Aula 01
“Introdução e
Revisão Matemática”
Análise de Sinais – Introdução
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Quando se fala em sinais geralmente é associado à medição ou ao registo de
algum fenómeno físico ou, em outras palavras, de um sistema.
Portanto, sinais e sistemas são conceitos bastante interligados.
Análise de Sinais – Introdução
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entrada
(input)
saída
(output)
Quando se fala em sinais geralmente é associado à medição ou ao registo
de algum fenómeno físico ou, em outras palavras, de um sistema.
Portanto, sinais e sistemas são conceitos bastante interligados.
Análise de Sinais – Introdução
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Neste primeiro capítulo faremos uma breve revisão de diversos tópicos básicos
da matemática que serão úteis para os capítulos seguintes.
Recapitularemos vários resultados, expressões e fórmulas
da álgebra,
da álgebra linear,
da análise,
do cálculo diferencial e integral e
da trigonometria
que serão de certa forma usados neste texto.
Nos capítulos 2 e 3 trataremos da descrição e da terminologia dos sinais
enquanto que no capítulo 4 trataremos de sistemas.
Nos demais capítulos trataremos de algumas ferramentas de análise de
sinais:
Transformadas de Laplace (capítulo 5),
Transformadas z (capítulo 6),
Séries e Transformadas de Fourier (capítulos 7 e 8), e
Diagramas de Bode (capítulo 9).
Análise de Sinais – Revisão Matemática
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O número imaginário “ j ”
j = −1
Na literatura de matemática é muito comum usar-se
“ i ” (de “imaginário”) para o número imaginário:
i = −1
Entretanto, em engenharia a letra “ i ” é normalmente reservada para a corrente
eléctrica (medida em Ampères) enquanto que para o número imaginário usa-se a
letra “ j ”
j2 = −1
j3 = − − 1
1
j
j
j = =
=
= −j
j j ⋅ j (−1)
j4 = 1
j −2 = −1
−1
j5 = j4 ⋅ j1 = j = − 1
j−3 = j
j6 = j4 ⋅ j2 = j2 = −1
j −4 = 1
j7 = j4 ⋅ j3 = j3 = − − 1
j8 = j4 ⋅ j4 = 1 ⋅ 1 = 1
e assim por diante.
Análise de Sinais – Revisão Matemática
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Um número complexo z ∈ ℂ é expresso por:
z = α +β j
onde α e β ∈ R (números reais) e j é o número
imaginário puro conforme definido acima.
α e β são chamados de:
α = parte real de z, e
β = parte imaginária de z
α = Re (z)
β = Im (z).
Um número complexo z ∈ ℂ escrito na forma acima é dito estar na forma
“cartesiana” ou “algébrica”.
Análise de Sinais – Revisão Matemática
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Um número complexo z ∈ ℂ pode ser escrito de forma equivalente como:
onde ρ e θ são números reais, sendo que ρ > 0
e θ (em radianos) é um arco.
z = ρ ⋅ e jθ
A expressão acima é muito comummente abreviada (especialmente em textos de
engenharia) para
por uma questão de
z = ρ ⋅ ∠θ
simplicidade.
Além disso, neste caso, quando se usa esta
notação para z, é comum se denotar o
ângulo θ em graus em vez de radianos.
ρ e θ são chamados de:
ρ = módulo de z, e
θ = ângulo ou fase de z
ρ = |z|
θ = ∠z.
Um número complexo z escrito nesta
forma acima é dito estar na forma “polar”
ou “trigonométrica”.
