Panorama Geral da Mecânica de Newton
A grande maioria das teorias fı́sicas são construı́das em três etapas essenciais como mostra a figura
A primeira etapa consiste na observação de fenômenos. No caso da
Mecânica, desde a Antiguidade tornou-se necessário estudar alguns fenômenos
importantes para as comuinidades que se formavam tais como as marés, as
estações do ano, a influência do sol sobre a agricultura etc. Com a evolução
do pensamento abstrato, começou-se a pensar nos planetas, no sol, em como
se posicionavam uns em relação aos outros. Aqui, o cientista Tycho Brahe,
como já vimos anteriormente teve um papel fundamental. Possuidor do melhor telescópio da época Tycho Brahe fez um mapa das posições dos astros
com uma precisão nunca antes alcançada. Essa precisão matemática levou
Kepler a descobrir que a forma das órbitas dos planetas em torno do sol eram
elipses, e não cı́rculos como se pensava.
A segunda etapa veio com o gênio de Johannes Kepler. Olhando os mapas de Tycho Brahe, Kepler verificou que existiam alguns comportamentos
comuns e todos os planetas e formulou suas três leis empı́ricas:
1a Lei de Kepler: As órbitas dos planetas são elipses tendo o sol com foco.
1
2a Lei de Kepler: Os planetas varrem áreas iguais em tempos iguais.
3a Lei de Kepelr: a razão T 2 /R3 é uma constante para todos os planetas,
T sendo o perı́odo médio do movimento e R seu raio médio.
A terceira etapa veio com Newton que formulou as bases da Mecânica em
termos matemáticos, o que lhe permitiu compreender precisamente, quantitativamente porque os planetas se movem como se movem, porque as leis de
Kepler estão corretas, que elementos fı́sicos são responsáveis por cada uma
delas e ainda estender a idéia da força que rege o movimento dos planetas para
fenômenos quaisquer, sobre o nosso planeta, por exemplo, como a famosa
queda da maça. Descobriu que a força é a mesma.
As leis de Newton também são três:
1a ) Lei da Inércia: corpos livres de quaisquer agentes externos estarão
em movimento uniforme (velocidade constante). Definiu assim, um conceito
muito importante que daria mais tarde origem a uma revolução, ao ser questionada por Einstein. O conceito de referenciais inerciais. O que são, mais
precisamente, referenciais inerciais? São por exemplo, estrelas muito afastadas sobre as quais podemos pensar que estão livres de quaisquer efeitos
externos. Um referncial pode ser considerado inercial se, ao observar corpos
em movimento nessa estrela identificou-se apenas velocidades constantes.
2a ) Segunda Lei de Newton: A alteração da velocidade de um corpo se
dá através da ação de uma força
∆~v
F~ = m
(1)
∆t
onde ∆~v /∆t simboliza a alteração da velocidade por unidade de tempo.
A força que rege os movimentos dos corpos celestes tem como ingredientes
principais: as massas dos dois objetos em questão, por exemplo, massa do
Sol e da Terra, e é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre
eles (Quanto mais separados menor a força entre eles. Aqui temos um bom
exemplo do papel da matemática como linguagem da Fı́sica. Quando dizemos
“inversamente proporcional à distância”, isto é muito vago para ter qualquer
poder de previsão; Poderia equivaler a uma lei do tipo 1/r onde qualquer
r representa o raio do centro de um para o outro. Ou 1/rn , qualquer inteiro serviria). Porém para conseguir descrever os dados experimentais, e as
observações de Kepler em particular, Newton percebeu que a lei deveria ser
como segue
m1 m2
F~ = G 2 r̂
r
onde r̂ é um vetor de módulo 1 na direção da distância r.
2
(2)
Para resolver o problema da órbita dos planetas Newton usou sua segunda
lei e resolveu a equação matemática
m1 m2
∆~v
(3)
r̂
=
m
r2
∆t
Resolver essa equação requer uma matemática muito sofisticada, que não
estava disponı́vel naquela época. Newton então inventou o chamado Cálculo
Diferencial, que foi de fundamental importância também para a Matemática.
Como isto está relacionado com o problema da ”queda da maçã”? É
simples. A lei da gravitação de Newton é Universal e vale também quando as
massa são a da Terra e de uma maçã! Então a força ”peso”que conhecemos
desde cedo, responsável pela queda dos corpos na Terra pode ser obtida da
lei
G
|F | = G
mT erra mcorpo
(RT + d)2
(4)
onde RT ≈ 6, 4 × 106 m é o raio da Terra, d é distância da maçã à
superfı́cie da Terra, e as distâncias que usamos sobre a Terra são muito
pequenas comparadas com o raio da Terra. Então podemos dizer que
µ
|F | ≈ mcorpo
mT erra
G
RT2
¶
¶
6, 67.10−11 × 5, 97.1024
= mcorpo
(6, 37.106 )2
|
{z
}
µ
(5)
≈9,81
Note então que essa força é constante e portanto a aceleração dos objetos
sobre nosso planeta (ou qualquer outro, fossem eles habitados) é CONSTANTE e portanto, pela segunda lei
∆~v
F~ = m
(6)
∆t
a mudança de velocidade dos corpos que caem em direção à Terra é constante.
