Chapter 5
Design & Analysis of Experiments
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1
Example 5.1 The Battery Life Experiment
Text reference pg. 167
A = Material type; B = Temperature (A quantitative variable)
1.
What effects do material type & temperature have on life?
2. Is there a choice of material that would give long life regardless of
temperature (a robust product)?
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2
Statistical (effects) model:
 i  1, 2,..., a

yijk     i   j  ( )ij   ijk  j  1, 2,..., b
k  1, 2,..., n

Other models (means model, regression models) can be useful
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3
Design-Expert Output – Example 5.1
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4
5
Residual Analysis – Example 5.1
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6
Residual Analysis – Example 5.1
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7
Interação significante é indicada pela falta de paralelismo entre as linhas. Em geral,
maior vida é alcançada pela temperatura mais baixa, sem olhar o tipo de material.
Na variação da temperatura mais baixa para a temperatura intermediária, o tempo de
vida do material 3 parece crescer, enquanto ele decresce para os outros materiais.
Da temperatura intermediária para a alta, o tempo de vida decresce para os materiais
2 e 3 e permanece inalterado para o material 1.
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Comparações múltiplas
• Quando a ANOVA indica que os efeitos de linha ou coluna ou de
interação estão presentes, é de interesse fazer comparações entre as
médias de linhas ou colunas ou de interações.
• Os métodos de comparações múltiplas foram apresentados no Capítulo
3.
• Ilustraremos aqui o uso do teste de Tukey sobre a vida da bateria.
• Observe que nesse experimento a interação é significante.
• Quando a interação é significante , comparações entre as médias de um
fator A podem ser obscurecidas pela interação AB.
• Uma abordagem para essa situação é fixar o fator B em um nível
específico e aplicar o teste de Tukey para as médias do fator A nesse
nível.
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Comparações múltiplas
Suponha que no exemplo trabalhado, estejamos
interessados em detectar diferenças entre as
médias dos três tipos de material.
Como a interação entre material e temperatura é
significante, fazemos essa comparação em um dos
níveis de temperatura, por exemplo 70ºF.
Suponha que a melhor estimativa da variância é
dada por MSE da tabela ANOVA, usando a
suposição de que a variância do erro experimental
é a mesma sobre todas as combinações de
tratamento.
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Teste de Tukey para a comparação de pares de médias: revendo...
• O procedimento de Tukey usa a estatística studentizada
q
y max  y min
MSE
e y min
, com y max  Max{ y1. , y 2. ,..., y a.}
n
 Min{ y1. , y 2. ,..., y a.}
• Valores da distribuição da estatística q foram tabulados
q ( p, f ), com p - n.de tratamentos e f n. de grausde liberdade
• Para um experimento balanceado, o teste de Tukey rejeita
a hipótese nula se
MSE
yi.  y j.  T  q ( p, f )
Chapter
35
Chapter
Design
Experiments
Design &&Analysis
Analysis of Experiments
7E
Montgomery
7E 2009
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n
11 11
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Comparações múltiplas
• Se há interação significativa, o experimentador
poderia comparar todas as ab médias das celas
para determinar qual delas diferem
significativamente.
• Nessa análise, diferenças entre as médias das celas
incluem efeitos de interação bem como efeitos
principais.
• No exemplo em análise isso daria 36 comparações
entre todos os pares possíveis das 9 celas.
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Estimação dos parâmetros
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Valores ajustados:
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A suposição de ausência de interação
• Suponha que o experimentador “sinta” que o modelo a dois
fatores sem interação é apropriado,
y ijk
 i  1,2,...,a

    i   j   ijk ,  j  1,2,...,b
k  1,2,...,n

É importante verificar com cuidado essa hipótese. Mas, se esse for o caso,
a análise do modelo sem interação é imediata.
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Exemplo da Bateria
Como foi observado anteriormente, ambos os efeitos
principais são significantes. Porém, fazendo a análise de
resíduos desse modelo, torna-se claro que a hipótese de
ausência de interação é inadequada.
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Exemplo da bateria
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Uma observação por cela
• Algumas vezes, deparamo-nos com um experimento a
dois fatores com apenas uma observação por
combinação dos níveis dos fatores.
 i  1,2,...,a
yij     i   j  ( ) ij   ij , 
 j  1,2,...,b
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Fonte de
varia
ção
Linhas
SQ
yi2. y..2


b
ab
i 1
a
Colunas
b

y
a
j 1
Resíduo
(ou
AB)
Total
Chapter 5
2
.j

2
..
gl
QM
a-1
MSA=SSA/(a-1)
b-1
y
ab
SST- SSA- SSB
(a-1)(b-1)
QM Esperado
 
b i2
 
a  j2
2
MSB=SSB/(b-1)
2
MSE
2 
y..2
2
yij 

ab
i 1 j 1
a
b
ab-1
a 1
b 1
 ( )
ij
(a  1)(b  1)
-
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Teste de Tukey para verificação da
presença de interação
• O procedimento de teste
supõe que o termo de
(

