Física Quântica da Matéria 2009/2010
Série de Problemas 1
Aulas 1,2,3
1. Partículas coloidais apresentam um volume não desprezável quando dispersas
num líquido. Considere a dispersão em água de uma substância coloidal de
densidade 1.23g/cm3.
Sabendo que à temperatura de 00 no fundo do recipiente da preparação existem
duas vezes mais partículas que à altura de h=0.003 cm, determine o diâmetro das
partículas dispersas na água.
2. Um cubo de cobre com 2.5 cm de lado, tem uma massa de 1.46 x 10-1 kg.
Sabendo que a massa de um átomo de cobre é 1.06 x10-25 kg, determine o número
de átomos presente na amostra e estime o raio do átomo de cobre, supondo uma
estrutura cúbica.
3. A densidade do hélio líquido é 0.13g/cm. Estime o raio de um átomo de He,
supondo que os átomos estão empacotados na configuração mais densa possível,
que preenche 74% do espaço.
4. Determine o comprimento da aresta da estrutura cristalina cúbica simples do NaCl
a partir da densidade e massa molar do NaCl e do número de Avogadro.
Compare com o valor obtido por difracção de raios-X, a= 5.63 x 10-8 cm.
(densidade do NaCl: 2.16 g cm-3; massa molar do NaCl:58.4g/mol).
5. Um electrão com um momento angular 6x 10-35 Ns e energia -4x10-18J orbita em
torno de um protão. Classicamente quais são os valores da menor e da maior
distância ao protão? Compare com o raio de Bohr.
6. a) Determine a probabilidade P do electrão no estado n=1, =0 de um átomo de
hidrogénio se encontrar dentro do núcleo de raio b<< a, sendo a o raio de Bohr.
Use a aproximação exp{(-α r)}~(1-α r) se α r <<1, e considere que a funcão de onda
é válida mesmo para r<b, isto é, para um núcleo não pontual.
b) Verifique que o resultado aproximado obtido para P é proporcional a 4/3 þ (b/a)3 .
Interprete, extraindo o valor da densidade de probabilidade (praticamente constante)
no interior do núcleo.
7. O núcleo do átomo é uma estrutura compacta de A partículas (protões e neutrões)
com massas da ordem de 1.6 x 10-27 kg e com o raio de um fermi, 1Fm=10-15m.
Sabendo que embora nem todos os átomos tenham a mesma densidade (e.g.
chumbo versus alumínio) todos os seus núcleos têm a mesma densidade,
a) que relação há entre o raio nuclear e o número A de nucleões num núcleo?
b) calcule o número de nucleões por unidade de volume no núcleo.
c) compare a densidade dos núcleos com a da água e a densidade média da Terra.
De facto, o valor experimental que deveria ser usado em b) a c) para a constante de proporcionalidade
entre o raio nuclear e A1/3 é 1.07 fm, enquanto o raio do protão é 0.77 fm, o que mostra que a
densidade varia com A para os núcleos muito leves.
d) considerando o núcleo dividido em "caixas" cúbicas com volume V/A, e
comparando o comprimento de cada lado dessa caixa com o raio do protão, estime
a distância entre 2 nucleões no núcleo atómico.
*8. Pensou-se no início do século XX que um neutrão era constituído por um
electrão e um protão ligados pela força de Coulomb. O raio do neutrão é 1 fm.
a) estime a partir da relação de incerteza de Heisenberg, a incerteza Δp para o
electrão nessas condições.
b) que energia corresponde ao momento linear mínimo possível para o electrão?
c) Calcule a energia potencial electrostática do electrão a 1fm do protão.
d) a partir de b) e c) diga se é provável que um neutrão seja constituído por um
protão e um electrão.
*9. Dois protões num núcleo de hélio estão separados a uma distância de 2x10-15 m.
Estime em percentagem o efeito da interacção de Coulomb na massa do núcleo de
He.
*10. Calcule a energia mínima em MeV que é necessário um fotão ter para
desintegrar um deuterão (protão+neutrão).
Mostre que essa energia é necessáriamente superior à diferença entre a soma das
massas protão+neutrão e a do deuterão, embora se possa aproximar por ela.
**11. Dois piões neutros são criados a partir da aniquilação de um par neutrão antineutrão. Determine a energia cinética mínima com que são produzidos os dois
piões.
**12. Um átomo de deutério move-se com uma energia cinética de 0.81 x 10-13 J e
colide com outro que está em repouso. Ocorre uma reacção inelástica em que o
neutrão é observado a 90º da direcção inicial de movimento. O outro produto da
reacção é um núcleo de isótopo de hélio.
a) Comece por mostrar que o problema é não relativista.
b) Determine a energia cinética do neutrão emitido.
Massas (em x10-27kg):
Neutrão: 1.6747
1
1H: 3.341
2
1He: 5.0075
**13. A partir do comportamento quântico da luz obtenha a fórmula para o efeito de
Doppler, assumindo que a fonte de luz se desloca com uma velocidade não
relativista.
14. Uma partícula alfa com 1.5x 10-12 J de energia é dispersa segundo um ângulo de
120º por um núcleo de ouro. Calcule o parâmetro de impacto e a distância de maior
aproximação ao núcleo. (massa de 22He: 6.64 x10-27kg)
*15. Uma partícula alfa incide numa folha de 19779Au.
