Calculo e Instrumentos
Financeiros
Parte 2
Faculdade de Economia da
Universidade do Porto
2014/2015
1
Operações algébricas com uma
variável aleatória
2
Operações algébricas simples
• Se somarmos uma constante a uma variável
aleatória
– O valor médio vem aumentado
– O desvio padrão mantêm-se
 (a  X )  a   ( X )
 (a  X )   ( X )
3
Operações algébricas simples
Ex. A altura das pessoas é N(1.75, 0.15)
Supondo-as em cima de uma cadeira com 0.5m,
a altura total será N(2.25, 0.15)
4
Operações algébricas simples
n
n
i 1
i 1
 (a  X )   pi  (a  xi )   ( pi  a  pi  xi )
n
n
i 1
i 1
  pi  a   pi  xi  a   ( X )
5
Operações algébricas simples
n
 p  (a  x )  (a   ( X ))
 (a  X ) 
i 1

n
2
i
i
 p  x   ( X ) 
i 1
2
i
i
  ( x)
6
Operações algébricas simples
• Se multiplicarmos uma constante por uma
variável aleatória
– O valor médio vem multiplicado
– O desvio padrão vem multiplicado pelo valor absoluto
da constante
 (a  X )  a   ( X )
 (a  X )  a   ( X )
7
Operações algébricas simples
n
n
i 1
i 1
 (a  X )   pi  (a  xi )   ( pi  a  xi )
n
 a   pi  xi  a   ( X )
i 1
8
Operações algébricas simples
 (a  X ) 
n
 p  (a  x )  (a   ( X ))
i 1
n
2
i
i
 a   pi  xi   ( X )   a   ( x)
2
2
i 1
9
Operações algébricas simples
• Ex.2.14. Um marceneiro tem 1000€/mês de
despesas fixas e tem de margem das vendas
de, em média, 15€ e desvio padrão de 20€ por
cada móvel que produz . Supondo que projecta
produzir este mês 100 móveis, qual será a sua
remuneração em termos médios?
• R. Atendendo às propriedades, teremos
100  – 1000 = 100  15 – 1000 = 500€
100  = 100  20 = 2000€
10
Ex.2.15
• Um empresário está a avaliar o aluguer de um
barco de pesca pelo qual paga 3mil€/dia.
• Demora um dia de viagem para cada lado e
pesca, durante 5 dias, 2500kg/dia
• O preço de venda segue distribuição N(2,1)€/kg
• Quanto será o lucro?
• Qual a probabilidade de ter prejuízo?
11
Ex.2.15
• O lucro será
52500N(2; 1) – 30007
=12500N(2; 1) – 21000
= N(25000; 12500) – 21000
= N(4000; 12500)
• Em média 4mil€ com desvio padrão de 12.5mil€
• A probabilidade de ter prejuízo será 37.45%,
=NORMDIST(0;4000;12500;TRUE).
12
Exercício
• Compro os legumes a 0.50€/kg, pago 75€ pelo
transporte e o preço de venda é desconhecido
tendo distribuição N(0.60; 0.15)€/kg.
• i) Determine qual vai ser o meu lucro de
intermediar 1000kg de legumes.
• ii) Determine a probabilidade de eu ter prejuízo.
13
Exercício
i) Lucro = V.(Pvenda – Pcompra) – Ctransporte
= 1000[N(0.60, 0.15) – 0.50] – 75
Lucro = N(600, 0.15x1000) – 575 = N(25, 150)
ii) No Excel teríamos
A1: =Dist.Norm(0; 25; 150; Verdadeiro)  43.38%
14
Exercício
• Ex.2.16. O empresário A fez uma descoberta
que lhe permite desenvolver um negócio cujo q
de Tobin é N(1.5, 0.25) e onde é necessário
investir 1M€.
• Sendo que o empresário A vendeu ao
empresário B metade do negócio por 625k€,
• qual será o q de Tobin de A e de B?
15
Exercício
• R. A investe 375k€ que terá
RECEB .
0.5
q

 N (1.5,0.25)  N (2,0.333)
INVEST . 0.375
• B investe 625k€ que terá
0.5
q
 N (1.5,0.25)  N (1.2,0.2)
0.625
16
Acções - obrigações
• O Ex.2.16 ilustra porque é vantajoso o
empreendedor emitir acções da sua empresa.