3a Lei de Newton: A cada Força que age sobre um corpo existe uma
reação de mesma intensidade e sentido oposto a ela no outro corpo.
Exemplo:
Como a Terra é muito mais pessada que a maça, a intensidade da força
de reação não é suficiente para mover a Terra, de forma que apenas a maça
se move.
Podemos perceber melhor a 3a lei quando, por exemplo duas pessoas
puxam uma corda
3
onde o primeiro ı́ndice significa a força provocada pessoa i sobre a pessoa j.
Logo no inı́cio da aula, dissemos que uma Teoria deve ser capaz de reproduzir os fenômenos observados, além de prever estes (como a previsão do
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planeta Netuno, que até então não era conhecido). Podemos por exemplo,
DEDUZIR a partir das leis de Newton, as 3 leis de Kepler.
Para isso devemos saber ainda algumas consequências fundamentais das
leis de Newton, e nesta altura do conhecimento matemático de vocês não é
possı́vel de mostrá-las com o devido rigor. Vamos então, citá-las e aprender a
usá-las, com a esperança de que o poder de previsão das mesmas encoragem
alguns de vocês a ir mais longe nesta carreira tão interessante.
1a ) A quantidade definida como a soma dos MOMENTOS LINEARES
de um sistema de partı́culas
p~1 + p~2 + p~3 + ... + p~N = m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 ... + mN ~vN
(7)
é conservada sempre que não houverem forças externas agindo sôbre os corpos. As forças de ação e reação não estão incluı́das nas forças externas.
Vamos aprofundar essa definição e tentar torná-la plausı́vel. Tomemos
uma única partı́cula
p~1 = m1~v1
(8)
a quantidade de movimento linear, isto é, sem poder de giro, associada ao seu
movimento está ligada tanto à sua massa quanto à sua velocidade. Quanto
maior a massa, para uma mesma velocidade, maior a quantidade de movimento p~ associada a ela. E, para uma dada massa, quanto maior a velocidade
do corpo, maior a sua quantidade de movimento.
E para que serve esse conceito? Para que serve uma lei de conservação?
Elas são muito poderosas no sentido de que, embora sejam consequências
das leis de Newton, nos permitem resolver problemas as vezes complicados,
sem recorrer a ela, e determinar, por exemplo as velocidades do corpos cujas
massas conhecemos, após uma colisão. Suponha a seguinte situação
5
De acordo com a conservação do momento linear
p~1 + p~2 = m1~v1 + m2~v2
(9)
será conservada durante todo o movimento. Imaginemos então que um dos
carros está inicialmente parado, isto é, ~v2 = 0. Como o movimento se dá sobre
uma reta, podemos esquecer o caráter vetorial dessa lei de conservação, então
teremos
m1 v1 = constante
(10)
Se conhecemos a massa do automóvel 1 e sua velocidade, na situação 2
em que há uma colisão entre os dois veı́culos e o primeiro pára (amassando
o segundo!) e imprimindo a ele uma velocidade v, podemos conhecê-la usando
essa lei de conservação
m 1 v1 =
(m1 + m2 )
| {z }
v
(11)
os carros seguem como se fossem um
Então, com uma algebra simples, determinamos qual é essa velocidade
v=
m1 v1
m1 + m2
(12)
É claro que podemos pausar em situações mais complicadas aonde o
caráter vetorial das quantidades de movimento está envolvida.
Exemplo: bolas de bilhar.
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Situação 1
Situação 2
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Um outro exemplo é, por exemplo a previsão da velocidade de fragmentos
produzidos pela explosão de uma bomba, uma vez que a explosão é provocada
apenas por forças internas e que portanto, não afetam a Conservação da
Quantidade de Movimento. Por simplicidade, podemos supor a bomba se
fragmenta em dois pedaços. Então, vejamos o que acontece
Bomba parada
p = mbomba vbomba = 0 pois vbomba = 0.
Pela conservação da quantidade de movimento tem que ser nula no final.