Considere um feixe de partículas alfa de 5.3 MeV a incidir à taxa de 104 partículas/s
numa folha de ouro com uma espessura de 2.10 x 10-7 m. A densidade do ouro é
19.3 x103 kg/m3 e a sua massa molar é 197g/mole. Determine o número de
contagens obtidas correspondentes à retrodispersão, isto é, a ângulos de dispersão
entre π /2 e π .
FIM DA PRIMEIRA SEMANA
16. Qual é a energia disponível para o decaímento alfa de 210Po?
17. Se uma partícula alfa num núcleo de 23892U tiver uma velocidade média de 1.3
x107 m/s
a) determine o número de anos necessário para ela escapar desse núcleo, sabendo
que são necessárias em média 1038 colisões com a barreira centrífuga para isso
acontecer.
b) determine a velocidade de recuo do núcleo quando a partícula é emitida
**18. O decaímento alfa de um núcleo resulta do efeito de túnel. Atendendo às
baixas energias de uma partícula alfa que se forme no interior do núcleo,
a) estime o factor de transmissão da barreira de Coulomb sentida pela partícula alfa
no núcleo.
b) calcule a velocidade de partículas alfa de poucos MeV que se formem no núcleo.
c) a partir dos resultados de a) e b) dê uma estimativa para a vida média  da
partícula alfa dentro do núcleo, e diga se os períodos de semidesintegração alfa são
grandes ou pequenos para emissores alfa com Z elevado.
d) determine a equação da recta que log(1/ )(Z) satisfaz aproximadamente.
19. O rádio 22688Ra decai emitindo partículas alfa.
a) Identifique o isótopo e elemento resultante dessa emissão
b) calcule a energia libertada nesse decaímento.
c) Calcule a energia transportada pela partícula alfa emitida.
*20. O 146C emite um electrão e um antineutrino (decaimento β- em que há emissão
de um electrão e de um anti-neutrino) originando um núcleo no estado fundamental.
a) que isótopo e que elemento corresponde a este núcleo ?
b) qual é e energia emitida no processo?
c) qual é a energia cinética máxima dos electrões emitidos?
( considere que os neutrinos não têm massa)
*21. O127N sofre decaimento β+ (emite um positrão e um neutrino), originando 126C*,
isto é, 126C no estado excitado, que depois emite um fotão e passa ao estado
fundamental ( isto é, trata-se de emissão β+ seguida de emissão g). A energia
máxima que é observada para os positrões emitidos é 11.89 MeV.
a) qual é a energia libertada no decaimento β+?
b) determine a energia dos fotões emitidos a seguir ao decaimento β+ .
c) explique a partir deste exemplo como se podem determinar as massas (energias)
de estados excitados.
22.Qual é altura da barreira de Coulomb entre uma partícula alfa e um núcleo de
206
Pb? (use r0=1.4 fm) ?
**22. Os núcleos espelho (contendo igual número de nucleões A, mas sendo o
número de protões Z de um igual ao número de neutrões N do outro) 157N8 e 158O7
têm respectivamente as massas atómicas 15.000109 u e 15.0003065 u.
a) calcule a diferença entre as energias de ligação dos dois núcleos. (lembre-se da
fórmula da energia electrostática de uma esfera carregada)
b) identificando o resultado de a) com a diferença de energia de Coulomb,
determine a constante r0, que relaciona o raio R com A, R=ro A1/3 .
**23. Considere um modelo simples para o potencial entre protão e neutrão no
deuterão: um poço de potencial de profundidade -Vo e largura ao, no caso de
momento angular relativo l=0 (estado s).
a) determine graficamente a energia de ligação Eb do deuterão e a relação alcanceprofundidade que existe entre a profundidade -Vo e largura ao no limite Eb -> 0 .
Calcule nesse limite Vo, tomando o valor (razoável) ao=1.6 fm.
b) sendo Eb= -2.226 MeV (não muito afastado do limite considerado anteriormente,
dada a ordem de grandeza das massas dos nucleões), determine como os valores
para -Vo e ao estão constangidos. Diga se a energia de ligação do deuterão permite
conhecer em detalhe o potencial nuclear.
c) represente graficamente a função de onda do deuterão e a respectiva densidade
de probabilidade, para o estado s (l=0).
*24. Um anteparo de 27Al com 48 cm de espessura reduz a intensidade de um feixe
de raios gama a 1% do seu valor inicial. Calcule o coeficiente mássico de absorção e
a secção eficaz atómica para o processo.
(densidade do alumínio 2.65 g cm3.)
25. A dose máxima permitida a trabalhadores científicos que utilizam radiação gama
é 6.25 miliroentgens por hora.
a) Qual é distância de trabalho a uma fonte de 20Ci de Co60 (que representa uma
dose de 27 roentgens/hora a uma distância de 1m) que satisfaz a norma de
segurança?
b) se a fonte estiver rodeada por um castelo de chumbo que reduz a intensidade da
radiação gama a 1%, a que distância pode trabalhar o cientista?
*26. Um hospital armazena amostras de iodo com 100mCi de actividade, cuja meiavida é 8 dias. Por quanto tempo pode manter-se o armazenamento e ainda garantirse uma dose terapeutica correspondente a 12mCi.h?
**27. Uma amostra de ouro é exposta a um feixe de neutrões, ocorrendo a reacção
197
Au +n ->198Au + gama, a uma taxa de 106 absorções de neutrões por segundo. O
198
Au decai por decaímento beta com uma meia vida de 2.70 dias. Quantos núcleos
198
Au estão presentes depois de dois dias de irradiação de 197Au por neutrões?