INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
11a LISTA DE PROBLEMAS E EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR - 2a
FASE
LCEIC-Taguspark, LCERC, LCEGI, LCEE
o
1 semestre 2007/08 - aulas práticas de 2008-01-11 e 2008-01-16
1. Diga, justificando, quais das seguintes funções constituem transformações lineares. No
caso de serem transformações lineares, faça a discussão dos respectivos núcleo e imagem.
a) T : M(2 × 2, R) → M(2 × 3, R) tal que T (A) = AB, em que B é uma matriz
fixa 2 × 3 não-nula.
b) T : M(n × n, R) → R tal que T (A) = trA, em que trA representa o traço da
matriz A.
c) T : M(m × n, R) → M(n × m, R) tal que T (A) = AT , em que AT representa
a matriz transposta da matriz A.
"
d) T : M(2×2, R) → R tal que T
a b
c d
"
e) T : M(2 × 2, R) → R tal que T
#!
a b
c d
= 3a−4b+c−d, em que a, b, c, d ∈ R.
#!
= a2 + b2 , em que a, b, c, d ∈ R.
f) T : P2 → P2 tal que T (a + bx + cx2 ) = a + b(x + 1) + c(x + 1)2 , em que a, b, c ∈ R.
g) T : P2 → P2 tal que T (a + bx + cx2 ) = (a + 1) + (b + 1)x + (c + 1)x2 , em que
a, b, c ∈ R.
h) T : P2 → R tal que T (p(x)) =
R1
−1
p(x) dx
2. Sejam os vectores v1 , v2 , v3 do espaço linear W e T : W → R3 a transformação linear
dada por:
T (v1 ) = (1, −1, 2), T (v2 ) = (0, 3, 2), T (v3 ) = (−3, 1, 2)
Encontre T (2v1 − 3v2 + 4v3 ).
3. Seja a base B = {v1 , v2 } de R2 , em que v1 = (1, 1) e v2 = (1, 0) e seja T : R2 → R2
a transformação linear tal que:
T (v1 ) = (1, −2) e T (v2 ) = (−4, 1)
Encontre a fórmula para T (x1 , x2 ) e use-a para calcular T (5, −3).
4. Seja a base B = {v1 , v2 } de R2 , em que v1 = (−2, 1) e v2 = (1, 3) e seja T : R2 → R3
a transformação linear tal que:
T (v1 ) = (−1, 2, 0) e T (v2 ) = (0, −3, 5)
Determine a matriz que representa T na base B da partida e na base canónica da
chegada. Use-a para calcular a fórmula para T (x1 , x2 ) e use-a para calcular T (2, −3).
5. Seja a base B = {v1 , v2 , v3 } de R3 , em que v1 = (1, 2, 1), v2 = (2, 9, 0) e v3 = (3, 3, 4)
e seja T : R3 → R2 a transformação linear tal que:
T (v1 ) = (1, 0) , T (v2 ) = (−1, 1) e T (v3 ) = (0, 1)
Determine a matriz que representa T na base B da partida e na base canónica da
chegada. Use-a para calcular a fórmula para T (x1 , x2 , x3 ) e T (1, 0, −1).
6. Considere as seguintes matrizes canónicas associadas a operadores lineares em R3 e
determine a matriz que representa o respectivo operador linear na base dos vectores
próprios.


