Equação do Segundo Grau
1. (G1 - ifsp 2014) A soma das soluções inteiras da equação
 x2  1   x2  25   x2  5x  6  0 é
a) 1.
b) 3.
c) 5.
d) 7.
e) 11.
2. (G1 - utfpr 2014) O valor da maior das raízes da equação 2x2 + 3x + 1 = 0, é:
a) 2
b) 1
c) – 1
d) – 1/2
e) 1/2
3. (G1 - ifce 2014) Determinando-se, na equação 2x2 – 6x + 12 + 0, a soma das raízes, obtémse
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
4. (Ufg 2014) Uma loja vende Q caixas de um certo tipo de buchas plásticas por R$ 480,00.
Para acabar com o estoque dessas buchas, a loja anuncia um desconto de R$ 8,00 no preço
de cada caixa, de modo que o preço de Q  2 caixas dessas buchas ainda é R$ 480,00. Diante
do exposto, calcule o valor de Q.
5. (G1 - cftrj 2014) Para qual valor de “a” a equação  x  2   2ax  3    x  2   ax  1  0
tem duas raízes reais e iguais?
a) –1
b) 0
c) 1
d) 2
6. (Espm 2014) Se as raízes da equação 2x2  5x  4  0 são m e n, o valor de
igual a:
5
a) 
4
b) 
3
2
c)
3
4
d)
7
4
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e)
1 1
 é
m n
5
2
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7. (Unifor 2014) Uma indústria de cimento contrata uma transportadora de caminhões para
fazer a entrega de 60 toneladas de cimento por dia em Fortaleza. Devido a problemas
operacionais diversos, em certo dia, cada caminhão foi carregado com 500 kg a menos que o
usual, fazendo com que a transportadora nesse dia contratasse mais 4 caminhões para cumprir
o contrato. Baseado nos dados acima se pode afirmar que o número de caminhões usado
naquele dia foi:
a) 24
b) 25
c) 26
d) 27
e) 28
8. (G1 - cftmg 2013) Se o produto de dois números naturais pares consecutivos é igual a 360,
então a soma deles é
a) 32.
b) 34.
c) 36.
d) 38.
9. (G1 - utfpr 2013) O(s) valor(es) de m para que a equação x2  mx  3  0 tenha apenas
uma raiz real é(são):
a) 0.
b) 4.
c) 12.
d) 2 3.
e) inexistente para satisfazer esta condição.
10. (Uepg 2013) Sendo p e q as raízes da função y  2x2  5x  a  3, onde
1 1 4
  ,
p q 3
assinale o que for correto.
01) O valor de a é um número inteiro.
02) O valor de a está entre 20 e 20.
04) O valor de a é um número positivo.
08) O valor de a é um número menor que 10.
16) O valor de a é um número fracionário.
11. (Enem PPL 2013) Uma fábrica utiliza sua frota particular de caminhões para distribuir as
90 toneladas de sua produção semanal. Todos os caminhões são do mesmo modelo e, para
aumentar a vida útil da frota, adota-se a política de reduzir a capacidade máxima de carga de
cada caminhão em meia tonelada. Com essa medida de redução, o número de caminhões
necessários para transportar a produção semanal aumenta em 6 unidades em relação ao
número de caminhões necessários para transportar a produção, usando a capacidade máxima
de carga de cada caminhão.
Qual é o número atual de caminhões que essa fábrica usa para transportar a produção
semanal, respeitando-se a política de redução de carga?
a) 36
b) 30
c) 19
d) 16
e) 10
12. (Fuvest 2013) Um empreiteiro contratou um serviço com um grupo de trabalhadores pelo
valor de R$ 10.800,00 a serem igualmente divididos entre eles. Como três desistiram do
trabalho, o valor contratado foi dividido igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro
pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o serviço, R$ 600,00 além do combinado
no acordo original.
a) Quantos trabalhadores realizaram o serviço?
b) Quanto recebeu cada um deles?
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13. (G1 - cftmg 2013) As raízes da equação x2 + mx + n = 0 são reais e simétricas. Nessas
condições, m e n são números reais de modo que
a) m = 0 e n > 0.
b) m = 0 e n < 0.
c) m < 0 e n > 0.
d) m > 0 e n > 0.
14. (Espm 2013) As raízes da equação 3x2  7x  18  0 são α e β. O valor da expressão
α 2β  αβ2  α  β é:
a)
b)
c)
d)
e)
29
3
49
3
31
3
53
3
26
3
15. (Unisinos 2012) As soluções da equação x2  3x  4  0 são
a) - 4 e -1.
b) - 4 e 1.
c) - 4 e 3.
d) - 1 e 3.
e) 1 e 3.
16. (G1 - utfpr 2012) Fulano vai expor seu trabalho em uma feira e recebeu a informação de
que seu estande deve ocupar uma área retangular de 12 m2 e perímetro igual a 14 m.
Determine, em metros, a diferença entre as dimensões que o estande deve ter.
a) 2.
b) 1,5.
c) 3.
d) 2,5.
e) 1.
17. (Unioeste 2012) Um quintal tem a forma de um retângulo tal que a medida de um de seus
lados é o triplo da medida do outro e seu perímetro em metros é igual à sua área em metros
quadrados. Neste caso, quanto mede o maior lado do quintal?
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 8 m.
d) 6 m.
e) 18 m.
18. (G1 - cftmg 2012) O módulo da menor raiz da equação x2  64  108  0 é
a) 0,0008.
b) 0,008.
c) 0,08.
d) 0,8.
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19. (G1 - ifce 2012) Se x1 e x2 são as raízes da equação 3x2 – 5x + p – 2 = 0, onde p é um
1
1 5
número real, e sabendo-se que

