Modulo 5 Lei de Stevin
Simon Stevin foi um físico e matemático belga que concentrou suas
pesquisas nos campos da estática e da hidrostática, no final do século 16, e
desenvolveu estudos também no campo da geometria vetorial. Entre outras
coisas, ele demonstrou, experimentalmente, que a pressão exercida por um fluido
depende exclusivamente da sua altura.
A lei de Stevin está relacionada com verificações que podemos fazer
sobre a pressão atmosférica e a pressão nos líquidos. Uma das aplicações do
Teorema de Stevin são os vasos comunicantes. Num líquido que está em
recipientes interligados, cada um deles com formas e capacidades diversas,
observaremos que a altura do líquido será igual em todos eles depois de
estabelecido o equilíbrio. Isso ocorre porque a pressão exercida pelo líquido
depende apenas da altura da coluna.
Para o fluido estar em equilíbrio estático, cada partícula do mesmo
também deve estar em equilíbrio. Consideramos a figura abaixo, que está
representando uma partícula de fluido em repouso.
dm
⇒ dm = ρd∀ ⇒ dm = ρdxdydz
d∀
Onde os termos abaixo recebem os seguintes nomes:
dG = peso elementar da partícula de fluido
ρ=
∂PX
∂X
= Taxa de variação da pressão segundo a direção “x” por unidade de
comprimento.
∂PY
= Taxa de variação da pressão segundo a direção “y” por unidade de
∂Y
comprimento.
∂PZ
∂Z
= Taxa de variação da pressão segundo a direção “z” por unidade de
comprimento.
Como estamos analisando a estática dos fluidos, vamos impor a cada
direção a condição de repouso, ou seja, a resultante das forças em cada direção
deve ser nula.
∑ dfx = 0
e
∑ dfy = 0
e
∑ dfz = 0
Na direção de “x” escrevemos:

 ∂P
+ PX d Y d Z −  PX d Y d Z +  X
∂

 X


d d d
 X Y Z


=0


Resolvendo esta equação temos como resultado:
 ∂PX

∂
 X

d d d = 0
 X Y Z

Mas dXdYdZ= d∀ , é o volume da partícula de fluido, que evidentemente
não é zero.
Logo,
∂PX
∂X
=0
ou seja, a taxa de variação da pressão em “x” é nula, o que significa PX = cte. (1ª
conclusão)
Na direção de” z “escrevemos:

 ∂P
+ PZ d X d Y −  PZ d X d Y +  Z
∂

 Z


d d d
 Z X Y


=0


Resolvendo esta equação temos como resultado:
 ∂PZ

∂
 Z

d d d = 0
 Z X Y

Mas dXdYdZ =d∀ é o volume da partícula de fluido, que evidentemente
não é zero.
Logo,
∂PZ
∂Z
=0
ou seja, a taxa de variação da pressão em “z” é nula, o que significa PZ = cte. (2ª
conclusão)
Unindo estas duas conclusões, vemos que os eixos “x e z” formam um
plano horizontal e que a pressão ao longo destes não varia, logo podemos concluir
que a pressão ao longo de um plano horizontal é constante, num fluido em
repouso.
Na direção do eixo “y” temos:

