UFJF – MÓDULO I DO PISM – TRIÊNIO 2013-2015 – REFERÊNCIA DE CORREÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA
PARA O DESENVOLVIMENTO E A RESPOSTA DAS QUESTÕES, SÓ SERÁ ADMITIDO USAR CANETA ESFEROGRÁFICA AZUL OU PRETA
Questão 1 – Um circuito de teste para carros é constituído de duas pistas circulares de raios 10 km e 5 km, que
se intersectam num único ponto C. Na pista menor, o sentido obrigatório é o anti-horário e na pista maior é o
sentido horário.
As regras para um carro percorrer uma volta nesse circuito são:
O carro parte de uma posição inicial.
Se o carro passa pelo ponto C, ele é obrigado a mudar de pista.
O carro retorna a sua posição inicial.
Considere a aproximação 3,14 para π, e os pontos 1 e 2, na figura abaixo, posições iniciais dos carros A e B,
respectivamente.
Para uma análise de consumo de combustível dos carros A e B, será considerado um percurso total de 10 voltas
nesse circuito.
a) Sabendo que o carro A faz 6 km por litro de combustível no circuito, quantos litros esse carro gastará
durante o percurso total?
RESOLUÇÃO:
1 volta: 2 π 10 + 2 π 5 = 30 π Km.
10 voltas: 10 (30 π) = 300 π Km (fim da prova).
Assim,
6 Km
-------------- 1 litro
300 π Km ------------ x
Portanto, x=
300
6
= 50 π litros.
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b) Sabendo que o tanque cheio do carro A comporta 60 litros de combustível, qual é o número mínimo de
vezes que esse carro deverá ser reabastecido, para completar o percurso total?
RESOLUÇÃO 1: Usando o item anterior, o carro A gasta 50 π litros para percorrer o percurso completo.
Assim,
50
5 (3,14)
=
= 2,64
60
6
O número de vezes N, deve ser o maior inteiro menor que 2,64.
Logo, N=2.
RESOLUÇÃO 2:
6 Km
-------------- 1 litro
x Km ------------ 60 litros
Portanto, x= 360 km com 1 tanque cheio.
Assim,
300
5(3,14)
=
= 2,64
360
6
O número de vezes N, deve ser o maior inteiro menor que 2,64.
Logo, N=2.
c) Supondo que o carro B faça 8 km por litro, na pista de raio 10 km, e 3 km por litro, na pista de raio 5 km,
qual carro terá o menor consumo durante o percurso total?
RESOLUÇÃO:
Consumo no círculo de raio 10: (Comprimento da pista: 2 π 10 = 20 π Km)
1 litro -------------- 8 Km
x ------------ 20 π Km
Assim x=
20
8
=
5
litros.
2
Consumo no círculo de raio 5: (Comprimento da pista: 2 π 5 = 10 π Km)
1 litro -------------- 3 Km
x ------------10 π Km
10
litros.
3
5
10
Total em 1 volta:
+
2
3
Assim x=
=
35
.
6
Carro A: 5 π litros em 1 volta.
Carro B: 35 π / 6 litros em 1 volta.
Resposta: carro A.
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Questão 2 – Em um jogo da Seleção Brasileira contra a Seleção Espanhola pela Copa das Confederações de
2013, aos 40 minutos do segundo tempo de jogo, o Brasil inicia um contra-ataque. Nessa jogada, o atacante
brasileiro Neymar (N) corre com a bola em direção ao gol adversário numa trajetória linear com velocidade igual a
3 m/s. O zagueiro espanhol (Z) corre para intersectar Neymar, com velocidade igual a 2 m/s, numa trajetória linear
e perpendicular ao percurso do atacante, conforme figura abaixo.
P
●
Sabe-se que, neste momento, Neymar está a 4 m ao sul e o zagueiro está a 3 m a leste do ponto P de intersecção
das trajetórias descritas anteriormente. Considerando que no sistema coordenado xPy, em que o eixo x é a
trajetória do zagueiro e o eixo y é a trajetória de Neymar, resolva o que se propõe nos itens seguintes.
a) Nessa jogada, determine as coordenadas ( x 0 , y 0 ) das posições iniciais de Neymar (N) e do zagueiro (Z).
RESOLUÇÃO:
Z=(3,0) e N=(0,- 4)
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b) Nessa jogada, a posição de Neymar, em função do tempo, é dada por (0, y t ), e a posição do zagueiro,
em função do tempo, é dada por ( x t , 0), com t
0. Determine x t e y t .
RESOLUÇÃO:
Como a velocidade de Neymar é 3m/s, o espaço percorrido por Neymar em função do tempo t 0, é dado pela
função linear S N (t)= 3t.
Como a velocidade do Zagueiro é 2m/s, o espaço percorrido pelo Zagueiro em função do tempo t
pela função linear S Z (t)= 2t.
0, é dado
Assim, à medida que o tempo passa, o Zagueiro ocupa a posição Z=(3-2t,0)
(ou seja, x(t)=3 - 2t) .
OBS: Note que, quando t=0, o Zagueiro ocupa a posição inicial (3,0) e o sinal negativo em -2t significa
que a distância entre o Zagueiro e o ponto de encontro P diminui ao decorrer do tempo.
Analogamente, tem-se que Neymar ocupa a posição N=(0, -4+3t) (ou seja, y(t)= - 4+3t).
c) Qual dos dois jogadores chegará primeiro ao ponto de encontro P das trajetórias? Justifique a sua
resposta com argumentos matemáticos.
RESOLUÇÃO:
O Zagueiro chegará ao ponto P(0,0), quando x(t)=3 - 2t=0, isto é, o Zagueiro gastará t=3/2 s.
Já Neymar chegará ao ponto P(0,0), quando y(t)= - 4+3t =0, isto é, Neymar gastará t=4/3 s.
Como 4/3 < 3/2, então Neymar chegará primeiro.
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d) Durante essa jogada, qual é a menor distância atingida entre Neymar e o zagueiro?
RESOLUÇÃO:
Note que, a distância entre o Zagueiro e Neymar varia com o tempo.
A distância entre Neymar e P é d X = (3-2t) -0 = 3-2t, e a distância entre o Zagueiro e P é
3t.
dY = 0 - (-4+3t) = 4-
Pelo Teorema de Pitágoras, a distância D(Z,N) entre o Zagueiro e Neymar é dada por:
D Z, N
2
=
(d X )2 + (dY )2
2
Assim, D Z, N
= 3 2t
2
+ 4 3t
2
2
= 25-36t+13 t .
Pelo crescimento da função raiz quadrada, basta minimizar a (ou obter o valor mínimo da) função quadrática
f(t) = D Z, N
2
2
=25-36 t +13 t .
Assim, t=18/13 s é o tempo gasto para que a distância entre os jogadores seja mínima.
(t=18/13 é o valor da abscissa do vértice da parábola ou o ponto em que a parábola atinge o menor valor).
Portanto, a distância mínima entre os jogadores é:
D= f 18 /13 =
= 25
25 36 18 /13
13(18 /13) 2 =
182 /13 = 1 / 13 m.
5
25 2 182 /13
13(182 /132 ) =