• Uma acção é uma parte do capital próprio da
empresa tendo, em termos contabilísticos, um
certo valor nominal, normalmente 1€.
17
5ª Aula
18 de Nov
18
Acções - obrigações
• Por exemplo, uma empresa com um capital
social de 10M€ divide-se em 10M de acções com
valor nominal de 1€ cada.
• A acção dá direitos de voto na condução dos
destinos da empresa e é remunerada com uma
parte dos lucros, o dividendo, que é incerto.
19
Acções - obrigações
• As acções têm maior risco que as obrigações
porque, em caso de insolvência, os activos da
empresa pagam primeiro as obrigações e
apenas o que sobrar (i.e., nada) é que é dividido
pelas acções.
• Além disso, no contrato de emissão o resultado
das obrigações é conhecido (o cupão e o valor
de remissão) enquanto que o lucro da empresa é
variável.
20
Acções - obrigações
• Interessa ao empresário dispersar o capital da
empresa porque, normalmente, a empresa emite
as acções, numa operação denominada por OPV
(mercado primário), a um preço superior ao valor
contabilístico.
• As acções são depois transaccionadas entre
investidores (mercado secundário) sendo o seu
preço, denominado por cotação, determinado
pela expectativa que os agentes económicos têm
da evolução futura do negócio (i.e., dos
dividendos e da cotação).
21
Operações algébricas não
simples
• Se quisermos calcular um prémio de um seguro
de vida em que a duração do individuo é uma
variável aleatória, as operações algébrica não
são simples:
V  (1  r )
L
P
 (1  (1  r )  L )(1  r )
r
V r
P
L
L 1
(1  (1  r ) )(1  r )
22
Operações algébricas não
simples
• Cálculo expedito. Sendo que temos y = g(x),
obtemos um valor aproximado da distribuição
usando os dois pontos notáveis
x1 =  -  e x 2 =  + 
• Calculamos y1 = g(-) e y2 = g(+)
• Valor médio = (y1 + y2)/2
• Desv. padrão = |y2 - y1|/2
23
Operações algébricas não
simples
• Nas distribuições simétrica é indiferente usar
• Valor médio = (g(-) + g(+))/2  g()
• Nas distribuições assimétricas é melhor usar
• Valor médio = (g(-) + g(+))/2
24
Exercício
• Ex.2.17. O prémio de um seguro de vida com
r = 2%/ano, L ~ N(50, 10)
• i) Determine qual devem ser as reservas
Y/1000€ de forma a ter Y = (P) + (P).
• ii) Se a seguradora propõe um prémio
antecipado de 15€/ano por 1000€ seguros, qual
será o seu lucro?
25
Exercício
L
V  (1  i)  r
P
L
1
(1  (1  r ) )(1  r )
• P(40) = 16.23€/ano; P(60) = 8.60€/ano.
• a seguradora precisará reservas com média
(16.23+8.60)/2 = 12.42€/ano e desvio padrão
(16.23-8.60)/2 = 3.82€/ano aconselhando a
prudência a que as reservas sejam 12.42+3.82 =
16.23€/ano.
26
Exercício
• P(40) = 16.23€/ano; P(60) = 8.60€/ano.
•
Lucro(40) = 15–16.23 = –1.23€/ano;
•
Lucro (60) = 15–8.60 = 6.40€/ano.
• Para uma longevidade genérica, o lucro do
seguro terá
• valor médio = (–1.23 + 6.40)/2 = 2.59€/ano
• desvio padrão = (6.40+1.23)/2 = 3.82€/ano.
27
Operações algébricas não
simples
• Divisão em cenários. Já utilizamos esta
abordagem (ex.2.8 + ex.2.11).
• Divide-se o domínio da variável em cenários
sendo conveniente utilizar a folha de cálculo.
• Ao considerarmos intervalos mais pequenos,
estamos a diminuir o “erro de cálculo”.