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Transformação da forma cartesiana para polar
ρ = | z | = α2 + β2
β 

α 
θ = ∠z = arctg 
Transformação da forma polar para a forma cartesiana
α = Re( z) = ρ ⋅ cos θ
β = Im(z) = ρ ⋅ sen θ
z2 = 2 − 2 j
= 2 2∠ − 45º
= 2 2 ∠315º
= 2 2 ⋅ e − j( π / 4)
= 2,8284 ⋅ e − j ( 0, 7854 )
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O conjugado de um número complexo z ∈ ℂ
é o número complexo
z
ou
z = α +β j
z*
z = z* = α − β j
Em termos da forma polar o conjugado de um
número complexo
z = ρ ⋅ e jθ
é dado por:
z = z* = ρ ⋅ e− jθ
além disso, se x é um número real (x ∈
Note que
z=
(z* )*
=z
R),
ou seja, x é um número complexo com a
parte imaginária igual a zero, então:
x = (x* )* = x
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Operações com números complexos
A forma cartesiana é mais apropriada para operações de soma (z1 + z2)
e subtração (z1 – z2) de números complexos,
(α1 + β1 ⋅ j) + (α2 + β2 ⋅ j)
= (α1 + α 2 ) + (β1 + β2 ) ⋅ j
(α1 + β1 ⋅ j) − (α 2 + β2 ⋅ j)
= (α1 − α 2 ) + (β1 − β2 ) ⋅ j
enquanto que a forma polar é mais apropriada para operações de
multiplicação (z1 ⋅ z2) e divisão (z1 / z2) de números complexos:
( ρ ⋅ e )⋅ ( ρ ⋅ e ) = ρ ⋅ ρ
(ρ ⋅e ) = ρ ⋅e ( )
(ρ ⋅e ) ρ
jθ1
1
jθ2
2
1
jθ1
1
2
2
ou, equivalentemente:
( ρ ⋅ e )⋅ ( ρ
jθ1
1
jθ1
2
jθ 2
)
jθ2
⋅
e
= ρ1 ⋅ ρ2 ⋅ ∠(θ1 + θ2 )
2
(ρ ⋅e ) = ρ
(ρ ⋅e ) ρ
1
j⋅ θ1 − θ 2
1
jθ 2
j⋅(θ1 + θ2 )
⋅
e
2
1
2
⋅ ∠(θ1 − θ 2 )
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Um resultado bastante útil é dado pela equação abaixo:
(α + β j) ⋅ (α − β j)
= α 2 + β2
ou seja, o produto de um número complexo z pelo seu conjugado é um número real
(um número complexo sem a parte imaginária) e cujo valor é a soma do quadrado da
parte real de z com o quadrado da parte imaginária de z.
Este resultado permite que se escreva uma fração entre números complexos seja
escrita na forma cartesiana A + j⋅B, ou seja,
z α + jβ
=
= A + j⋅ B
z′ σ + jω
ou seja, multiplicando-se ambos o numerador e o denominador
de z/z’ pelo conjugado do denominador temos:
z z z′ (α + jβ)(σ − jω) (ασ + βω) + j ⋅ (βσ − αω)
=
=
=
z′ z′ z′ (σ + jω)(σ − jω)
σ 2 + ω2
z (ασ + βω)
(βσ − αω)
= 2
+
j
⋅
z′
σ + ω2
σ2 + ω2
(
)
(
)
e portanto,
A=
B=
(ασ + βω)
(σ
2
+ ω2
)
(βσ − αω)
(σ
2
+ ω2
)
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Outro resultado bastante útil é o seguinte:
ou seja,
e jθ = 1,
∀θ
z = e jθ é um ponto da circunferência de raio 1 centrada na origem do plano s.
Na verdade
z = e jθ
é o ponto desta
circunferência cujo
ângulo com o eixo real
positivo é θ.
e j0 = 1
j
π
2
e =j
e jπ = −1
e
−j
π
2
= −j
Análise de Sinais – Revisão Matemática
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O seno e o co-seno
sen (θ) =
c cateto oposto
=
a
hipotenusa
cos (θ) =
b cateto adjacente
=
a
hipotenusa
Teorema de Pitágoras
a 2 = b2 + c2
A tangente
tg (θ) =
c
cateto oposto
=
b cateto adjacente
tg (θ) =
sen (θ)
cos(θ)
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seno
sen 2 (θ) + cos2 (θ) = 1
π
π 

cos (θ) = sen  − θ  = sen  θ + 
2
2


π

sen (θ) = cos  θ − 
2

sen (θ) = sen (π − θ)
co-seno
cos (θ) = − cos (π − θ)
sen (θ) = − sen (− θ)
cos (θ) = cos (− θ)
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tangente
tg (θ) = tg (θ + π) = tg (θ − π)
tg (θ) = tg (θ + k π), k ∈ { 0, ± 1, ± 2, ...}
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A equação de Euler
O matemático e físico suíço Leonhard Euler (1707-1783) publicou o seguinte resultado em 1748:
e jθ = cos θ + j ⋅ sen θ
e facilmente se deduz que:
e jθ + e − jθ
cos θ =
2
e j θ − e − jθ
sen θ =
2j
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As inversas de seno, co-seno e tangente
As funções seno, co-seno e tangente não são inversíveis.