 ∂P
+ PY d X d Z + ρgd X d Y d Z −  PY d X d Z +  Y
∂

 Y


d d d
 Y X Z


=0


Resolvendo esta equação temos como resultado:
-
 ∂PY

∂
 Y

d d d + ρgd d d = 0
Z X Y
 Y X Z

Mas dXdYdZ = d∀ é o volume da partícula de fluido, que evidentemente
não é zero. Logo,
∂PY
∂Y
= ρg
ou seja, a taxa de variação da pressão em “ y ” não é nula, o que significa que a
pressão varia ao longo de “ y ”.
Mas se o interesse for analisar não a taxa, mas sim a variação ao
longo de um comprimento finito, basta integrar a equação. Logo:
∫ ∂PY
∂ Y = ∫ ρg
Neste ponto faremos duas perguntas:
1.
2.
A massa específica do fluido é constante com “y” ?
E a aceleração da gravidade?
Hipótese: Fluido incompressível ( ρ = constante; g = constante).
Bem como sabemos, a aceleração da gravidade só varia significativamente
com “y” se a variação em “y” for muito grande, o que normalmente não acontece
nos problemas de engenharia. Quanto à massa específica, se tivermos avaliando
um fluido incompressível, podemos com certeza afirmar que é constante. Logo:
PY = ρ .g. y + C
onde C é a
constante de integração.
Conclusão: A equação acima permite o cálculo da pressão em qualquer ponto de
um fluido incompressível em repouso.
1º EXERCÍCIO RESOLVIDO: No interior do tanque esquematizado há água,
cujo peso específico é 10000N/m³. Determinar a diferença de pressão entre o
ponto 1 e 2 que estão distantes verticalmente de 1m.
P1 = ρgh1 + P0
P 2 = ρgh2 + P0
P2 − P1 = ρg (h2 − h1 ) = 1000 * 10 * 1 = 10000 Pa = 10kPa
2º EXERCÍCIO RESOLVIDO: No esquema abaixo, temos um reservatório
2
fechado, cuja pressão P0 = 100000N/m . Sabendo que o fluido água apresenta
3
massa específica de 1000 kg/m , determinar:
A-) A diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 que estão distantes verticalmente
de 1m.
B-) A pressão P1. (Resposta: P1 = 105kPa )
P1 = ρgh1 + P0
P 2 = ρgh2 + P0
P2 − P1 = ρg (h2 − h1 ) = 1000 * 10 * 1 = 10000 Pa = 10kPa
P1 = ρgh1 + P0 = 1000 * 10 * 0,5 + 100000 = 105kPa
1º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO: O esquema abaixo está em repouso.
2
2
2
2
Determinar a altura h. Dados: A1 = 0,1m , A2 = 1,0m , A3 = 0,5m , A4 = 0,2m ,
2
3
2
F1 = 100N Patm = 0, P4 = 8000N/m , ρH2O = 1000 kg/m , g = 10 m/s
2º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO: O esquema abaixo está em repouso.
Determinar a altura h.
2
2
2
2
Dados: A1 = 0,1m , A2 = 1,0m , A3 = 0,5m , A4 = 0,2m , F1 = 1000N
3
2
Patm = 0, ρH2O = 1000 kg/m , g = 10 m/s
3º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO: O esquema abaixo está em repouso.
Determinar a altura h.
2
2
2
2
Dados: A1 = 0,1m , A2 = 1,0m , A3 = 0,5m , A4 = 0,2m , F1 = 1000N
2
3
2
Patm = 0, P4 = 15000N/m , ρH2O = 1000 kg/m , g = 10 m/s
4º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO: O sistema esquematizado está em
repouso, na horizontal; podem-se desprezar os atritos. Determinar o valor de P4.
2
2
2
2
2
Dados: A1 = 20cm , A2 = 5cm , A3 = 50cm , A4 = 30cm , P1 = 20 N/cm
Patm = 0, F = 1500N, Kmola = 160N/cm, mola distendida de 2 cm.
5º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO: Estando o sistema em equilíbrio.
Determinar se a mola está tracionada ou comprimida e sua deformação.
Podem-se desprezar os atritos e considerar o ar como fluido incompressível.
Dados: D1 = 4 cm, Dpistão = 5 cm, a = 40 cm, l = 160 cm, c = 150 cm, Patm = 0.
3
Gpistão = 5,6 kgf, Kmola = 275 N/m, γHg = 13600 kgf/m , γágua = 1000
3.
kgf/m
6º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO: O reservatório A está inicialmente
vazio, o B completamente cheio e a válvula V fechada. Ambos os reservatórios
tem a mesma altura porem a área da base de B é o dobro da área da base de A.
Desprezando o volume de fluído dentro da válvula, determinar a nova altura de
fluido no reservatório B em relação à altura inicial quando a válvula V for aberta
e o sistema entrar em equilíbrio estático. Desprezar o volume de fluído dentro da
válvula. (resposta :h=0,67H)
Hb
V
A
7º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO O esquema mostra um cubo maciço de
aresta 20 cm feito com a madeira chamada pinho branco (massa especifica 440
kg/m³) totalmente imerso em água (massa específica 1000 kg/m³).
Sobre a massa de água existe uma coluna de óleo que apresenta massa especifica
de 800 kg/m³. O cubo é preso à base do tanque por um tirante de dimensões e
peso desprezíveis. Considerando a aceleração da gravidade com sendo 10 m/s²,
determinar a força de pressão atuante na base inferior do cubo maciço de madeira,
o peso do cubo e a força no tirante. (respostas: Gcubo = 35,2 N e
Ftirante = 44,8 N )
30 cm
óleo
25 cm
água
cubo
20 cm
tirante
8º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO:
Oito pessoas, cada uma com
massa 80 kg, estão num barco com o formato caixote, medindo 4m
(comprimento) 1,5 m (largura) 80 cm (altura), construído com 0,55
m³ de tábuas de madeira cuja massa especifica é 550 kg/m³,
impulsionado por um motor de popa de 18 C.V. (1 C.V. =735,5 W)
com 60 kg de massa Pesquisas em livros demonstraram que a força
de resistência da água pode ser estimada por:
Fresis = 0,6 * ρ agua * V 2 A frontal onde a massa especifica da agua é de
kg
, V é a velocidade e A forntal é a área frontal molhada, isto
m3
é, em contato com a água. Determinar:
a) O peso do casco de madeira
b) Qual a máxima carga de peixe que pode ser colocada a bordo
desconsiderando o peso das comidas, combustível e
considerando que por questão de segurança, este deve estar
flutuando no mínimo 40 cm acima da linha da agua.
c) Lembrando que potência é o produto da força pela velocidade,
na condição mais crítica de carga, qual será a máxima
velocidade possível do barco considerando a água parada?
1000