28
Operações algébricas não
simples
29
Operações algébricas não
simples
• C7: =NORMDIST(B7;C$2;C$3;TRUE)NORMDIST(A7;C$2;C$3;TRUE)
• D7: =(A7+B7)/2+0,5
• E7: =F$1-H$1*F$2/(1-(1+F$2)^-D7)/(1+F$2)^(D7+1)
• F7: =C7*E7
• G7: =E7-F$40
• H7: =G7^2*C7
• C39: =SUM(C7:C38)
• F40: =SUM(F7:F38)/$C39
• H39: =SUM(H7:H38)/$C39
• H40: =H39^0,5
30
Método de Monte Carlo
• Método de Monte Carlo.
• 1) Sorteamos vários valores para a variável de
acordo com a sua função distribuição.
• 2) Aplica-se o modelo aos “dados” e determinase uma população de resultados possíveis.
• Calcula-se o valor médio, o desvio padrão, fazse um histograma, etc., dos resultados.
Tools + Data Analyses + Random Number
Generation **
31
Método de Monte Carlo
**Excel 2007
Instalamos o Data Analyses
Office Button + Excel Options
+ Add Ins + Excel Add Ins Go…
Depois, aparece em Data o Data Analysis
32
Método de Monte Carlo
33
Método de Monte Carlo
2.69
34
Método de Monte Carlo
• Quando derem o R, verão que o Método de
Monte Carlo é de simples implementação
• É muito flexível e poderoso
• Permite determinar o “erro de cálculo”
35
Comparação dos métodos
• O método expedito, por usar apenas dois pontos
notáveis, será o de menor grau de confiança
• A divisão em cenários está dependente do
detalhe dos cenários
• O método de monte carlo está dependente do
número de elementos extraídos
36
Comparação dos métodos
• No caso do Ex.2.17
37
Diversificação do risco
38
Diversificação do risco
• O modelo estatístico ajuda a decidir num
problema com risco
• Podemos diminuir o risco
actividades – diversificando
juntando
• Em termos estatísticos, são operações de
soma de variáveis aleatórias.
39
Diversificação do risco
• Em termos económicos trata-se de
construir uma carteira de activos
• “Não pôr os ovos todos no mesmo cesto”
• Uma concretização negativa de um activo
será estatisticamente compensada por
uma concretização positiva de outro activo
40
Diversificação do risco
• Por exemplo, na praia podemos vender
gelados e gabardines.
• Quando faz calor, a venda de gabardines
dá prejuízo e a de gelados dá lucro
• Quando chove, a venda de gabardines dá
lucro e a de gelados dá prejuízo
• Vender de ambos diminui o risco
41
Diversificação do risco
Faz Calor
Chove
+200
-100
Gabardines -100
+200
Total do
negócio
+100
Gelados
+100
42
Duas variáveis
• Divisão das variáveis em cenários
– Probabilidades cruzadas
• Já utilizamos no ex.2.5
• O método é semelhante à situação em
que temos uma variável estatística, mas
agora serão cenários que envolvem a
concretização de vários contingências.
43
Exercício
• Ex.2.18. Um pescador precisa decidir se
vai pescar ou não.
• Não sabe a quantidade que vai pescar
nem o preço a que vai vender.
• A intuição permite-lhe construir cenários e
atribuir-lhes probabilidades.
• De, em simultâneo, se verificar uma
quantidade pescada (em kg) e um preço
(em €/kg).
44
Exercício
Pesca \ preço
[1; 2]€/k ]2; 3]€/k
]3; 4]€/k
[0; 100]kg
0%
4%
10%
[100; 250]kg
1%
35%
15%
]250; 400]kg
5%
10%
10%
]400; 500]kg
9%
1%
0%
45
Exercício
• O pescador pode agora calcular a receita
(em termos médios e desvio padrão)
multiplicando a quantidade (do meio do
intervalo) pelo preço (do meio do
intervalo) e decidir ir pescar se, e.g., a
receita média menos o desvio padrão for
maior que os custos fixos
46
Exercício
47
Exercício
•
•
•
•
•
•
B8: =$A2*B$1
F2: =B8*B2
H6: =SUM(F2:H5)
F8: =(B8-$H$6)^2*B2
H12: =SUM(F8:H11)
H13: =H12^0,5
48
Decisão
• Depende agora dos custos fixos
necessários para poder pescar. Se
fossem, por exemplo, 500€ ficaria
• Lucro médio = 61,50€
• Des.Pa.lucro = 270,76€
• Se a função objectivo fosse LM-DP =
61.50-270.76, não ia pescar por ser <0.
