Princípio da Máxima Verosimilhança
Exemplo
Caixa com 3 bolas.
Bolas podem ser brancas ou pretas.
Qual o n.º de bolas brancas?
Amostra: 1 bola.
Supor que o resultado da amostra foi: 1 bola branca (B)
Se o verdadeiro n.º de bolas brancas fosse 0
qual a probabilidade de ocorrer esta amostra?
P(B) = 0
Se o verdadeiro n.º de bolas brancas fosse 1
qual a probabilidade de ocorrer esta amostra?
P ( B ) = 1/3
Se o verdadeiro n.º de bolas brancas fosse 2
qual a probabilidade de ocorrer esta amostra?
P ( B ) = 2/3
Se o verdadeiro n.º de bolas brancas fosse 3
qual a probabilidade de ocorrer esta amostra?
P(B) = 1
Estimativa do verdadeiro n.º de bolas brancas é 3.
Corresponde ao valor para o qual
esta amostra teria ocorrido com maior probabilidade.
Amostra: 5 bolas (com reposição).
Supor que o resultado da amostra foi: B B B P P.
Se o verdadeiro n.º de bolas brancas fosse 0
qual a probabilidade de ocorrer esta amostra?
P ( BBBPP ) = 03 12 = 0
Se o verdadeiro n.º de bolas brancas fosse 1
qual a probabilidade de ocorrer esta amostra?
P ( BBBPP ) = (1/3)3 (2/3)2 = 0,016
Se o verdadeiro n.º de bolas brancas fosse 2
qual a probabilidade de ocorrer esta amostra?
P ( BBBPP ) = (2/3)3 (1/3)2 = 0,033
Se o verdadeiro n.º de bolas brancas fosse 3
qual a probabilidade de ocorrer esta amostra?
P ( BBBPP ) = 13 02 = 0
Estimativa do verdadeiro n.º de bolas brancas é 2.
Corresponde ao valor para o qual
esta amostra teria ocorrido com maior probabilidade.
Amostra: 5 bolas (com reposição).
Supor que o resultado da amostra foi: P B P P P.
Se o verdadeiro n.º de bolas brancas fosse 0
qual a probabilidade de ocorrer esta amostra?
P ( PBPPP ) = 01 14 = 0
Se o verdadeiro n.º de bolas brancas fosse 1
qual a probabilidade de ocorrer esta amostra?
P ( PBPPP ) = (1/3)1 (2/3)4 = 0,066
Se o verdadeiro n.º de bolas brancas fosse 2
qual a probabilidade de ocorrer esta amostra?
P ( PBPPP ) = (2/3)1 (1/3)4 = 0,008
Se o verdadeiro n.º de bolas brancas fosse 3
qual a probabilidade de ocorrer esta amostra?
P ( PBPPP ) = 11 04 = 0
Estimativa do verdadeiro n.º de bolas brancas é 1.
Corresponde ao valor para o qual
esta amostra teria ocorrido com maior probabilidade.
Distribuição Bernoulli com probabilidade de sucesso p = ?
⎧ p
f ( x; p ) = ⎨
⎩1 − p
A f.d.p. é dada por
x =1
x=0
Amostra aleatória: X1 = x1 , X2 = x2 , ... , Xn = xn
Qual a probabilidade de ter ocorrido esta amostra para um dado
valor de p ?
Calcular a f.d.p. conjunta:
P( X1 = x1 , X2 = x2 , ... , Xn = xn )
= f (x1 ; p ) f (x2 ; p ) ... f (xn ; p )
(Nota: Xi são i.i.d.)
n
=
∏ f ( xi ; p)
i =1
n
=
∏ p xi (1 − p)1− xi
i =1
n
∑ xi
n
= p i =1 (1 − p )
n − ∑ xi
i =1
Função de Verosimilhança:
n
∑ xi
L(p) = p i =1 (1 − p )
n
n − ∑ xi
i =1
Princípio da Máxima Verosimilhança
Encontrar o valor de p para o qual
a amostra tenha ocorrido com a máxima probabilidade.
Max L( p )
p
Nota: O valor óptimo de p para o problema Max L( p ) é o
p
mesmo que para o problema Max ln L( p ) .
p
Max ln L( p) = (∑ xi )ln p + (n − ∑ xi )ln(1 − p)
p
Cond. 1.ª ordem:
d ln L( p ) ∑ xi n − ∑ xi
=
−
=0
1− p
dp
p
(1 − p)∑ xi = p (n − ∑ xi )
∑ xi − p∑ xi = pn − p∑ xi
∑ xi = pn
p=
∑ xi
n
Estimador de Máxima Verosimilhança de p é dado por:
∑ Xi
pˆ =
n