Questão 20
Questão 21
A figura representa, em um sistema ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na origem do sistema, e os
pontos A = (1, 2), B, C, D, E e F, correspondentes às interseções das retas e do eixo Ox
com a circunferência.
A área da região hachurada na figura A vale
log10 t, para t > 1.
Nestas condições, determine
a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F
e a área do hexágono ABCDEF.
b) o valor do cosseno do ângulo AÔB.
Resposta
a) Como as retas r e s são simétricas em relação
ao eixo Oy, xB = −x A = −1 e y B = y A = 2, ou seja,
B = (−1; 2).
Os segmentos OA, OB, OC, OD, OE e OF têm todos comprimento igual ao raio da circunferência
dado por OA = 12 + 2 2 = 5 . Assim xF = OF =
= 5 e y F = 0, xC = −OC = − 5 e y C = 0, ou seja,
F = ( 5 ; 0) e C = (− 5 ; 0).
Ainda, E é o simétrico de B em relação à origem
e D é o simétrico de A em relação à origem.
AssimxE = −xB = 1, y E = −y B = −2, xD = −x A = −1,
y D = −y A = −2, ou seja, E = (1; −2) e D = (−1; −2).
Como os trapézios CBAF e CDEF são congruentes, a área do hexágono ABCDEF é o dobro da
área do trapézio CBAF, ou seja, é igual a
(CF + AB) ⋅ y A
2 ⋅
= (2 5 + 2 ) ⋅ 2 = 4 5 + 4.
2
b) No triângulo OAB, pela lei dos co-senos AB 2 =
= OA 2 + OB 2 − 2 ⋅ OA ⋅ OB ⋅ cos(AÔB) ⇔
( 5 )2 + ( 5 )2 − 2 2 3
= .
⇔ cos(AÔB) =
5
2 ⋅ 5 ⋅ 5
a) Encontre o valor de t para que a área seja 2.
b) Demonstre que a soma das áreas das regiões hachuradas na figura B (onde t = a) e
na figura C (onde t = b) é igual à área da região hachurada na figura D (onde t = ab).
Resposta
a) A área é igual a 2 se, e somente se,
log10 t = 2 ⇔ t = 100.
b) As áreas das regiões hachuradas nas figuras
B, C e D são log10 a, log10 b e log10 ab, respectivamente. Como log10 ab = log10 a + log10 b para
todos a, b reais positivos, a soma das áreas das
regiões hachuradas nas figuras B e C é igual à
área da região hachurada na figura D.
Questão 22
Um recipiente, contendo água, tem a forma de
um cilindro circular reto de altura h = 50 cm e
raio r = 15 cm. Este recipiente contém 1 litro
de água a menos que sua capacidade total.
matemática 2
a) Calcule o volume de água contido no cilindro (use π = 3,14).
b) Qual deve ser o raio R de uma esfera de
ferro que, introduzida no cilindro e totalmente submersa, faça transbordarem exatamente
2 litros de água?
cio da caminhada se, e somente se, t é múltiplo
de 12 e de x, ou seja, t é múltiplo de mmc (12, x).
Portanto o número de encontros f(x) do casal no
ponto P durante uma caminhada de 2 h = 120 min
é o quociente da divisão euclidiana de 120 por
mmc (12, x).
a) Para x = 18, mmc (12, x) = mmc (12, 18) = 36.
Como 120 = 3 ⋅ 36 + 12, após a partida, o casal se
encontra no ponto P três vezes durante a caminhada de 2 horas.
b) Considerando 18 ≤ x ≤ 25, se 12 e x são primos
entre si, mmc (12, x) = 12x > 120. Conseqüentemente f(19) = f(23) = f(25) = 0.
Como mmc (12, 20) = 60, mmc (12, 21) = 84,
mmc (12, 22) = 132 e mmc (12, 24) = 24, temos
f(20) = 2, f(21) = 1, f(22) = 0 e f(24) = 5. Podemos,
assim, construir o gráfico
Resposta
a) O volume total do recipiente é igual a π ⋅15 2 ⋅ 50 =
= 11 250 π cm 3 . O volume de água contido no cilindro é igual a (11 250 π − 1 000) cm 3 , ou seja, adotando a aproximação π ≅ 3,14, esse volume é
igual a 34,325 litros.
b) Como o recipiente contém 1 litro de água a
menos que sua capacidade, para que transbordem 2 litros de água, o volume da esfera deve
4
ser de 3 litros. Assim,
π R 3 = 3 000 cm 3 ⇔
3
3 ⋅ 3 000
9
cm ≅ 8,95 cm.