49
6ª Aula
50
Exercício
• Ex.2.19. Uma empresa com 1000
trabalhadores pretende contratar um
seguro de trabalho que dura 5 anos
• O seguro, em caso de morte, paga 60
meses de salário à viúva.
• Quanto deve ser o prémio mensal,
antecipado?
51
Exercício
• R. Temos 3 variáveis desconhecidas,
• a taxa de juro, a longevidade e o salário
• Vamos supor que a seguradora assumiu
45 cenários, calculou as probabilidades de
cada um e construiu um modelo no Excel.
• Assume-se que a probabilidade de nos 5
anos o trabalhador morrer é 0,140%
52
Exercício
53
Exercício
54
Exercício
•
•
•
•
•
•
K3: =I3*$O$2*H3/(1-(1+H3)^-G3)/(1+H3)
L3: =K3*J3
M3: =(K3-$L$52)^2*J3
L51: =SOMA(L3:L49)
M50: =SOMA(M3:M49)
M51: =M50^0,5
55
Exercício
• As reservas médias são de 4.91€ pelo que
a seguradora tem lucro médio positivo
com um prémio baixo, 6€/mês
• Mas, este negócio tem um risco tão
elevado (d.p.=166.85€/mês) para a
seguradora que é inviável.
• Apenas será possível se a seguradora
conseguir diversificar este seguro.
– Segurar os 1000 trabalhadores?
56
Associação entre variáveis - FD
• No caso de termos duas variáveis
aleatórias, além da F. Distribuição e
dos parâmetros (valor médio e desvio
padrão) que caracterizam cada uma
das variáveis,
• haverá um parâmetro para quantificar o
grau de associação estatística entre as
variáveis.
57
Associação entre variáveis - FD
• Por
exemplo,
nas
calças
são
importantes a largura da cintura e a
altura de perna do cliente que, na hora
de fabrico, são desconhecidas.
• Mas, num cliente aleatório, em média,
quanto maior for a sua cintura, maior
será a sua altura de perna.
•  As calças de número maior são mais
compridas
58
Associação entre variáveis -FD
• Covariância: é um parâmetro que condensa a
associação entre duas variáveis estatísticas.
N
 ( x, y ) 
 x
i 1
i
  x  yi   y 
N
59
Associação entre variáveis
• t1A covariância pode ser negativa, zero ou
positiva.
• É crescente com os desvios padrão das
variáveis
• A variância é um caso particular da
covariância
60
Associação entre variáveis
• Coeficiente de correlação linear de
Pearson, (x, y)
• Retira à covariância o efeito dos desvios
padrão
 ( x, y)
 ( x, y) 
 ( x)   ( y )
  ( x, y)   ( x, y)   ( x)   ( y)
61
Associação entre variáveis
• Coeficiente de correlação linear está no
intervalo [–1; 1]
• Se for zero, as variáveis não estão
associadas (linearmente).
• Se for –1 ou 1, estão perfeitamente
associados em sentido contrário ou no
mesmo sentido, respectivamente.
62
Associação entre variáveis
• Propriedades da covariância e do
coeficiente de correlação linear
i) A covariância (e o coeficiente de
correlação linear) entre duas constantes
ou entre uma variável e uma constante é
zero
 (a, b) = 0; (a,X) = 0
63
Associação entre variáveis
ii) Somando uma constante a uma das
variáveis, a covariância e o coeficiente de
correlação linear mantêm-se:
 (a+X,Y) = (X,Y);
(a+X,Y) = (X,Y)
64
Associação entre variáveis
iii) Multiplicando uma das variáveis por uma
constante, a covariância vem multiplicada
e o coeficiente de correlação linear
mantém-se (a menos do sinal e de ser
zero):
 (a.X,Y) = a.(X,Y);
(a.X,Y) = sig(a). (X,Y)
65
Associação entre variáveis
iv) A covariância e o coeficiente
correlação são comutativos:
 (X,Y) = (Y,X);
(X,Y) = (Y,X)
de
66
Exercício
X~N(10;5), Y~N(-1;3), (X; Y) = 0.7
Determine
a)  (3X; 2Y) e (3X;2Y)
b)  (-X; 2Y) e (-X;2Y)
c)  (5-5X;-2-Y) e (5-5X;-2-Y)
67
Exercício
 (X; Y) = 0.7*5*3 = 10.5
a)  (3X; 2Y)=3*2*10.5 = 63, (3X;2Y)=0.7
b)  (-X; 2Y)= -1*2*10.5 = -21, (-X;2Y)=-0.7
c)(5-5X;-2-Y) = -5*-1*10.5 = 52.5,
(5-5X;-2-Y) = -1*-1*0.7=0.7
68
Soma de variáveis estatísticas
diversificação do risco
69
Soma de variáveis estatísticas
• Até agora apenas somamos constantes com
variáveis
• É muito relevante no contexto da M.F. porque
modeliza o comportamento estatístico das
carteiras de activos partindo-se das
propriedades individuais dos activos que a
constituem.