 , pode-se concluir corretamente que
x1 x2 2
a) p = –2.
b) p = –8/5.
c) p = 0.
d) p = 2.
e) p = 4.
20. (Uespi 2012) Para qual valor real e positivo de a, a soma dos quadrados das raízes da
equação x2  ax  12 é igual a 25?
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
e) 3
21. (G1 - utfpr 2012) Renata apresentou a sua amiga a seguinte charada: “Um número x cujo
quadrado aumentado do seu dobro é igual a 15”. Qual é a resposta correta desta charada?
a) x = 3 ou x = 5.
b) x = –3 ou x = –5.
c) x = –3 ou x = 5.
d) x = 3 ou x = –5.
e) apenas x = 3.
22. (G1 - ifpe 2012) Sérgio está fazendo um regime alimentar. Numa conversa com seu amigo
Olavo, este lhe perguntou: “Com quantos quilogramas você está agora?”. Como os dois são
professores de matemática, Sérgio lhe respondeu com o desafio: “A minha massa atual é um
número que, diminuído de sete vezes a sua raiz quadrada dá como resultado o número 44”.
Assinale a alternativa que apresenta a massa atual do Prof. Sérgio, em quilogramas.
a) 100
b) 110
c) 115
d) 121
e) 125
23. (G1 - ifal 2012) Assinale a alternativa que complete a frase: A equação do 2º grau 2x2 – 5x
= 3...
a) admite duas raízes inteiras.
b) admite uma raiz natural.
c) não admite raízes reais.
d) admite duas raízes naturais.
e) admite duas raízes negativas.
24. (G1 - ifba 2012) Considere a equação do 2º grau, em x, dada por 5x2+bx+c=0. Se as raízes
dessa equação são r1=-1 e r2=2/5, então o produto b . c é igual a:
a) 1
b) 5
c) - 5
d) 6
e) - 6
25. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Se a 
*

é raiz da equação na incógnita y,
1  y 4  y2  y  1, então
a) 0 < a < 1
b) 1  a 
3
2
3
a2
2
5
d) 2  a 
2
c)
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[C]




Considerando a equação produto x2  1  x2  25  x2  5x  6  0, temos;
x 2  1  0  x 2  1 (Não possui raízes reais)
x 2  25  0  x 2  25  x   25  x  5
x 2  5x  6  0  x 
( 5)  1
 x  2 ou x  3
2 1
Portanto, a soma de suas raízes inteiras será 5  (5)  2  3  5.
Resposta da questão 2:
[D]
x
3  1
1
2
 x   ou x  1, logo o valor da maior das raízes da equação 2x + 3x + 1 = 0, é
4
2
1
 .
2
Resposta da questão 3:
[C]
A soma das raízes S de uma equação do segundo grau é dada por:
S
6  3
b

a
2
Resposta da questão 4:
Seja p o preço de uma caixa. Temos
Qp  480
Q  10

.

(Q  2)(p  8)  480
p  48
Portanto, Q  10.
Resposta da questão 5:
[C]
 x  2   2ax  3   x  2   ax  1  0  (x  2)  (2ax  3  ax  1)  0  (x  2)  (ax  2)  0
Para que x = 2 seja raiz dupla devemos ter 2a  2  0  a  1.
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Resposta da questão 6:
[A]
Sendo a  2, b  5 e c  4, das relações entre coeficientes e raízes, vem
b

1 1 nm
b
( 5)
5
 
 a  
 .
c
m n
mn
c
4
4
a
Resposta da questão 7:
[A]
Sejam n e q, respectivamente, o número de caminhões utilizado e a capacidade de cada
caminhão. Tem-se que
n  q  (n  4)  (q  500)  q  125  n  500.
Desse modo, vem
n  q  60000  n  (125  n  500)  60000
 n2  4n  480  0
 n  20.
Portanto, o resultado pedido é 20  4  24.
Resposta da questão 8:
[D]
Sejam n e n  2 dois números naturais pares consecutivos cujo produto é 360. É fácil ver que
n  18. Logo, a soma pedida é 2n  2  38.
Resposta da questão 9:
[D]
Considerando o valor do Delta nulo, temos:
m2 – 12 = 0
m   12
m 2 3
Obs.: uma equação do segundo grau com discriminante nulo apresenta duas raízes reais e
iguais.
Resposta da questão 10:
02 + 04 + 08 + 16 = 30.
1 1 4
pq 4
  
