Polinômios e
equações algébricas
Fabricante de caixas

Uma empresa fabrica caixas de papelão. Para isso utiliza
folhas quadradas de 20 cm de lado. O processo de
fabricação aparece na figura.
x
x
x
x
x
x
20 cm
x
x
20 cm
Fabricante de caixas

A empresa acaba de receber uma encomenda de caixas
como essa. Elas devem ter meio litro de capacidade, o que
equivale a 500 cm3.

Qual deve ser o valor de x, lado dos quadradinhos a serem
cortados, para que a caixa tenha o volume pedido?
Fabricante de caixas
Vamos, então, calcular o volume da caixa.

Deve ser V = 500,
20 – 2x
x
20 – 2x
4x3 – 80x2 + 400x = 500
4x3 – 80x2 + 400x – 500 = 0 (: 4)
V = AB . h
AB = (20 – 2x)2 = 400 – 80x + 4x2
V = (400 – 80x + 4x2).x
V = 4x3 – 80x2 + 400x
x3 – 20x2 + 100x – 125 = 0
Polinômio de
variável complexa
Monômio

Observe as seguintes expressões algébricas:
3x4 , –2ix6 , –13x , 4ix0 , 0x3 ,
 Expressões como essas são chamadas de monômios.
Elas têm alguns aspectos comuns.
 Todas são o produto de uma constante complexa por
uma variável, elevada a um expoente natural.
Monômio

Chamamos monômio de variável complexa toda expressão
algébrica do tipo
axn
x é a variável complexa
a é a constante complexa
n é expoente natural
 o complexo a é o coeficiente do monômio
 se a ≠ 0, o expoente n da variável é o grau do monômio
 se a = 0, o monômio é chamado monômio nulo. Seu
grau não é definido.
Exemplos de monômios

–2x6
é monômio de grau 6 e coeficiente –2.

13x
é monômio de grau 1 e coeficiente 13.

4i ou 4ix0
é monômio de grau zero e coeficiente 4i.

0x3 ou 0x2 ou 0
são diferentes representações do monômio nulo.
Polinômio de variável complexa

Observe agora as seguintes expressões formadas por
monômios de variável complexa:
p(x) = x2 – 5x + 2
q(x) = 6x + i
r(x) = 3x2
 Expressões como essas são chamadas de funções
polinomiais ou polinômios de variável complexa.
Polinômio de variável complexa

É toda expressão algébrica constituída de um monômio ou
uma soma de monômios de variável complexa.
 A forma geral:
p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an
 Na forma geral, o polinômio tem apenas um termo de
cada grau (ele é reduzido);
 Os monômios são escritos na ordem decrescente de seus
graus (ele é ordenado).
Polinômio de variável complexa

Em um polinômio, cada monômio é um termo.

O termo de grau zero, que não tem a variável, é o termo
independente.

Os coeficientes dos termos são chamados de coeficientes
do polinômio.

O coeficiente do termo de maior grau é chamado de
coeficiente dominante do polinômio.

Um polinômio com 1, 2 ou 3 termos é chamado de
monômio, binômio ou trinômio, respectivamente.
Exemplos de polinômios

p(x) = x2 – 5x + 2 é um trinômio.
Seus termos são x2, –5x e 2.
Os coeficientes são 1, –5 e 2. O termo independente é 2.

q(x) = 6x + i é um binômio.
Seus termos são 6x e i.
Os coeficientes são 6 e i. O termo independente é i.

r(x) = 3x2 é um monômio.
Seu único termo 3x2 de coeficiente 3.
Ele não tem termo independente.
Grau de um polinômio

O grau de um polinômio é o expoente de seu termo de
maior grau, com coeficiente não-nulo. No caso, esse
coeficiente é chamado de coeficiente dominante do
polinômio.
 p(x) = x3 – 5x + 2 é um polinômio de grau 3 (3º grau).
Seu coeficiente dominante é 1.
 q(x) = 0x2 + 6x + i é um polinômio de grau 1 (1º grau).
Seu coeficiente dominante é 6.
 r(x) = 5 é um polinômio de grau 0. Seu coeficiente
dominante é 5.
Exemplo

Analisar, em função do parâmetro m, o grau do polinômio
p(x) = (m2 – 1)x2 + (m + 1)x – 3.
 1ª hipótese: o polinômio pode ser de 2º grau. Deve ser
m2 – 1 ≠ 0
⇒ m2 ≠ 1 ⇒ m ≠ ± 1
 2ª hipótese: o polinômio pode ser de 1º grau. Deve ser
m2 – 1 = 0
⇒ m2 = 1 ⇒ m = ± 1
m+1≠0
⇒ m ≠ –1
⇒m=1
Exemplo

