ESTUDO DE DUTOS DE FORMA IRREGULARES POR HOMOTOPIA
Tiago Stölben Klaus a
Manuel José Malásquez Negron b
Ruben Panta Pazos c
UNISC- Departamento de Matemática,
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No presente trabalho são considerados problemas
derivados de escoamento em dutos de forma irregular,
como mostra a Figura 1. Para isso aplicamos dois
métodos clássicos, um analítico e outro numérico,
visando gerar um módulo computacional com o
tratamento numérico de equações diferenciais parciais
para alunos de graduação de mecânica de fluídos e
matemática aplicada.
Fig. 2 Perfil de um duto de forma irregular (em Maple).
Uma forma dinâmica para analisar este problema é
a consideração de uma homotopia
H (λ , t ) = (1 − λ )γ 1 (t ) + λ γ 2 (t )
Fig. 1. Duto de forma irregular.
Estes dois métodos pressupõem escoamentos para
baixas velocidades 1. Muitos trabalhos foram dedicados
a estes tópicos, mas o enfoque, nesta ocasião, será
orientado um material de auxílio nas disciplinas que
envolvem estudos de escoamentos.
Introduziremos o método de transformação
conforme na dinâmica de fluídos objetivando um estudo
completo. Além disso, são dados resultados para dois
tipos de dutos, um obtido com expressões analíticas
para as fronteiras (beiras), e outro para captação de
partes de um duto mediante medições de tipo
experimental (aproximado por interpolação de splines
cúbicos). Os resultados foram obtidos através de
soluções mediante um sistema de computação algébrica.
Depois de uma introdução do método de diferenças
finitas aplicadas a duas equações governantes de um
escoamento, são fornecidos resultados numéricos de
forma semelhante ao primeiro método, para estabelecer
comparações entre estes dois métodos.
Consideremos o perfil de um duto irregular como
mostra a Figura 2, onde estão esboçadas as beiras norte
e sul deste duto. Podemos ter a parametrização de cada
beira, ou podemos considerar pontos desta beira
tomados de uma imagem digital que depois pode ser
interpolada mediante splines cúbicos. Desejamos
estabelecer uma relação entre a beira norte e um
segmento de reta.
onde γ1 e γ2 são curvas parametrizadas mediante t, num
intervalo comum [a, b] ⊂ R . A figura 3 mostra como a
beira norte ( γ1 ) do duto irregular se transforma num
segmento de reta ( γ2 ) que representa a nova beira norte
anterior. Observe que aparecem 3 estágios transitórios
entre a curva original e a curva final. Da mesma forma
este processo é feito para a beira sul. Assim podemos
ver que as homotopias permitem a deformação de uma
curva em outra. O problema a ser resolvido é encontrar
uma transformação conforme entre o domínio limitado
pelas curvas originais (beiras) entre duas abscissas, e o
retângulo gerado pelos segmentos de retas que
representam as novas beiras e as mesmas abscissas.
Nossa proposta para a resolução deste problema é o uso
de um conjunto de transformações conformes locais. O
trabalho foi desenvolvido com o auxílio de Maple.
Fig. 3 . Estados transitórios entre a beira norte e um
segmento de reta mediante a homotopia.
Referências
[1] G.K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics,
Cambridge Mathematical Library, Cambridge, UK, 2000.
[2] John G. Hocking and Gail S. Young, Topology,
Addison - Wesley, 1988.