Pelos gráficos de x(t) = sen (ωt), x(t) = cos (ωt) e x(t) = tg (ωt) vemos que se α e β
forem valores no intervalo [–1, 1], e γ for um valor real qualquer, ou seja,
α ∈[–1, 1],
β ∈[–1, 1],
γ ∈(–∞, ∞),
e então vão haver muitos valores de t∈(–∞, ∞) para os quais
x(t) = sen (ωt) = α
x(t) = cos (ωt) = β
x(t) = tg (ωt) = γ
Para poder se achar a função inversa de seno, co-seno e tangente temos que
limitar o intervalo destas funções.
No caso do seno limitamos ao intervalo t∈[–π/2 , π/2],
no caso co-seno limitamos ao intervalo
t∈[0 , π],
e no caso da tangente limitamos ao intervalo
t∈[–π/2 , π/2].
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seno, co-seno e tangente com seus intervalos limitados
Esta é a norma geral adoptada pelas máquinas calculadoras e meios informáticos de
cálculo modernos. Limita-se o arco a 2 quadrantes:
1º e 4º quadrante, no caso do seno ou da tangente; e
1º e 2º quadrante, no caso do co-seno.
Desta forma é possível falar nas funções inversas do seno, do co-seno e da tangente:
arcsen (α),
arccos (β)
e
arctg (γ).
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Por exemplo, se γ = 1
θ = 45º e
π
arctg (1) = = 45º
4
θ = 225º
Embora existam muitos outros arcos θ
cuja tangente também é 1.
No caso particular da inversa ser de
uma fração
arcsen (b/a),
arccos (b/a) e
arctg (b/a)
então podemos levar em consideração
o quadrante do ponto (a, b).
Desta forma a inversa do seno, do
co-seno ou da tangente não fica
limitada ao intervalo [–π/2 , π/2]
ou [0 , π] que representam apenas
2 quadrantes, pois temos informação suficiente para determinar o
arco nos 4 quadrantes.
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Por exemplo:
1 π
arctg   = = 45º
1 4
(1º quadrante)
 − 1  5π
arctg   =
= 225º = −135º
 −1 4
(3º quadrante)
 −1 − π
arctg   =
= −45º = 315º
4
 1 
(4º quadrante)
 1  3π
arctg   =
= 135º
 −1 4
(2º quadrante)
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Exponenciais e logaritmos
O “número neperiano” e (devido ao matemático, astrólogo e teólogo escocês.
John Napier, 1550-1617) vale aproximadamente
e = 2,7183
Mais precisamente, ele pode ser escrito como uma série infinita ou como um limite
(esta última forma devido ao matemático suíço Jakob Bernoulli, 1654-1705):
∞
e=∑
n =0
1
n!
 1
e = lim1 + 
n →∞
 n
n
O “número neperiano” também é chamado de “constante de Euler” e é a base dos
logaritmos naturais (ln).
ln ( x )
e
=x
Algumas relações básicas de exponenciais e logaritmos:
e ⋅e = e
x
y
x+y
ex
x−y
=
e
ey
(e )
x y
= e x⋅y
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Algumas relações básicas de exponenciais e logaritmos:
ln (x ⋅ y) = ln (x ) + ln (y)
( ) = a ln (x )
ln x
a
x
ln   = ln (x ) − ln (y )
 y
e
− ln ( x )
=e
ln (1 / x )
=
1
x
Transformação da base e para a base 10:
log10 (x ) =
ln(x ) ln(x )
=
= 0,4343⋅ ln(x )
ln(10) 2,3
Transformação da base 10 para a base e:
log10 (x ) log10 (x )
ln (x ) =
=
= 2,3 ⋅ log10 (x )
log10 (e ) 0,4343
Transformação de qualquer base “b” para a base “a”:
log a (x ) =
log b (x )
log b (a )
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Derivadas
A teoria do cálculo diferencial é de autoria do físico e matemático inglês Sir Isaac
Newton (1643-1727) e do filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz
(1646-1716).
df
dt
A notação das derivada de uma função f(t)
pode ser
f ' (t )
(devido à Newton)
(devido à Leibniz)
A derivada de uma função f(t) no instante t nos dá a inclinação (ou declive) de uma
reta tangente à curva naquele instante.