Analisar, em função do parâmetro m, o grau do polinômio
p(x) = (m2 – 1)x2 + (m + 1)x – 3.
 3ª hipótese: o polinômio pode ser de grau 0. Deve ser
m2 – 1 = 0
⇒ m2 = 1 ⇒ m = ± 1
m+1=0
⇒ m = –1
⇒ m = –1
Valor numérico e raiz de um polinômio

Vamos considerar, por exemplo, o seguinte polinômio
p(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2. Podemos atribuir à variável x
qualquer valor complexo.
 Para x = 3, temos
p(3) = 33 – 5.32 + 7.3 – 2 = 27 – 45 + 21 – 2 = 1
Dizemos que o valor do polinômio p(x) para x = 3 é
p(3) = 1.
Valor numérico e raiz de um polinômio

Vamos considerar, por exemplo, o seguinte polinômio
p(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2. podemos atribuir à variável x
qualquer valor complexo.
 Para x = 2, temos
p(2) = 23 – 5.22 + 7.2 – 2 = 8 – 20 + 14 – 2 = 0
O valor de p(x) para x = 2 é p(2) = 0.
Dizemos que 2 é uma raiz ou um zero do polinômio
p(x). A raiz anula o polinômio.
Polinômio nulo

O polinômio que tem todos os coeficientes iguais a zero, é
chamado de polinômio nulo ou identicamente nulo.
 p(x) = 0x3 + 0x + 0 e q(x) = 0x + 0 são duas
representações do polinômio nulo.
 Qual é o grau do polinômio nulo?
Não se define o grau do polinômio nulo.
 Quantas raízes tem o polinômio nulo?
Infinitas raízes.
Polinômio nulo

De modo geral definimos:
p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an
p(x) é nulo
⇔ a0 = an–1 = an–2 = ... = an = 0
 Às vezes indicamos que p(x) é polinômio identicamente
nulo, escrevendo p(x) ≡ 0.
Exemplo

Calcular os valores das constantes a, b e c, para que
p(x) = ax(x – 3) + b(2x – 1) + x(x + 5) + c – 1 seja
polinômio nulo.
Primeiro vamos escrever p(x) na forma geral
p(x) = ax2 – 3ax + 2bx – b + x2 + 5x + c – 1
p(x) = (a + 1)x2 + (2b – 3a + 5)x + c – b – 1
a+1=0
⇒ a = –1
2b + 5 – 3a = 0
⇒ 2b – 3(–1) + 5 = 0
⇒ b = –4
c–b–1 =0
⇒ c – (–4) – 1 = 0
⇒ c = –3
Polinômios idênticos

Observe os seguintes polinômios:
 p(x) = x2 – 4(x – 1) – 1
 q(x) = x(x – 4) + 3
 r(x) = (x + 2)(x – 2) – 4x + 7
Escrevendo-os na forma geral, obtemos o mesmo
polinômio: x2 – 4x + 3.
 Dizemos, por isso, que p(x), q(x) e r(x) são
polinômios idênticos.
Polinômios idênticos

Dois polinômios são idênticos, quando escrito na forma
geral tem os coeficientes de um iguais aos coeficientes do
termo de mesmo grau do outro.
p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an
q(x) = b0xn + b1xn–1 + b2xn–2 + ... + bn–1x + bn
p(x) é idêntico a q(x) ⇔ a0 = b0 , a1 = b1, ... an = bn.
 Às vezes indicamos p(x) ≡ q(x), para dizer que p(x) é
idêntico a q(x).
Exemplo

p(x) = (x + a)2 + b e q(x) = c(x + 2)(x – 4) são dois
polinômios tais que p(k) = q(k) para todo complexo k.
Calcular as constantes a e b.
Se p(k) = q(k) para todo k, então p(x) é idêntico a q(x).
p(x) = (x + a)2 + b = x2 + 2ax + a2 + b
q(x) = c(x + 2)(x – 4) = c(x2 – 2x – 8) = cx2 – 2cx – 8c
1=c
⇒ c=1
2a = –2c
⇒ 2a = –2.1
⇒ a = –1
a2 + b = –8c
⇒ (–1)2 + b = –8.1
⇒ b = –9
Divisão de polinômios
Divisão de polinômios