70
Soma de variáveis estatísticas
• Distribuição da soma de duas V.A.
• Se as variáveis tiverem distribuição normal, então a
soma também terá distribuição normal.
• Se não tiverem, a soma será mais próxima da
distribuição normal que as distribuições das parcelas.
• A soma de + 30 variáveis aleatórias com distribuição
desconhecida que sejam pouco correlacionadas, pode
assumir-se que tem distribuição normal.
71
Soma de variáveis estatísticas
• Média da soma.
• Sendo que existem duas variáveis, X e Y,
• a soma Z = X + Y terá como valor médio a
soma dos valores médios de cada variável
estatística.
72
Soma de variáveis estatísticas
• Variância e desvio padrão da soma.
• Sendo que existem duas variáveis, X e Y,
• a soma Z = X + Y terá como variância a soma
das variâncias de cada variável mais duas
vezes a covariância.
 ( z)   ( x)  2 ( x, y)   ( y)
2
2
2
73
Exercício
• t2 Ex.2.22. Um intermediário de legumes, quando
encomenda desconhece o preço de aquisição e de
venda dos legumes PC ~ N(0.50€/kg, 0.10€/kg).
• PV ~ N(0.60€/kg, 0.15€/kg).
• Tem que pagar 75€ pelo transporte.
• A correlação linear entre o preço de compra e de
venda é de 0.5
• i) Determine qual vai ser o lucro de intermediar
1000kg de legumes.
• ii) Determine a probabilidade de ter prejuízo.
74
Exercício
• Trata-se de operações algébricas com variáveis
aleatórias.
• Lucro = 1000(PV – PC) –75.
PV – PC = N(0.60, 0.15) – N(0.50, 0.10)
= N(0.10, (0.152+2(– 0.5)0.150.10+0.102))
= N(0.10, 0.1323)
Troca o sinal da correlação porque está a subtrair = *(-1)
75
Exercício
• 1000 N(0.10, 0.132) = N(100, 132.3)
N(100, 132.3) –75 = N(25, 132.3)
No Excel, =NORMDIST(0; 25; 132.3;TRUE)
Tem 42.5% de probabilidade de ter prejuízo
76
Exercício
• Ex.2.23. Duas acções, com rentabilidades
X ~ N(5%; 5%)/ano e Y ~ N(10%, 7%)/ano
e com correlação linear de 0.25.
• Determine a rentabilidade de uma carteira
com a proporção 0.5 de X e 0.5 de Y.
77
Exercício
• Z = 0.5X+0.5Y
• (Z) = (0.5X)+ (0.5Y)
= 0.5(X)+ 0.5(Y)
= 0.5x5%+ 0.5x10%
= 7.5%/ano
78
Exercício
• Z = 0.5X + 0.5Y
• 2(Z) = 2(0.5X)
+ 2 (0.5X, 0.5Y)
+ 2(0.5Y)
= (0.5x5%)2
+ 2x0.25x(0.5x5%)x(0.5x7%)
+ (0.5x7%)2
=0,0022875  (Z) = 4.78%
79
7ª Aula
25 Nov
80
Extensão à soma de N variáveis
•
•
•
•
Se eu somar três variáveis, posso fazer
X+(Y+Z)
E retiro que
2(X+Y+Z) =
= 2(X)+ 2(Y)+ 2(Z)
+ 2(X,Y)+2(X,Z) +2(Y,Z)
Facilmente estendo para N
81
Extensão à soma de N variáveis
• Ex.2.24. Uma empresa pretende lançar o seu
produto em novos mercados.