⇔ R =3
= 10 3
4π
4 ⋅ π
Questão 23
Questão 24
Com base na figura, que representa o círculo
trigonométrico e os eixos da tangente e da
cotangente,
Um jovem e uma jovem iniciam sua caminhada diária, em uma pista circular, partindo simultaneamente de um ponto P dessa pista,
percorrendo-a em sentidos opostos.
a) Sabendo-se que ela completa uma volta em
18 minutos e ele em 12 minutos, quantas vezes o casal se encontra no ponto P, após a
partida, numa caminhada de duas horas?
b) Esboce o gráfico da função f(x) que representa o número de encontros do casal no ponto P, após a partida, numa caminhada de
duas horas, com ele mantendo a velocidade
correspondente a 12 minutos por volta e ela
de x minutos por volta. Assuma que x é um
número natural e varia no intervalo [18, 25].
a) calcule a área do triângulo ABC, para
π
.
α =
3
b) determine a área do triângulo ABC, em
π
π
função de α,
.
< α <
4
2
Resposta
Resposta
O jovem passa pelo ponto P a cada 12 minutos e
a jovem, a cada x minutos, x inteiro positivo. Um
encontro no ponto P ocorre t minutos após o iní-
Suporemos que α é o ângulo formado pela reta
π
π
AC e pelo eixo das abscissas e
.
< α <
4
2
matemática 3
Sendo P = (1; 0), temos PC = tgα. Como
π
π
< α <
⇒ tgα > 1, BC = tgα − 1.
4
2
Como o eixo das co-tangentes é paralelo ao eixo
$
das abscissas, m(BAC)
= α. Sendo o triângulo
BC
ABC retângulo em B, temos tgα =
⇔
AB
tgα − 1
. Portanto a área do triângulo
⇔ AB =
tgα
1
1 tgα − 1
ABC é
⋅ AB ⋅ BC =
⋅
⋅ (tgα − 1) =
2
2
tgα
( tgα − 1) 2 tg 2 α − 2 tgα + 1
=
=
=
2 tgα
2 tgα
sen 2 α
+1
2
sen 2 α + cos 2 α
−1=
= cos α
−1=
senα
2 senα cosα
2 ⋅
cosα
1
=
− 1.
sen 2 α
1
π
Para α =
, a área é igual a
−1 =
2π
3
sen
3
2 3
=
− 1.
3
2 3
1
b)
Respostas: a)
−1
−1
3
sen 2 α
Questão 25
Um determinado produto é vendido em embalagens fechadas de 30 g e 50 g. Na embalagem
de 30 g, o produto é comercializado a R$ 10,00
e na embalagem de 50 g, a R$ 15,00.
a) Gastando R$ 100,00, qual é a quantidade
de cada tipo de embalagem para uma pessoa
adquirir precisamente 310 g desse produto?
b) Qual é a quantidade máxima, em gramas,
que uma pessoa pode adquirir com R$ 100,00?
Resposta
a) Sejam x a quantidade de embalagens de 30 g
e y a quantidade de embalagens de 50 g. Nas
condições do problema:
10x + 15y = 100
x =7
⇔
30x + 50y = 310
y = 2
Logo a pessoa deve comprar 7 embalagens de
30 g e 2 embalagens de 50 g.
b) Sendo x a quantidade de embalagens de 30 g
e y a quantidade de embalagens de 50 g, queremos que 30x + 50y seja o maior possível, onde o
par (x; y) ∈N 2 satisfaz10x + 15y ≤ 100 .
Como, para y fixado, devemos tomar o maior x
possível, podemos montar a seguinte tabela:
y
maior x possível
30x + 50y
0
1
2
3
4
5
6
10
8
7
5
4
2
1
300
290
310
300
320
310
330
Logo a quantidade máxima é 330 g.