Então, os fragmentos vão sair em direções opostas
m1~v1 + m2~v2 = 0 ∴ m1~v1 = −m2~v2
(13)
assim vemos que a porção de menor massa terá de ter velocidade maior
do que a outra. Isto tudo é consequência da lei de conservação do momento
linear.
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Conservação do Momento Angular
Dada a importância do conceito de momento linear não é difı́cil imaginar que exista um conceito igualmente importante para movimentos de
rotação. É o chamado MOMENTO ANGULAR. Também tem caráter vetorial e depende do momento linear e da DISTÂNCIA relativa a um eixo
predeterminado. Seu módulo é dado por
|L| = r.m.v.sen(θ)
(14)
sua direção e sentido são perpendiculares ao plano formado pelos vetores
~r e ~v .
Uma das motivações para definir essa quantidade é que ela é conservada
pela força gravitacional.
E, sem fazer cálculo algum, sabendo disso podemos dizer que o MOVIMENTO dos PLANETAS em torno do sol TEM que se dar num plano.
Kepler percebeu isso. Através das Leis de Newton podemos provar isso.
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Veja: o momento angular se conserva e é um VETOR, portanto seu
MÓDULO, DIREÇÃO, e SENTIDO devem ser conservados durante o movimento dos planetas. Ora, para manter a direção e sentido os planetas NÃO
PODEM sair do plano!! Esse é poder de uma Teoria, explicar a natureza,
através da compreensão das suas leis básicas.
De maneira análoga ao momento linear ou quantidade de movimento, que
deixa de se conservar quando existem forças externas, o momento angular
também deixa de se conservar caso, com relação à origem que escolhemos
para definir ~r, existe uma força NÃO radial (note que se a força for radial,
~ se conserva) atuando na partı́cula. É o
isto é, paralela a ~r, sen(θ)=0 e L
TORQUE.
|T | = |F~ ||~r|sen(φ)
(15)
onde φ é o ângulo entre F~ e ~r.
Exemplo: Tomemos como eixo de giro de uma porta. Na ausência de
forças externas ela não se move, e seu momento angular é zero. Quando
aplicamos uma força para abrir a porta, por exemplo, a maçaneta, então
estaremos produzindo um Torque com relação ao eixo escolhido. Então o
momento angular varia.
Esta noção é muito importante na engenharia quando se quer que uma
barra não se mova com relação a algum eixo. Pode-se através do torque,
saber que a força mı́nima deve estar em pontos da barra para que isso não
10
ocorra. Pode-se saber isso de forma empı́rica. A Fı́sica explica porque é
assim.
Com estas noções podemos voltar e explicar as leis de Kepler. A forma
elı́ptica das órbitas, com dissemos, só pode ser explicada com uma matemática mais sofisticada (o chamado cálculo diferencial que Newton desenvolveu), porém já compreendemos PORQUE as órbitas estão num plano.
É porque o momento angular se conserva para a força gravitacional.
A segunda lei de Kepler, os planetas varrem areas iguais em tempos iguais
também é consequência da conservação do momento angular!
Vamos por simplicidade tomar uma órbita circular
e considerar um ângulo bem pequeno ∆θ ¿ 1. Podemos esse elemento
de área como se tivéssemos um triângulo
∆A =
1
R∆θ R
2 | {z } |{z}
(16)
base altura
A variação da área com o tempo
1
1
∆θ
1
∆A
= R.R
= R. |{z}
Rω = Rv
∆t
2
∆t
2
2
(17)
v
Quando vale o momento angular desse planeta com relação a um eixo que
passe pelo sol?
π
|L| = r.p.sen( ) = r.p = r.mv
2
11
(18)
|L|
m
Substituindo na expressão acima temos
∴ rv =
(19)
∆A
|L|
=
,
∆t
2m
(20)
que é CONSTANTE!
E a Terceira lei?
Vamos tomar o exemplo anterior.Para que a velocidade varie, mesmo que
apenas em direção, uma força deve estar atuando sobre ela. No caso a força
gravitacional. É ela que fornece a aceleração para o movimento. Então
Gmmsol
= macentripeta = mω 2 R
2
R
(21)
(R distância entre o Planeta e o Sol)
Como ω = 2π/T , teremos
Gmsol
2π 2
T2
4π 2
=
(
)
⇒
=
(22)
R3
T
R3
Gmsol
Então explicamos, através da lei de Newton a terceira lei de Kepler. Fomos além. Descobrimos não só que T 2 /R3 é constante para todos os planetas
(veja que a massa do planeta se cancela nos dois lados da equação (21)) mas
além disso, QUAL É ESSA CONSTANTE! Ela vale
4π 2
4.(3, 14)2
≈
= 0, 297.10−18
Gmsol
6, 67.10−11 × 1, 99.1030
12
(23)