ANÁLISE
Aula 8: Completeza em R, Supremos e Ínfimos
Prof. Mário Alves
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
 Propriedade de Completeza;
 Supremo e Ínfimo;
 Máximo e Mínimo de um conjunto; e
 Propriedade Arquimediana
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
COTAS SUPERIORES E INFERIORES
- Dado um subconjunto S de R. Um elemento u de R é dito
cota superior de S se
,
, isto é, se este elemento
u de R for maior ou igual a qualquer elemento de S.
- Se um conjunto tem uma cota superior, então admite uma
infinidade de cotas superiores.
Considere o conjunto
:
1) O elemento 4 é cota superior deste conjunto;
2) O elemento 3 também é cota superior deste conjunto;
3) Ainda, note que qualquer elemento maior que 3 também
será cota superior deste conjunto.
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
COTAS SUPERIORES E INFERIORES
- Dado um subconjunto S de R. Um elemento
é dito uma
cota inferior de S se
,
, isto é, se este elemento
w, de R, for menor ou igual a qualquer elemento do
subconjunto S.
Obs.: Nem sempre um subconjunto S de R possui cota
superior.
Ex.:
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
COTAS SUPERIORES E INFERIORES
- Quando um conjunto possui cota inferior, dizemos que este
conjunto é cotado inferiormente;
- Quando um conjunto possui cota superior, dizemos que
este conjunto é cotado superiormente; e
- Quando um conjunto possui cota superior e inferior,
dizemos que ele é cotado.
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
SUPREMOS E ÍNFIMOS
- Se S for cotado superiormente, dizemos que uma cota
superior de S é o supremo de S se ela é menor do que
qualquer outra cota superior de S.
- Ou ainda:
Um número
é dito supremo de S se:
1)
,
, ou seja u é uma cota superior; e
2) Se
,
, então
, ou seja, u é a menor das cotas
superiores
Notação: sup S
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SUPREMOS E ÍNFIMOS
- Agora, considere o subconjunto S de R. Se S for cotado
inferiormente, dizemos que uma cota inferior de S é o
ínfimo de S se ela é a maior do que qualquer outra cota
inferior de S.
Notação: inf S
Exemplos: Observe os conjuntos:
- Tanto no conjunto M, como no T, podemos perceber que o
ínfimo é 0 e o supremo é 3.
- Quando se diz que um conjunto tem supremo, nada se pode
afirmar sobre o supremo pertencer ou não ao conjunto.
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
SUPREMOS E ÍNFIMOS
Unicidade do Supremo:
- Considere S um subconjunto de R. Só pode haver um único
supremo para S.
Prova:
- Propondo u e v supremos de s. Logo, ambos são cotas
superiores de S.
- Como u é supremo e v é cota superior de S, temos u ≤v;
- Como v é supremo e u é cota superior de S, temos v ≤u;
- Portanto u = v.
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
SUPREMOS E ÍNFIMOS
Unicidade do Ínfimo:
- Considere S um subconjunto de R. Só pode haver um único
ínfimo para S.
Prova: Análoga. Deixamos como um exercício.
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
SUPREMOS E ÍNFIMOS
Exercício: Determine o ínfimo e o supremo do conjunto
sendo Y o conjunto das frações do tipo
,
.
- Vamos ver quem são os elementos deste conjunto:
,
- Reparamos que o conjunto é decrescente,
aumentamos o denominador. Logo, ½ é o supremo.
pois
- Para o ínfimo, devemos utilizar a noção de limites:
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
PROPRIEDADE ARQUIMEDIANA
Dado um número real x, existe um número natural n que é
maior que x.
Prova:
- Suponha
;
- Suponha, por absurdo, que não existe um natural maior que
x. Assim, x é cota superior de N. Pela propriedade do
supremo, N tem um supremo u.
- Como x é cota superior de N, então
.
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
PROPRIEDADE ARQUIMEDIANA
- Como u-1 < u, temos que existe
, tal que
.
- Assim,
mas, como
, temos que
o que
contradiz a hipótese de que u é cota superior de N, já que
descobrimos alguém (
) maior que u e que pertence a
N.
- Com isso, podemos afirmar que a Propriedade
Arquimediana nos diz que o conjunto dos Naturais não é
cotado superiormente nos Reais.
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EXISTÊNCIA DE RAIZ DE 2
Teorema: Existe um número positivo x pertencente a R tal
que x 2  2 .
Prova:
- O conjunto
é cotado superiormente
por 2.
- Caso contrário,
tal que
, ou ainda,
, isto é,
- Como
, pela definição de S,
e
.
- Absurdo!
- Logo, há esse número positivo!
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