)
ij
interação é de uma forma
particular, a saber,
com  uma constante desconhecida.
F0 
Estatística de teste:

y..2 
 y ij y i. y. j  y.. ( SS A  SSB  
ab 
i
j
SSN  
abSSA SSB
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SSerro
  i  j
SSN
/[(a  1)(b  1)  1]
2
com1 g.l.
SSerro  SSRe síduo  SSN com (a  1)(b  1)  1 g.l.
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Teste de Tukey para verificação da
presença de interação
Se F0  F ,1,( a1)(b1)1
a hipótese de nenhuma interação deve ser rejeitada.
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5.4 O experimento fatorial geral
•
•
•
•
•
•
Os resultados para o experimento a 2 fatores podem ser estendidos para o caso
a k>2 fatores.
É necessário ter n2 replicações por cela para avaliar interações.
Se todos os fatores do experimento são fixos, é fácil formular e testar hipóteses
sobre os efeitos principais e de interação usando ANOVA.
Para um modelo de efeitos fixos, testes estatísticos para cada efeito principal e
de interação podem ser construídos dividindo-se os correspondentes quadrados
médios para o efeito pelo quadrado médio do erro.
Todos esses testes F (valendo a suposição de normalidade, independência e
variância constante) são unilaterais.
O número de graus de liberdade de qualquer efeito principal será o número de
níveis do fator menos 1 e o número de graus de liberdade do efeito de
interação será o produto dos números de gruas de liberdade dos fatores
envolvidos na interação.
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Modelo Fatorial a 3 fatores
y ijkl     i   j   k  ( ) ij  ( ) ik  (   ) jk  (  ) ijk   ijkl
i  1,...,a
j  1,...,b
k  1,...,c
l  1,...,n
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• Supondo que A, B e C são fixos, a tabela ANOVA é dada por
FV
SQ
g.l.
QM
F
A
SSA
a-1
QMA
QMA/QME
B
SSB
b-1
QMB
QMB/QME
C
SSC
c-1
QMC
QMC/QME
AB
SSAB
(a-1)(b-1)
QMAB
QMAB/QME
AC
SSAC
(a-1)(c-1)
QMAC
QMAC/QME
BC
SSBC
(b-1)(c-1)
QMBC
QMBC/QME
ABC
SSABC
(a-1)(b-1)(c-1)
QMABC
QMABC/QME
Erro
SSE
abc(n-1)
QME
-
Total
SST
nabc-1
-
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Factorials with More Than
Two Factors
• Basic procedure is similar to the two-factor case; all
abc…kn treatment combinations are run in random
order
• ANOVA identity is also similar:
SST  SS A  SSB 
 SS ABC 
 SS AB  SS AC 
 SS AB
K
 SSE
• Complete three-factor example in text, Example 5.5
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26
Exemplo: exercício 16
A porcentagem da concentração de madeira-de-lei na polpa bruta,
a pressão do tonel, e o temo de cozimento foram investigados sobre
seus efeitos na resistência do papel.
Três níveis de concentração, três níveis de pressão e dois tempos de
Cozimento foram selecionados.
Um experimento com duas replicações foi conduzido e os dados
obtidos estão no arquivo madeira.txt.
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28
Comandos no R para ajustar o modelo completo
y=read.table("e:\\dox\\madeira.txt",header=T)
x1=as.factor(y$madeira)
x2=as.factor(y$pressao)
x3=as.factor(y$tempo)
modeloC=y$resistencia~x1+x2+x3+x1:x2+x2:x3+x1:x3+x1:x2:x3
fitC=aov(modeloC)
summary(fitC)
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29
F.V.
Df
Sum Sq
Mean
Sq
Madeira
2
7.7639
3.8819
10.6193
0.0009
***
Pressão
2
19.3739
9.6869
26.4992
4.33E-06
***
Tempo
1
20.25
20.25
55.3951
6.75E-07
***
MP
4
6.0911
1.5228
4.1657
0.014626
*
MT
2
2.195
1.0975
3.0023
0.074956
.
PT
2
2.0817
1.0408
2.8473
0.08426
.
MPT
4
1.9733
0.4933
1.3495
0.290305
Residuals
18
6.58
0.3656
Total
35
66.3089
Chapter 5
F value
Pr(>F)
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30
Conclusões
• Pela tabela ANOVA as hipóteses de
ausência de efeitos principais (madeira,
pressão e tempo) são rejeitadas e também a
hipótese de ausência de efeito de interação
entre madeira e pressão. Os demais efeitos
de interação não são significativos a 5%.
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Avaliação do Modelo
Esse gráfico indica desvio
da suposição de normalidade
dos dados.
Uma solução é trabalhar com
transformações.
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32
Residuals vs. Pressure
Residuals vs. Cooking Time
0.85
0.85
0.425
Res iduals
Res iduals
0.425
0
2
0
-0.425
2
-0.425
-0.85
-0.85
1
2
3
1
2
Pres sure
Cooking Tim e
Residuals vs. Hardwood
Residuals vs. Predicted
0.85
0.85
2
0.425
Res iduals
Res iduals
0.425
0
0
2
-0.425
-0.425
-0.85
-0.85
1
2
3
195.90
Hardwood
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197.11
198.33
199.54
200.75
Predicted
33
DESIGN-EXPERT Plot
strength
DESIGN-EXPERT Plot
Interaction Graph
Hardwood
200.9
strength
DESIGN-EXPERT Plot
Interaction Graph
Pres s ure
200.9
strength
Interaction Graph
199.575
A1 2
A2 4
A3 8
Actual Factor
C: Pressure = Average 198.25
199.575
C1 400
C2 500
C3 650
Actual Factor
A: Hardwood = Average198.25
199.575
A1 2
A2 4
A3 8
Actual Factor
B: Cooking Time = Average
198.25
196.925
196.925
196.925
195.6
195.6
195.6
4
Cooking Tim e
s trength
X = C: Pressure
Y = A: Hardwood
s trength
X = B: Cooking Time
Y = C: Pressure
s trength
X = B: Cooking Time
Y = A: Hardwood
3
Hardwood
200.9
3
4
Cooking Tim e
400
500
650
Pres s ure
Para uma maior resistência, realize o processo com porcentagem de
concentração de madeira em 2, pressão em 650, e tempo em 4 h.
A ANOVA padrão trata todos os fatores do experimento como se fossem
qualitativos. Nesse caso, todos os três fatores são quantitativos, dessa forma
análises adicionais podem ser feitas.
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