• Moscovo tem custo Cm  N(3, 0.5) e resultado
actualizado das vendas Vm  N(7, 1)
• São Petersburgo tem custo Csp  N(2, 0.6) e
resultado actualizado das vendas Vsp  N(6, 2).
• O lucro resulta de subtrair os custos ao resultado
actualizado das vendas,
82
Extensão à soma de N variáveis
• Os coeficiente de correlação linear são

Cm
Csp
Vm
Vsp
Cm
1
0
0.5
0
Csp
0
1
0
0.5
Vm
0.5
0
1
0.7
Vsp
0
0.5
0.7
1
83
Extensão à soma de N variáveis
• i) Determine o lucro da representação de
Moscovo e de São Petersburgo
(separadas).
• ii) Determine o lucro de abertura das duas
representações (em conjunto).
84
Extensão à soma de N variáveis
• i) Lucro da representação (separadas).
Lm = Vm – Cm = N(7; 1) – N(3; 0.5)
= N(4, (12 +210.5(-0.5) + 0.52))
= N(4, 0.866)
Lsp = Vsp–Csp = N(6; 2) – N(2; 0.6)
= N(4, (22 +220.6(-0.5) + 0.62))
= N(4, 1.778)
85
Extensão à soma de N variáveis
• i) Lucro das representações juntas.
Lm = Vm – Cm + Vsp–Csp
= N(7; 1) – N(3; 0.5) + N(6; 2) – N(2; 0.6)
= N(8, (12 + 0.52 + 22 + 0.62 +
210.5-0.5+ 220.6-0.5 + 21 20.7))
= N(8, 2.59)
Para simplificar, só tenho 3 correlações diferentes de zero.
86
Exercício
• Ex.2.25. Um seguro de trabalho cobra um
prémio de 6€/ano e obriga a seguradora a
constituir como reservas
F(4.91; 166.65)€/ano.
• i) Supondo que os acidentes não estão
correlacionados, determine o lucro por
trabalhador de segurar 1, 100
trabalhadores e 1000trabalhadores.
87
Exercício
• L1 = P-R = 6- F(4.91; 166.65)
= F(1.09; 166.65)€/ano
• L100 /100 = (L1 +L1 + … + L1)/100 =
= N(109;  (100*166.652))/100
= N(1.09;16,67) €/ano
• L1000 /100 = (L1 +L1 + … + L1)/1000 =
= N(1090;  (1000*166.652))/1000
= N(1.09;5,27) €/ano
88
Exercício
• ii) Supondo que quando há um acidente é
provável que morra mais que um
trabalhador. Assim, recalcule o lucro por
trabalhador com a correlação entre as
fatalidades assumida como 0.1
89
Exercício
L100  F (1.09; 166.65)  ...  F (1.09; 166.65)  / 100


100 99
2
 N 109; 100 166.65  2 
 0.1  166.65  166.65  / 100
2


 N 1.09; 55.02


L1000  N 1090; 1000 166.652  1000* 999* 0,1 * 166,652 / 1000
 N 1.09; 16.74
90
Exercício
• Quanto menos correlacionados estiverem
os acontecimentos e maior número de
acontecimentos misturarmos,
• maior será a diminuição do risco e
• mais a função distribuição resultante se
aproxima da função distribuição normal.
91
Exercício
• Ex.2.26. O “Seguro de Invalidez”, ex.2.21,
obriga a F(7.27, 351.65)€/mês de reservas
por cada 500€/mês de indemnização. O
prémio será o valor médio das reservas
mais o desvio padrão.
• Supondo
que
a
invalidez
dos
trabalhadores não está correlacionada,
determine o prémio em função do tamanho
da carteira de seguros.
92
Exercício
Re  F (n  7.27; n  351.65 ) / n
2
 N (7.27; 351.65 / n )
P  7.27  351.65 / n
n = 100  P = 42.44€/mês;
n = 1000  P = 18.39€/mês;
n = 10000  P = 10.79€/mês.
93