Universidade do Algarve
Campeonato de Matemática SUB12
2005/2006
Problema 10 – Os anos passam mais depressa para uns do que
para outros?
O senhor Joaquim, de 62 anos, tem cinco netos: o
André com 14, o Carlos com 9, a Marta com 3, a
Diana com 1 e a Eva também com 1 ano.
Daqui a alguns anos, a soma das idades das
netas será igual à soma das idades dos netos.
• Se o senhor Joaquim ainda for vivo, que idade terá nessa altura?
RESOLUÇÃO
Os concorrentes seguiram um de dois processos. Vejamos o que diz o Francisco Sacarrão da
EB23 D. Martinho Castelo Branco, Portimão.
«Efectuei a resolução do problema seguindo o seguinte processo:
1º- Fiz a soma das idades actuais das 3 netas (3+1+1=5), ou seja, a soma actual das
idades das 3 netas são 5 anos;
2º- Depois, fiz a soma das idades actuais dos 2 netos (14+9=23), ou seja, a soma actual
das idades dos 2 netos são 23 anos;
3º- Sabendo que as netas são 3, conclui-se que, em cada ano que passa, devem ser
aumentados 3 anos à soma da idade das 3 netas;
4º- Sabendo que os netos são 2, conclui-se que, em cada ano, que passa devem ser
aumentados 2 anos à soma da idade dos 2 netos;
5º- Seguindo este raciocínio, através de uma tabela, vou adicionar o número de anos até
que a soma da idade das netas seja igual à soma da idade dos netos:
Soma
+1
das
+2
+3
2006
idades
ano
anos
anos
+4
+5
+6
anos
anos
anos
...
+14
+15
+16
anos
anos
anos
+ 17
+ 18
anos
anos
Netos
23
25
27
29
31
33
35
...
51
53
55
57
59
Netas
5
8
11
14
17
20
23
...
47
50
53
56
59
6º- Assim verificamos que ao fim de 18 anos a soma da idade das 3 netas é igual à soma
da idade dos 2 netos (59).
RESPOSTA: Se o Sr. Joaquim for vivo, nessa altura terá (62+18=80) 80 anos de idade.
O problema não tem mais soluções porque, após decorridos 18 anos, altura em que o
valor da soma da idade dos netos é igual à soma da idade das netas, com o decorrer
dos anos a soma da idade das netas começa a afastar-se da soma da idade dos netos: a
cada ano que passa a diferença entre a soma das idades das netas e a soma das idades
dos netos aumenta 1 unidade. Desta forma esta situação não volta a repetir-se».
A Carolina Arede da EB23 Francisco Ornelas da Câmara, Açores, e o Diogo Simão da EB23
Dr. Joaquim Magalhães, Faro, raciocinaram de uma forma muito simples. Foi mais ou menos
assim:
«Actualmente a soma das idades das netas é 5 (3+1+1) e a soma das idades dos netos
é 23 (14+9). A diferença entre as somas das idades é 18 (23-5). Como os rapazes são 2
e as raparigas são 3, por cada ano que passa, a soma das idades dos rapazes aumenta
Campeonato de Matemática SUB12 - www.fct.ualg.pt/matematica/5estrelas/sub12
de 2 unidades e a soma das idades das raparigas aumenta de 3 unidades. Isto é, a
diferença entre as somas das idades diminui de uma unidade por cada ano que passa.
Então são precisos 18 anos para que as somas das idades se igualem».
Para se poder perceber melhor a situação, imaginemos que as raparigas são 4 e os rapazes 2.
Se as raparigas fossem 4 (com 2 anos, 1 , 1, 1), por cada ano que passasse, a soma das suas
idades aumentaria de 4 unidades, enquanto a dos rapazes apenas aumentaria de 2 unidades.
Então, a diferença entre as somas das idades diminuiria de duas unidades e seriam precisos,
apenas 9 anos para que as somas das idades se igualassem.
O João Pedro Valente da EB23 Dr. António de Sousa Agostinho, Almancil, usou uma equação
para resolver o problema.
Diz ele:
«Seja X o número de anos necessários para que as somas das idades se igualem.
A soma das idades das netas daqui a X anos vai ser:
(3+X) + (1+X) + (1+X)
A soma das idades dos netos daqui a X anos vai ser:
(14+X) + (9+X)
Como a soma das idades das netas tem de ser igual à soma das idades dos netos, fica:
(3+X) + (1+X) + (1+X) = (14+X) + (9+X)
Resolvendo:
3+X+1+X+1+X = 14+X+9+X
5+3X = 23+2X
3X-2X = 23 –5
X = 18
Resposta: O Sr. Joaquim terá 80 (62+18) anos».
Campeonato de Matemática SUB12 - www.fct.ualg.pt/matematica/5estrelas/sub12