão geométrica (5, 10, . . .)
Resolução:
a1
5
a4
?
n-1
an = a1 . q
a5
a5
48
an = a1 . q
10-1
4+1=n
n-1
g) Qual a razão de uma progressão geométrica de 5 termos cujos
extremos são 3 e 48?
a1
q
3
a10 = 1 . 19683
an = a1 . q
an = a1 . q
n
10
a4 = 5 . 2
3
n
4
q
2
a4 = 5 . 8
a4 = 40
q
?
4
16 = q
4
24 = q
q=2
7
José Wammes - Toledo, Paraná, 2012
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1)
Determine o 10º termo da progressão geométrica (1/3, 1, 3, 9 ...).
Questão
2)
Numa progressão geométrica o a4 é igual a 32 e o a1 é igual a 1 / 2.
Resposta
1
6561
2
q=4
3
q= +- 2;
4
288
5
q= 1/10
6
-1/4 ou -4
7
800 m
8
(2000, 1000, 500, 250, 125, 125/2, 125/4, 125/8, 125/16,
Determine a razão e, depois, o 8º termo.
3)
Construa a progressão geométrica em que a soma do a3 com o a5 é
igual a 5/4 e a soma do a7 com o a9 é igual a 20.
4)
Qual é o 5º termo da progressão geométrica (2/9, 4/3, 8 ...)?
5)
O a4 de uma progressão geométrica é 1/250 e o a1 é igual a 4. Qual a
razão dessa progressão geométrica?
6)
Calcule a razão de uma progressão geométrica cujo a2 é igual a 12 e a
soma do a1 com o a3 é igual a -51.
7)
Num programa de condicionamento físico, um atleta nada sempre o
dobro da distância completada no dia anterior. Se no 1º dia ele
nadou 25 m, quanto nadará no 6º dia?
8)
Interpole oito meios geométricos entre 2000 e 125/32.
9)
Interpolando cinco termos geométricos entre 2/625 e 50, determine
a8 = 8192
PG (1/16, 1/8, ¼ . . .) e ( 1/16, -1/8, ¼, -1/2. . .).
125/32).
9
2
o a5 da progressão geométrica obtida.
8
José Wammes - Toledo, Paraná, 2012
PARA SABER MAIS
BIBLIOGRAFIA
Vieira Sobrinho, José Dutra. Matemática Financeira. 7ª edição, Atlas,
2000, São Paulo. CDD 513.93 – FASUL.
GIOVANI, José Ruy. et al. Matemática fundamental. 2º Grau. São Paulo:
Paiva, Manoel. Matemática. 1ª edição, Editora Moderna, 2000, São Paulo.
CDD 510.7 – FASUL.
Barreto Filho, Benigno; Silva, Cláudio Xavier da. Matemática. Volume
único, FTD, 2000, São Paulo. CDD 510.7 - FASUL.
Editora FTD S/A, S. d.
IEZZI, Gelson. et. al. Matemática. São Paulo: Editora Atual, 1997.
YAMADA, Akihiro. Curso de matemática financeira. Matemática básica.
Módulo I. Apostila. Curitiba. S. d.
Iezzi, Gelson; Hazzan, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar.
6ª edição, Atual Editora. CDD 510.07 – FASUL.
Wikipedia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_aritm%C3%A9tica
Youtube
http://www.youtube.com/watch?v=962PPICCDEk
9
José Wammes - Toledo, Paraná, 2012
SOMA DOS TERMOS
GEOMÉTRICA FINITA
DE
UMA
PROGRESSÃO
Seja a progressão geométrica finita (a1, a2, . . ., an) de razão q ≠ 1.