Se f(t) é crescente em t = a, então a derivada será positiva naquele instante
f ' (a ) =
df
dt
>0
t =a
Por outro lado, se f(t) é decrescente em t = a, então a derivada será negativa naquele
instante
df
f ' (a ) =
dt
<0
t =a
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Inclinação positiva (ou declive positivo) da
reta tangente à curva f(t) no instante t = a.
Inclinação negativa (ou declive negativo) da
reta tangente à curva f(t) no instante t = a.
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Inclinação nula (ou declive nulo) da reta
tangente à curva f(t) no instante t = a.
Caso de máximo ou mínimo local.
Inclinação nula (ou declive nulo) da reta
tangente à curva f(t) no instante t = a.
Caso de ponto de inflexão, não é
máximo nem mínimo local.
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Algumas propriedades e regras das derivadas:
Linearidade:
d(c ⋅ f ( t ) )
df ( t )
= c⋅
= c ⋅ f ' (t)
dt
dt
(homogeneidade)
d(f1 ( t ) + f 2 ( t ) ) df1 ( t ) df 2 ( t )
=
+
= f1 ' ( t ) + f 2 ' ( t ) (aditividade)
dt
dt
dt
Regra do produto:
d
(f (t ) ⋅ g(t )) = df (t ) ⋅ g(t ) + f (t ) ⋅ dg(t ) = f ' (t ) ⋅ g( t ) + g' (t ) ⋅ f (t )
dt
dt
dt
Regra do quociente:
d  f (t) 

 =
dt  g ( t ) 
g( t ) ⋅
df ( t )
dg ( t )
− f (t) ⋅
dt
dt = g ( t ) ⋅ f ' ( t ) − f ( t ) ⋅ g ' ( t )
g 2 (t)
g 2 (t )
Regra da cadeia:
d
df
dg( t )
(g(t )) ⋅
f (g( t )) =
= f ' (g( t )) ⋅ g' ( t )
dt
dt
dt
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Se definirmos
u (t) = f (t)
e
v( t ) = g ( t )
e
dg
= v′
dt
então,
df
= u′
dt
E as regras acima podem ser reescritas de forma mais compacta como:
(c ⋅ u )′ = c ⋅ u′
(u + v )′ = u ′ + v ′
(u ⋅ v )′
u
 
v
′
(homogeneidade)
(aditividade)
= u ′ ⋅ v + u ⋅ v′
=
v ⋅ u ′ − u ⋅ v′
v2
du
du dv
=
⋅
dt
dv dt
(regra do produto)
(regra do quociente)
(regra da cadeia)
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Integrais
A integral indefinida de uma função f(t) é representada como
∫ f ( τ ) ⋅ dτ
Por outro lado, a integral definida, representada como
∫
b
a
f ( τ) ⋅ d τ
∫
b
−∞
f (τ) ⋅ dτ
∫
∞
a
f ( τ) ⋅ d τ
faz a Soma de Riemann que calcula a área sob a curva em m intervalo bem definido.
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), matemático alemão
A integral é um processo inverso do da derivada de funções pois,
∫
f ′ (t ) dt =
ou
df
∫ dt ( t ) dt =
d
dt
df ( t )
∫ dt dt =
( ∫ f (t ) ⋅ dt ) = f (t )
∫ df
= f (t ) + C
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t
F( t ) = ∫ f ( t ) ⋅ dt
Mais precisamente:
é chamada de primitiva de f(t).
a
Este resultado é chamado de Teorema Fundamental do Cálculo e faz a interligação
entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral.