Vamos efetuar a divisão de A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por
B(x) = x2 – 2x + 3, utilizando o método da chave.
Primeiro vamos completar o dividendo A(x). Falta o termo de 2º
grau
A(x) = 2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1
Divisão de polinômios

Vamos efetuar a divisão de A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por
B(x) = x2 – 2x + 3, utilizando o método da chave.
2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1
–2x4 + 4x3 – 6x2
x3
– x3
– 6x2
2x2 + x – 4
+x –1
+ 2x2 – 3x
– 4x2 – 2x – 1
4x2
x2 – 2x + 3
– 8x + 12
–10x + 11
Divisão de polinômios

Na nossa divisão, temos:
 A(x) = 2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1, é o dividendo;
 B(x) = x2 – 2x + 3, é o divisor;
 Q(x) = 2x4 + x – 4, é o quociente;
 R(x) = – 10x + 11, é o resto.
O grau de Q(x) é a diferença entre os graus de A(x) e B(x) e o
grau de R(x) < grau B(x).
Divisão de polinômios

Dividir A(x) por B(x) é obter dois polinômios Q(x) e R(x),
obedecendo às seguintes condições.
 A(x) ≡ B(x).Q(x) + R(x)
grau de R(x) < grau de B(x) ou R(x) ≡ 0
 A(x) é o dividendo, B(x) o divisor, Q(x) o quociente e
R(x) o resto da divisão.
 É importante observar que o grau do quociente é a
diferença entre os graus do dividendo e do divisor.
Divisibilidade de polinômios

Veja a divisão de A(x) = x2 – 5x + 6 por B(x) = x – 2,
utilizando o método da chave.
x2 – 5x + 6
–x2 + 2x
– 3x
x– 2
x – 3
+ 6
+ 3x – 6
0
 Nesse caso, o resto é polinômio nulo, R(x) ≡ 0.
Dizemos, por isso, que A(x) é divisível por B(x).
Divisibilidade de polinômios

Em geral, se na divisão de A(x) por B(x) o resto é o
polinômio nulo, dizemos que A(x) é divisível por B(x). No
caso, sendo Q(x) o quociente,
A(x) ≡ B(x).Q(x)
ou
A(x)
B(x)
= Q(x)
Exemplo

Sabe-se que p(x) = x3 – x2 + ax + b é divisível por
b(x) = x2 + x – 2. Calcular a e b.
x3 – x2 + ax + b
–x3 – x2 + 2x
x– 2
– 2x2 +(a+2)x + b
2x2
+ 2x
x2 + x – 2
–4
(a+4)x + b – 4
a+4=0
⇒ a=–4
b–4=0
⇒ b=4
Divisibilidade de polinômios
Dividir P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 por D(x) = x2 + 4:
x  2 x  x  8x  12
4
3
2
x  0x  4
2
x2  2 x  3
 x 4  0 x3  4 x 2
 2 x 3  3x 2  8 x
2 x3  0 x 2  8x
 3x 2  0 x  12
3x 2  0 x  12
0
Logo: Q(x) = x2 – 2x – 3 e r(x) = 0
Divisibilidade de polinômios
Dividir P(x) = x4 – 16 por D(x) = x + 1.
x 4  0 x3  0 x 2  0 x  16
 x 4  x3
x 1
x3  x 2  x  1
 x  0x
3
2
x x
3
2
Logo:
x  0x
2
x x
 x  16
x 1
2
 15
Q(x) = x3 – x2 + x - 1
e
r(x) = -15
Divisor de 1º grau –
caso particular
De grande importância no estudo dos
polinômios e equações algébricas.
Teorema do resto

Vamos efetuar a divisão de p(x) = x2 – 3x + 5 por x – 2,
utilizando o método da chave.
x2 – 3x + 5
–x2 + 2x
x– 2
x – 1
–x
+ 5
+x
– 2
+3
Vamos calcular agora P(2), onde 2 é a raiz do divisor x – 2.
p(2) = 22 – 3.2 + 5 = 4 – 6 + 5 = 3
Teorema do resto – caso geral

Vamos obter o resto da divisão de p(x) por x – 3.
Sendo o divisor de 1º grau, o resto deve ser o polinômio nulo
ou um polinômio de grau 0. O resto é uma constante real,
independente de x.
Se q(x) é o quociente, da definição de divisão podemos
escrever
p(x) = (x – 3).q(x) + R
p(3) = (3 – 3).q(3) + R = 0.q(x) + R = R
Teorema do resto – caso geral