Queremos encontrar uma expressão para:
Observações:
a) O cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão
geométrica, como observamos, depende do conhecimento da
Sn = a1 + a2 + a3 +. . . + an-1 + an. Efetuando as operações algébricas devidas,
encontraremos a fórmula que nos fornece a soma dos termos de uma
progressão geométrica finita.
razão e de seu 1º termo.
b) Note que a expressão encontrada é válida apenas para q≠1. Se q =
1, a progressão geométrica tem todos os termos iguais entre si (ela é
FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA FINITA
constante). Desse
modo, se quisermos determinar o valor da soma
de seus n primeiros termos, procederemos conforme abaixo:
Sn = n . a1
n
Sn = a1 (q – 1) / q - 1
Quando da ausência do número de termos, podemos nos valer da fórmula
a seguir, para a soma dos termos da progressão geométrica.
Alguns modelos para fixação do conteúdo
a) Calcule a soma dos seis primeiros termos da progressão
geométrica (1, 3, 9, . . .)
Sn = ( an . q) - a1 / q - 1
Resolução:
Identificando cada termo da fórmula
a1
n
q
Sn
1
6
3
?
Sn = Soma dos “n” termos de uma progressão geométrica;
a1 = primeiro termo;
q = razão;
an = último termo
n = número de termos da P.G.
Sn = a1 (qn – 1) / q - 1
S6 = 1 (36 – 1) / 3 - 1
S6 = 1 (729 – 1) / 2
S6 = 1 (728) / 2
S6 = (728) / 2
S6 = 364
10
José Wammes - Toledo, Paraná, 2012
b) Calcular a soma dos 4 primeiros termos da progressão geométrica
(2, 4, . . . )
Resolução:
a1
n
q
Sn
1
6
3
?
Resolução:
a1
n
q
Sn
2
4
2
?
Sn = a1(qn – 1) / q - 1
S4 = 2 (2 – 1) / 2 - 1
S4 = 2(15) / 1
S4 = 2(15)
S4 = 2 (16 -1) / 1
S4 = 30
4
Sn = a1.(qn – 1) / q - 1
S6 = 1(3 – 1) / 3- 1
S6 = 1 (728)/ 2
S6 = (728)/ 2
S6 = 1 (729 – 1) / 2
S6 = 364
6
e) A soma da progressão geométrica (5, 15, 45, 135) é?
Resolução:
c) A soma dos termos da progressão geométrica (1, 2, 3, 8, 16, 32,
64, 128) é?
Resolução:
a1
q
n
Sn
5
3
4
?
Sn = a1(qn – 1) / q - 1
n
q
Sn
S4 = 5 (3 – 1) / 3- 1
1
8
2
?
S4 = 5(81 – 1) / 2
Sn = a1 (qn – 1) / q - 1
S8 = 1 (2 – 1) / 2 - 1
S8 = 1(255) / 1
S8 = 1(255)
S8 = 1(256 – 1) / 1
S8 = 255
8
S4 = 5 (80) / 2
4
a1
S4 = 200
f) A soma dos termos da progressão geométrica (2, 6, 18, ..., 1458)
é?
Resolução:
d) A soma dos termos da progressão geométrica (1, 3, 9, 27, 81, 243)
é?
a1
q
n
an
Sn
2
3
?
1458
?
11
José Wammes - Toledo, Paraná, 2012
Sn = (an . q) - a1 / q - 1
Resolução:
Sn = (4372) / 2
Sn = [(1458 . 3) – 2] / 3 – 1
Sn = (4374 – 2) / 2
Sn = 2186
g) O primeiro termo de uma (a1) de uma progressão geométrica é 2
a1
q
n
Sn
2
2
5
?
Sn = a1(qn – 1) / q - 1
S5 = 2(31)
5
e o último termo (an) é 486. Calcular o número de termos n e a razão q,
S5 = 2(2 – 1) / 2 - 1
sabendo-se que a soma dos termos Sn é 728.
S5 = 2(32 – 1) / 1
S5 = 61
Resolução:
MODELOS PROPOSTOS PARA FIXAÇÃO DO CONTEÚDO
a1
q
n
a1
Sn
2
?