  3  (p  q)  4  p  q
p q 3
pq 3
O triplo da soma das raízes é igual ao quádruplo do produto das raízes
3.
(5)
a3
27
 4.
 15  4a  12  4a  27  a 
 a  6,75.
2
2
4
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[01] Falsa, 6,75 não é inteiro.
[02] Verdadeira, –20 < 6,75 < 20.
[04] Verdadeira, 6,75 > 0.
[08] Verdadeira, 6,75 < 10.
[16] Verdadeira, pois a = 27/4.
Resposta da questão 11:
[A]
Sejam n e c, respectivamente o número de caminhões e a capacidade máxima de cada
1
caminhão. Logo, como n  c  90 e (n  6)  (c  )  90, segue-se que n2  6n  1080. Daí,
2
como n é natural, só pode ser n  30 e, portanto, o resultado pedido é 30  6  36.
Resposta da questão 12:
n = número inicial de trabalhadores.
10800
Cada trabalhador deveria receber
.
n
Como três desistiram e os demais receberam cada 600 reais a mais referente ao valor que
caberia aos três desistentes, temos a equação:
600.(n  3)  3 
10800
324
 6.(n  3) 
 6n2  18n  324  0
n
n
Resolvendo a equação acima, temos: n = 9 ou n = –6 (não convém).
a) Portanto, 6 (9 – 3) trabalhadores realizaram o serviço.
10800
b) Cada um deles recebeu
 1800 reais.
6
Resposta da questão 13:
[B]
Se as raízes são simétricas, então sua soma é igual a zero, isto é, 
m
 0  m  0. Além
1
disso, como as raízes são reais, deve-se ter 4  1 n  0  n  0.
Resposta da questão 14:
[B]
Pelas Relações de Girard, obtemos     
7
e    6. Logo,
3
α 2β  αβ2  α  β  αβ  (α  β)  (α  β)
 (α  β)  (αβ  1)
7
   (6  1)
3
49

.
3
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Resposta da questão 15:
[B]
Basta aplicar a fórmula para a resolução da equação do 2º grau.
x
3  32  4.1.( 4) 3  25


2.1
2
x  4
x 1
Portanto, as soluções são - 4 e 1.
Resposta da questão 16:
[E]
Para que o perímetro do retângulo seja 14, as dimensões deverão ser x e 7 – x.
Como a área (A) é 12, podemos escrever:
x  7  x   12
 x 2  7x  12  0
x  3  7  3  4
x 2 – 7x  12  0 
x  4  7  4  3
Portanto a diferença entre suas dimensões é 4 – 3  1.
Resposta da questão 17:
[C]
Medidas dos lados: x e 3x
Perímetro: P = 3x + 3x + x + x = 8x
Área: 3x2
Fazendo A = P, temos:
3x2 = 8x
x = 0 (não convém) ou x = 8/3
Portanto, 3x = 3.(8/3) = 8.
Resposta da questão 18:
[A]
x2  64  108
x  8  104
x  0,0008 ou x  0,0008.
Portanto, 0,0008  0,0008.
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Resposta da questão 19:
[E]
 5
  
x1  x2 5
1
1 5
5
5
3 5

 
  
 
  p  2  2  p  4.
p

2
x1 x2 2
x1  x2
2
2
p2 2
3
Resposta da questão 20:
[A]
Suponhamos que a equação seja x2  ax  12  0.
Se  e  são as raízes da equação, então queremos calcular o valor real positivo de a para o
qual α 2  β2  25.
Das relações entre coeficientes e raízes, segue que α  β  a e     12.
Portanto, como α2  β2  (α  β)2  2  α  β, vem
α 2  β2  25  (α  β)2  2  α  β  25
 ( a)2  2  12  25
 a2  49
 a  7.
Observação: x2  ax  12 é uma expressão.
Resposta da questão 21:
[D]
x2 + 2x = 15
x2 + 2x – 15 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau, temos:
x
x
2  64
2  8
x
2.1
2
x
6
3
2
10
 5
2
Resposta da questão 22:
[D]
x2 = massa de Sérgio.
De acordo com o problema, temos:
x2  7. x 2  44  0
x2  7x  44  0
Resolvendo a equação temos: x = 11 ou x =- 4 (não convém)
Portanto, a massa de Sérgio será: x2 = 112 = 121 kg
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Resposta da questão 23:
[B]
Resolvendo a equação acima, temos:
x
5  49
1
 x  3 ou x   , logo, admite uma raiz natural.
4
2
Resposta da questão 24:
[E]
r1  r2  
r1 . r2 
b
2
b
 1     b  3
5
5
5
c
2 c
 1   c  2
a
5 5
Portanto, b  c  3   2  6 .
Resposta da questão 25:
[B]
1  y 4  y2  y  1
1  y 4  y2  y2  2y  1  y 4  y 2  y 2  2y  y 4  y 2  y 4  4y3  4y 2 
 4y3  5y 2  0  y 2 .(4y  5)  0  y  0(não convém) ou y 
4
5
 1,25(convém)
4
2
5
5 5
1         1(verdade)
4
4 4
3
Portanto, a = 1,25 e 1  a  .
2
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