O resto da divisão de um polinômio p(x) por um divisor
de 1º grau, do tipo ax + b, com a ≠ 0, é igual a p(–b/a).
Onde –b/a é a raiz do divisor.
R = p(–b/a)
Exemplo

Calcular o resto da divisão de p(x) = x3 – 2x2 – 1 por
x – 2.
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 2.
R = p(2) = 23 – 2.22 – 1 = 8 – 8 – 1 = –1
Exemplo

O resto da divisão de p(x) = x4 – 4x3 – kx – 75 por
(x – 5) é 10. Calcular o valor de k.
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 5. ⇒ R = p(5) = 10
R = p(5) = 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10
⇒ 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10 (: 5)
⇒ 53 – 4.52 – k – 15 = 2
⇒ 125 – 100 – k – 15 = 2
⇒ 10 – k = 2
⇒ – k = 2 – 10 ⇒ k = 8
Teorema de D’Alembert

Conseqüência imediata do teorema do resto.
Um polinômio p(x) é divisível pelo polinômio ax + b
de 1º grau (a ≠ 0) ⇔ p(–b/a) = 0.
Exemplo

Analisar se p(x) = x3 + x2 – 3x – 6 é divisível por 2x + 2 e
por 3x – 6.
Os divisores são de 1º grau. Suas raízes são –1 e 2,
respectivamente.
p(–1) = (–1)3 + (–1)2 – 3.(–1) – 6 = –1 + 1 + 3 – 6 = –3
p(2) = 23 + 22 – 3.2 – 6 = 8 + 4 + 6 – 6 = 0
Logo, p(x) não é divisível por 2x + 2, mas é divisível por
3x – 6.
Exemplo

Achar o valor de m, sabendo-se que o polinômio
p(x) = 9x2 + mx – m + 3 é divisível por 3x – 1.
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 1/3. Segundo o teorema
de D’Alembert, devemos ter p(1/3) = 0.
9.(1/3)2 + m.(1/3) – m + 3 = 0
⇒ 9.(1/9) + m/3 – m + 3 = 0
⇒ 1 + m/3 – m + 3 = 0
⇒ m/3 – m = – (x 3)
⇒ 4m – 3m = –12 ⇒ – 2m = –12 ⇒ m = 6
Dispositivo de Briot-ruffini
Processo prático para efetuar uma divisão de
polinômios, quando o divisor é de 1º grau.
Dispositivo de Briot-Ruffini

Vamos efetuar a divisão de p(x) = 3x4 – 4x3 – 5x2 + 4x + 9
por x – 2, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini.
Os cálculos a serem efetuados tem como ponto de partida, a
raiz do divisor, no caso, a raiz é 2.
3
2
+
3
x
x
–4
2
x
+
–5
–1
+
4
2
x
q(x) = 3x3 + 2x2 – x + 2 e R(x) = 13
+
9
13 = R
Exemplos

Na divisão de p(x) = x4 + 2x3 – x2 + k por x + 1, o resto é 4.
Calcular k e o quociente da divisão.
Dividindo p(x) por x + 1, pelo dispositivo de Briot-Ruffini.
1
–1
+
1
x
x
2
+
1
x
q(x) = x3 + x2 – 2x + 2
–1
–2
+
0
+
2
k
k–2
x
e
R=k–2=4
⇒ k=6
Exemplos

Provar pelo dispositivo de Briot-Ruffini que p(x) = x3 – 7x + 6
é divisível por (x + 2).(x – 3).
Primeiro vamos dividir p(x) por x + 2. Depois, o quociente
obtido q(x) por x – 3.
1
0
–7
6
–2
1
–2
–3
0=R
3
1
1
0=R
Nos dois casos, obtivemos resto R = 0. Concluímos que p(x) é
divisível por (x + 2).(x – 3).
Exemplos

Na equação x3 – 3x2 + x – 3 = 0, uma de suas raízes é 3. Obter
as outras duas raízes.
Suponhamos p(x) = x3 – 3x2 + x – 3. Se 3 é raiz de p(x), p(3) = 0 e
p(x) é divisível por x – 3.
3
q(x) = x2 + 1
1
–3
1
1
0
1
⇒
x2 + 1 = 0
–3
0=R
⇒ x2 = – 1
⇒ x = i ou x = – i
Logo, as raízes da equação são 3, i e –i.