?
2
728
Sn = (an . q) - a1 / q - 1
728q – 486q = 728 - 2
728 = (486 . q) - 2 / q – 1
728(q - 1) = (486q) - 2
728q – 728 = 486q -2
242q = 726
q = 726 / 242
q=3
n-1
an = a1 . q
243 = 3
5=n-1
n-1
5+1=n
n-1
2) Quantos termos da progressão geométrica (2, 6, 18. . .) devem ser
considerados a fim de que a soma resulte em 19.682?
3) Calcule a soma dos sete primeiros termos da progressão
geométrica (4, 12, 36, ...).
n-1
n-1
486 = 2 . 3
486/2 = 3
5
3 =3
1) Calcular a soma dos dez primeiros termos da progressão
geométrica (80, 40, 20, . . .). Represente o resultado em forma de
fração.
4) Numa progressão geométrica de termos positivos o a1 é igual a 5
e o a7 é igual a 320. Calcule a soma dos dez primeiros termos da
progressão geométrica.
n=6
5)
h) A soma dos termos da progressão geométrica (2, 4, 8, 16, 32) é?
Numa progressão geométrica, o a2 é igual a 1/100 e o a5 é igual a
10. Calcule a soma: a) de seus quatro primeiros termos; b) de seus
seis primeiros termos.
6) Calcule a soma dos dez primeiros termos da progressão
geométrica: m, m2, m3,...: a) Para m = 1; b) m = 4.
12
José Wammes - Toledo, Paraná, 2012
7) Um indivíduo contraiu uma dívida e precisou pagá-la em oito
prestações assim determinadas: 1ª de $ 60,00; a 2ª de $ 90,00; a
3ª de $ 135,00; e assim por diante. Qual o valor total da dívida?
8) Num apiário há seis viveiros. O numero de abelhas em cada
viveiro está indicado na tabela abaixo. Supondo que os valores
variam segundo uma progressão geométrica, quantas abelhas há,
ao todo, no apiário?
1º viveiro
2º viveiro
3º viveiro
...
Machos
3
6
12
...
Fêmeas
2
6
18
...
9) Numa cidade, 3100 jovens alistaram-se para o serviço militar. A
Junta militar da cidade convocou, para exame médico, 3 jovens no
1º dia, 6 no 2º, 12 no 3º e assim sucessivamente. Quantos jovens
ainda devem ser convocados para o exame médico após o 10º dia
de convocações?
11) Quantos termos devemos considerar na progressão geométrica
(3, 6, ...) para obter uma soma de 765?
12) Numa progressão geométrica, a2 = 6 e a4 = 54. Ache a soma dos 5
primeiros termos.
QUADRO GERAL DE RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Questão
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Resposta
S10 =5115 / 32
n=9
4372
5115
a) 1111/1000 b) 111111/1000
a) 10; b) (411 – 4) / 3
$(+-) 2.956,00
917
31
10 dias
n=8
S5 = 242
10) Uma exposição de arte deseja arrecadar fundos para uma creche.
O número de pessoas que visitam a exposição varia de acordo
com uma progressão geométrica de razão 2. No 1º dia, 2 pessoas
visitaram a exposição. Se de cada pessoa é cobrado um ingresso
de $ 3,00, qual é o número mínimo de dias que a exposição deve
permanecer aberta a fim de que o total arrecadado atinja o valor
de $ 6.138,00?
.
13
José Wammes - Toledo, Paraná, 2012
BIBLIOGRAFIA
GIOVANI, José Ruy. et al. Matemática fundamental. 2º Grau. São Paulo:
Editora FTD S/A, S. d.
IEZZI, Gelson. et. al. Matemática. São Paulo: Editora Atual, 1997.
YAMADA, Akihiro. Curso de matemática financeira. Matemática básica.
Módulo I. Apostila. Curitiba. S. d.
14
José Wammes - Toledo, Paraná, 2012