3 0 0


(a)  0 −3 1 
0 1 1


1 1 0


(b)  1 1 0 
0 0 0


6 0 2


(c)  0 −2 0 
3 0 1
7. Seja T : R2 → R2 a transformação linear definida por T (x1 , x2 ) = (x1 − 2x2 , x1 + x2 )
e seja a base B1 = {v1 , v2 } de R2 , em que v1 = (1, 1) e v2 = (−1, 0)
a) Calcule, em relação à base B1 no espaço de partida e de chegada, a matriz A =
M (T, B1 , B1 ) que representa T relativamente a esta base.
b) Determine a matriz que representa T relativamente à base canónica de R2 , B =
M (T, Bc(2) , Bc(2) ).
c) Represente o respectivo diagrama comutativo, relacionando B com a matriz A
através da matriz mudança de base.
d) Calcule o transformado por T do vector v = (1, −1), usando a matriz A da alı́nea
a).
e) Calcule a imagem por T do mesmo vector v = (1, −1), usando a matriz B da
alı́nea b).
f) Represente o respectivo diagrama comutativo.
8. Seja T : R2 → R3 a transformação linear definida por T (x1 , x2 ) = (x1 + 2x2 , −x1 , x2 )
e sejam as bases B1 = {v1 , v2 } de R2 e B2 = {u1 , u2 , u3 } de R3 , em que
v1 = (1, 3) , v2 = (−2, 4) e u1 = (1, 1, 1), u2 = (2, 2, 0) , u3 = (3, 0, 0)
a) Calcule, em relação às base B1 e B2 no espaço de partida e de chegada, respectivamente, a matriz A = M (T, B1 , B2 ) que representa T relativamente a essas
bases.
b) Determine a matriz que representa T relativamente às bases canónicas de R2 e
de R3 , B = M (T, Bc(2) , Bc(3) ).
c) Represente o respectivo diagrama comutativo, relacionando B com a matriz A
através das matrizes mudança de base.
d) Calcule o transformado por T do vector v = (2, −1), usando a matriz A da alı́nea
a).
e) Calcule a imagem por T do mesmo vector v = (2, −1), usando a matriz B da
alı́nea b).
f) Represente o respectivo diagrama comutativo.
9. Deduza as matrizes que representam as seguintes transformações lineares nas respectivas bases canónicas e use-as para determinar o núcleo e a imagem da transformação.
a) T : M(2 × 2, R) → M(2 × 3, R) tal que T (A) = AB, em que
"
1 0 2
0 1 3
B=
#
b) T : M(3 × 3, R) → R tal que T (A) = trA, em que trA representa o traço da
matriz A.
c) T : M(3 × 2, R) → M(2 × 3, R) tal que T (A) = AT , em que AT representa a
matriz transposta da matriz A.
"
d) T : M(2×2, R) → R tal que T
a b
c d
#!
= 3a−4b+c−d, em que a, b, c, d ∈ R.
e) T : P2 → P2 tal que T (a + bx + cx2 ) = a + b(x + 1) + c(x + 1)2 , em que a, b, c ∈ R.
10. Considere o espaço linear P2 dos polinómios reais de variável real de grau menor ou
igual a 2 e a transformação linear T : P2 → P2 definida por
f (t) 7→ 2f 0 (t) − f (t)
onde f 0 designa a derivada de f .
a) Determine a matriz que representa a transformação linear T em relação à base
{1, t, t2 } (base canónica) de P2 . Diga, justificando, se a transformação linear T é
invertı́vel.
b) Encontre os valores próprios e os vectores próprios associados á transformação
linear T .
c) Encontre a função g ∈ P2 tal que (T (g))(t) = (t + 1)2 , t ∈ R.
11. Considere as transformações lineares T1 : M(2 × 2, R) → M(2 × 2, R) e T2 : M(2 ×
2, R) → M(2 × 2, R), em que M(2 × 2, R) representa o espaço vectorial das matrizes
T
T
2 × 2 com entradas reais, dadas por T1 (A) = A+A
e T2 (A) = A−A
.
2
2
a) Determine as matrizes que representam T1 e T2 , respectivamente, relativamente
à base canónica de M(2 × 2, R) no espaço de partida e de chegada.
b) Determine os valores próprios de T1 e T2 e os vectores próprios associados.
"
c) Calcule T1
1 2
3 4
#!
"
e T2
1 2
3 4
#!
.
d) Mostre que as imagens de T1 e T2 são complementos ortogonais, quando se considera o produto interno usual em M(2 × 2, R).