4a Lista de Exercı́cios de Introdução à Estatı́stica
Graduação em Ciências Atuariais/Estatı́stica
IM-UFRJ
Referência: Morris H. DeGroot e Mark J. Schervish (2002). Probability and Statistics
(3rd Edition) Addison-Wesley.
Exercı́cio 6.2.2. Suponha que a proporção θ de itens defeituosos em um grande lote
manufaturado assume os valores 0.1 ou 0.2, e a função de probabilidade (f.p.) a priori de
θ é como segue:
ξ(0.1) = 0.7 e ξ(0.2) = 0.3.
Suponha também que, quando 8 itens são selecionados ao acaso do lote, é encontrado
que exatamente dois deles são defeituosos. Determine a f.p. a posteriori de θ.
Exercı́cio 6.2.3. Suponha que o número de defeitos num rolo de fita magnética tem
distribuição de Poisson para qual a média λ assume os valores 1.0 ou 1.5, e a f.p. a priori
de λ é como segue:
ξ(1.0) = 0.4 e ξ(1.5) = 0.6.
Se um rolo de fita é selecionado ao acaso e são encontrados 3 defeitos, qual é a f.p. a
posteriori de λ?
Exercı́cio 6.6.5. Suponha que X1 , . . . , Xn formam uma amostra aleatória de uma
distribuição Uniforme no intervalo [a, b], onde a e b são desconhecidos. Encontre o estimador de máxima verossimilhança (E.M.V.) da média da distribuição.
Exercı́cio 6.6.12. Suponha que X1 , . . . , Xn formam uma amostra aleatória de uma
distribuição Exponencial para qual o valor do parâmetro β é desconhecido. Mostre que
a sequência de E.M.V.’s de β é consistente.
Exercı́cio 7.1.2. Suponha que uma amostra aleatória é extraı́da de uma distribuição
Normal com média desconhecida θ e desvio-padrão 2. Qual deve ser o tamanho da
2
amostra tal que Eθ (|X n − θ| ) 6 0.1 para cada possı́vel valor de θ?
Exercı́cio 7.1.4. Para as mesmas condições do exercı́cio anterior, qual deve ser o
tamanho da amostra tal que Pr(|X n − θ| 6 0.1) > 0.95 para cada possı́vel valor de θ?
Exercı́cio 7.1.5. Suponha que uma amostra aleatória é extraı́da de uma distribuição
Bernoulli com parâmetro p, desconhecido. Suponha também que acredita-se que o valor
de p está na vizinhança de 0.2. Qual deve ser o tamanho da amostra tal que Pr(|X n −p| 6
0.1) > 0.75 quando p = 0.2?
Exercı́cio 7.5.2. Suponha que uma amostra aleatória de 8 observações é extraı́da de
uma distribuição Normal para qual a média µ e a variância σ 2 são desconhecidas; e que
os valores observados são 3.1, 3.5, 2.6, 3.4, 3.8, 3.0, 2.9 e 2.2. Encontre o menor intervalo
de confiança para µ com cada um dos seguintes coeficientes de confiança:
(a) 0.90, (b) 0.95 e (c) 0.99.
Exercı́cio 7.5.4. Suponha que X1 , . . . , Xn formam uma amostra aleatória de uma
distribuição Normal para qual a média µ é desconhecida e a variância σ 2 , conhecida.
Qual deve ser o tamanho da amostra de forma a obter um intervalo de confiança para µ
com coeficiente de confiança 0.95 e amplitude menor que 0.01σ?