Algumas regras de integração de funções em geral
∫
a f (t ) dt = a ⋅ ∫ f (t ) dt + C
(regra da homogeneidade)
∫ [ f (t ) + g (t ) ] dt
=
∫ [ f ′ (t ) ⋅ g (t ) ] dt
= f (t ) ⋅ g ( t ) + ∫ f ( t ) ⋅ g ′(t ) dt
Se definirmos
então,
∫ f (t ) dt
+
∫ g (t ) dt
+ C
(regra da aditividade)
(regra da integral por partes)
u (t ) = g(t )
e
v( t ) = f ( t )
du = g ′(t ) ⋅ dt
e
dv = f ′(t ) ⋅ dt
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e a regra da integral por partes pode ser escrita doutra forma:
∫ u ⋅ dv
= uv − ∫ v du
Por outro lado, se
u(t) = f (t)
então a integral definida é
calculada como:
A integral definida desde
da função f
∫
b
a
b
∫a
a até b
f ( τ ) ⋅ dτ = S
é a área S sob a curva
e
(regra da integral por partes)
du = f ′( t ) ⋅ dt
du = u ]a = u ( b) − u (a )
b
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Dois exemplos da integral definida desde a até b da função f, onde áreas abaixo do
eixo das abcissas contam negativamente.
∫
b
a
f 1 ( τ) ⋅ dτ = S1 − S 2
∫
b
a
f 2 ( τ) ⋅ dτ = S1 − S 2 + S 3
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Dois exemplos da integral definida em intervalos infinitos como: ] –∞, b] , [ a, ∞ [ .
b
∫−∞ f (τ) ⋅ dτ = S'
3
∞
∫a
f 4 ( τ) ⋅ dτ = S' '
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Decibéis (dB)
A unidade Bell (B) tem este nome em alusão ao escocês Alexander Graham Bell
(1847-1922). O deciBel (dB) é um submúltiplo do Bell que corresponde a um
décimo do Bell. Entretanto, o deciBel tornou-se uma unidade de uso muito mais
comum que o Bell.
O deciBel (dB) é usado para uma grande variedade de medições, especialmente
em acústica (intensidade de sons), mas também como medida de ganho ou
intensidade relativa na física (para a pressão r) e na electrónica (para a tensão
eléctrica v, para a corrente eléctrica i, ou para a potência P).
O decibel (dB) é uma unidade de medida adimensional assim como as medidas de
ângulo: o radiano (rad) e o grau (º), ou a percentagem (%).
O decibel é portanto uma unidade de intensidade ou potência relativa (uma medida
da razão entre duas quantidades, sendo uma de referência).
A definição do dB é obtida com o uso do logaritmo da seguinte forma: x em
decibéis usualmente é definido como:
x
dB
= 20 ⋅ log10 (x )
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Como o deciBell é uma medida relativa de ganho relativo (em relação a um valor de
referência) somente são calculados os decibéis de valores positivos.
Não faz sentido calcular os decibéis de um valor negativo.
1
dB
= 20 ⋅ log 10 (1) = 0 dB
Valores maiores que 1 se tornarão positivos ao serem transformados em dB.
Eles representam um ganho de facto.
Por outro lado, valores menores que 1 (i.e., valores entre 0 e 1) se tornarão
negativos ao serem transformados em dB.
Eles representam uma atenuação.
Outro detalhe:
x
dB
=−
1
x
dB
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se x > 1
x
se x = 1
x
se 0 < x < 1
x
se x < 0
dB
dB
dB
> 0 dB
= 0 dB
< 0 dB
não existe x
dB
Alguns exemplos:
10
1
10
dB
= 20 ⋅ log10 (10) = 20 dB
= 0,1
dB
( )
= 20 ⋅ log10 10 −1 = (− 1) ⋅ 20 ⋅ log 10 (10 ) = −20 dB
dB
100
2
dB
dB
= 6 dB
1
2
= 10 2
dB
0,5
= −3 dB
dB
( )
= 20 ⋅ log10 10 2 = 40 dB
dB
= − 6 dB
200
dB
2
= 46 dB
dB
= 3 dB
0, 2
dB
= − 14 dB
50
dB
= 34 dB
Obrigado!
Felippe de Souza
[email protected]