Geometria Projetiva
Definições e Transformações
Projetivas
Computação Gráfica
Espaço Projetivo
Transformação Afim: T(p)=M(p-c)+T(c)
Formulação mais comum: A(x)=M(x)+v
De qualquer forma: T.A.’s mantêm
invariantes relações de paralelismo.
Do ponto de vista de visualização: não
deformam objetos para retratar projeção
em perspectiva.
Busca-se uma forma de unificar as
notações.
Modelo do Espaço Projetivo
 O espaço projetivo real de dimensão n, RPn é o
conjunto de todas as retas em Rn+1 que passam
pela origem, excluindo a origem. Um ponto
projetivo p  RPn é uma classe de equivalência
p  (x1 , x2 ,...,xn1 ),   0
ou seja:
p  ( x1, x2 ,...,xn1 )  p
Modelo do Espaço Projetivo
n
 Podemos associar o RP com o espaço
euclidiano de dimensão n+1:
RPn : Rn1  {(0,0,...,0)}
Modelo do Espaço Projetivo
 O espaço projetivo pode ser decomposto em
dois conjuntos: o hiperplano de Rn+1 onde xn+1=1
e o hiperplano em que xn+1=0. Em outras
palavras:
RP : {( x1,...,xn , xn1 ), xn1  0} {( x1,...,xn ,0)}
n
menos a origem.
Modelo do Espaço Projetivo
Modelo do Espaço Projetivo
 Pontos afins:
1
pa  ( x1 ,..., xn ,1), xn1  0,  
xn1
 Pontos ideais:
pi  ( x1,...,xn ,0), xn1  0,   1
Modelo do Espaço Projetivo
 Pontos euclidianos podem ser identificados com
os pontos afins. Mas, no caso geral deve-se
trabalhar com as coordenadas homogêneas, da
forma: ( x1 ,..., xn , xn1 ) , sem fazer distinção
entre pontos afins e ideais.
Transformações Projetivas em RP3
 Uma transformação projetiva T em RP3 é um
operador linear em R4:
T :R R
4
4
 T é, portanto, dada por uma matriz M, 4 por 4. A
transformação projetiva pode ser calculada como
T(p)=Mp. Note que
T ( p)  T ( p),   0
Transformações Projetivas em RP3
 A interpretação desta relação é uma diferença
fundamental entre as transformações Projetiva e
Euclidiana.
 Estrutura da matriz associada:
A T

M  
P S




A-Bloco Linear (3 por 3);
T-Bloco de Translação (3 por 1);
P-Bloco de Perspectiva (1 por 3);
S-Bloco de escalamento (1 por 1).
Transformações Projetivas em RP3
Os blocos A e T correspondem a
transformações afins do R3 deixando o espaço
euclidiano mergulhado invariante.
O bloco P mapeia pontos afins em pontos
ideais (e vice-versa), e, conseqüentemente, não
deixa o espaço mergulhado invariante.
O bloco S é redundante, pois, se s é não nulo,
pode-se fazer s=1.
Transformações Projetivas em RP3
Assim, além das transformações afins que já
conhecemos no R3, incluindo translações, que
passam a ter uma representação matricial,agora
permite-se representar a projeção perspectiva
para visualização: T(x,y,z)=(x,y,z,gx+hy+iz).
Ela leva pontos afins em ideais e vice-versa.
Um ponto ideal é mapeado num ponto afim
chamado de ponto de fuga.
Transformações Projetivas em RP3
Composições de Transformações
 Composição de Transformações: equivale ao produto
das matrizes correspondentes.
 Pode-se representar a transformação resultante de
uma seqüência arbitrária de transformações como
uma única matriz.
 Lembre-se que a comutação de matrizes não é
permitida.
 A inversa de uma seqüência de transformações é dada
pela concatenação das inversas das matrizes na ordem
inversa.
Transformações de Objetos Geométricos
 O elemento básico a ser transformado é um ponto
p=(x,y,z) do espaço mergulhado. Assim, para as
transformações que preservam o espaço mergulhado,
pode-se utilizar a representação normalizada:
p=(x,y,z,1) .
 No geral, se a transformação não preservar o espaço
mergulhado, pode-se sempre re-normalizá-lo,
fazendo-se a “divisão homogênea”, das coordenadas
pelo componente w.
Transformações de Objetos Geométricos
Esta operação corresponde a uma projeção do
vetor homogêneo no espaço afim mergulhado.
p’=1/w’(x’,y’,z’,w’)=(x”,y”,z”,1)
Transformações de Pontos: pode-se fazer o
produto da matriz pelo ponto através de
produto escalar (3).
Transformação de Raios: aplica-se ao ponto e
ao vetor diretor.
Transformações de Objetos Geométricos
 Transformando Plano Tangente:
w 1

p {( x, y, z, w)  R | 
}
ax  by  cz  dw  0
4
p {( x, y, z,1)  R | ax  by  cz  d  0}
4
 n=(a,b,c,d) é o vetor normal ao plano.
p {( x, y, z,1)  R | (a, b, c, d ), ( x, y, z, w)  0}
4
Transformações de Objetos Geométricos
Matricialmente falando, a condição acima
equivale a:
<nT,p>=0
Se aplicarmos uma transformação dada pela
matriz M ao plano em questão, a condição do
ponto transformado pertencer ao plano
transformado corresponde a:
<nTM-1,Mp>=0
Transformações de Objetos Geométricos
Ou seja, o ponto transformado Mp está sobre o
plano transformado cujo vetor normal é: nTM-1
Assim, na notação de vetor coluna:
n’=(M-1)T n
Note que, no caso de matrizes ortogonais,
como no caso das rotações e reflexões:
M=(M-1)T
Transformações de Objetos Geométricos
 Interpretação Dual de Transformações:
 Transformação de vetores
 Mudança entre Sistemas de Coordenadas
Transformações de Objetos Geométricos